Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

Подставим сюда найденный выше полный ток нагрузки I:

Через резистор R1 течёт ток I12. По закону Ома, напряжение на нём равно

Теперь подставим числа и получим ответ:

Задача 4.4а (решить самостоятельно). К источнику ЭДС E = 3 В с внутренним сопротивлением R0 = 0.125 Ом подключены параллельно

два резистора, R1 = 1 Ом и R2 = 7 Ом. Найти ток в первом резисторе.

Ответ: I1 = 2.625 А.

Задача 4.4б (решить самостоятельно). К источнику ЭДС E = 1.5 В с внутренним сопротивлением R0 = 0.1 Ом подключены последовательно два резистора, R1 = 2 Ом и R2 = 3 Ом. Найти напряжение на первом резисторе. Ответ: U1 = 0.59 В.

Задача 4.5 Закон Ома для участка неоднородной цепи

71

Решение (законспектировать). Сначала зададим направление обхода контура. Это похоже на выбор системы координат: направление задаётся произвольно, однако все последующие выкладки нужно производить по отношению к нему. Пусть направление будет по часовой стрелке.

Сначала найдём ток в цепи I. Для этого применим закон Ома для неоднородной замкнутой цепи:

I = Eполн .

Rполн

Так как внутренним сопротивлением источников ЭДС можно пренебречь, то

Rполн = R1 + R2 + R3.

Суммарную ЭДС нужно искать с учётом знаков отдельных источников: если источник ЭДС способствует течению тока в выбранном направлении обхода, то он считается положительным, иначе отрицательным. Вспомним, что на схеме у источника ЭДС более длинная черта означает «+». Поэтому источник ЭДС считается положительным, когда, двигаясь в выбранном направлении обхода, мы входим в него со стороны короткой черты и выходим со стороны длинной. Таким образом:

В итоге получаем формулу для тока:

Вычислим ток сразу. Подставив числа, получим

Получившаяся отрицательная величина говорит о том, что фактически ток будет течь в направлении, противоположном выбранному направлению обхода контура. Однако этот результат не надо воспринимать как ошибочный. Точно так же не является ошибкой отрицательное значение проекции вектора силы на координатную ось.

72

Теперь применим закон Ома для неоднородного участка цепи

IR = ϕ1 − ϕ2 + E ,

чтобы найти искомую разность потенциалов. Важно использовать тоже самое направление обхода (по часовой стрелке), что было выбрано для вычисления тока. Разность потенциалов равна:

ϕ1 − ϕ2 = U = IR − E .

Чтобы понять, какие R и E должны фигурировать в этой формуле, пройдём в выбранном направлении обхода от точки 1 до точки 2. Видно, что нам нужно пройти через R1, E2 и R2. Значит при вычислении R в этой формуле нужно учесть R1 и R2, а E — это E2 со знаком, который как и раньше определяется направлением обхода:

Осталось подставить числовые значения и получить ответ:

73

Решение (законспектировать). Для расчёта разветвлённых цепей используют правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в уз-

лах, равна нулю:

X Ik = 0.

k

Токи, втекающие и вытекающие из узла, следует считать величинами с разными знаками.

Второе правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре,

X IkRk = X Ek.

kk

Если в разветвлённой цепи имеется N узлов, то по правилу 1 можно составить независимые уравнения только для N − 1 узлов. Уравнение для последнего узла будет следовать из предыдущих.

Если в цепи можно выделить несколько замкнутых контуров, то независимые уравнения по второму правилу можно составить только для контуров, которые не получаются в результате наложения уже рассмотренных.

Применяя правила Кирхгофа, первым делом нужно задать направления токов в каждом неразветвлённом участке цепи. Направления можно выбирать произвольно. Впоследствии знаки найденных токов покажут их истинные направления. У нас имеется три таких участка.

Теперь мы готовы записать уравнение по первому правилу Кирхгофа:

Для применения второго правила выберем контуры. Выбор неоднозначен, однако это не влияет на конечный результат. Пусть первый контур включает

74

E1 и E2, а второй содержит E2 и E3. В качестве альтернативного варианта можно было бы вместо одного из перечисленных взять внешний контур, содержащий E1 и E3.

Зададим произвольно направления обхода. Например, можно обходить левый контур против часовой стрелки, а правый — по часовой стрелке. обхода, см. рисунок.

Будем записывать уравнения по второму правилу. Для этого нужно обходить контур в заданном направлении. Слагаемые IkRk нужно брать со знаком «+», если выбранное ранее направление тока через резистор Rk совпадает с направлением обхода. Если не совпадает — то пишем «−». ЭДС берём со знаком «+», если она ориентирована вдоль направления обхода, т. е. мы проходим через неё от короткой черты к длинной. Если ориентация противоположна, то берём «−». Таким образом, запишем два уравнения:

I1(R1 + R2) − I3R3 = E1 + E2,

.

В итоге у нас есть три линейных неоднородных уравнения для трёх неизвестных токов. Аналитическая формула их решения громоздка и поэтому мы сразу подставим числовые значения сопротивлений и ЭДС:

I1 + I2 + I3 = 0,

3I1 − 4I3 = 6, 13I2 − 4I3 = −2.

Применим метод Крамера. Перепишем систему в матричной форме:

75

Теперь вычислим определители матриц, в которых k-й столбец заменён на столбец свободных членов:

76

ТЕМА 5. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Формулы (законспектировать и выучить)

Магнитное поле прямого тока: Bпрям = [µ0/(4π)]2I/x.

Магнитное поле кругового тока вдоль оси на расстоянии x от центра:

Bкруг = [µ0/(4π)]2πIr2/(r2 + x2)3/2. Сила Ампера: FАмп = [µ0/(4π)]2I1I2/x.

Сила, действующая на частицу в электромагнитном поле (сила Лоренца):

Решение (законспектировать). Магнитное поле создаётся тремя сегментами тока — двумя полубесконечными прямыми и сектором окружности.

#

Модуль вектора магнитной индукции Bпрям, создаваемой бесконечным прямым проводом на расстоянии x от него, определяется по формуле

Bпрям = 4µπ0 2xI .

В нашем случае точка A лежит напротив концов полубесконечных сегментов тока, см. пунктирные прямые на рисунке. Следовательно, каждый из

77

этих токов, в силу принципа суперпозиции, создаёт в два раза меньшее поле:

= Bпрям Bполубеск, прям 2 .

Силовые линии прямого тока образуют кольца, «нанизанные» на провод. Направление вектора магнитной индукции для прямого тока определяется по правилу правого винта. Нужно вращать правый винт так, чтобы его ось двигалась по току. Тогда направление вращения покажет направление вектора. Можно убедиться, что как для нижнего, так и для верхнего полубесконечных сегментов тока вектор магнитной индукции в центре изгиба направлен перпендикулярно плоскости рисунка вниз.

Магнитная индукция на оси кругового тока на расстоянии x от центра равна

Нас интересует магнитное поле в центре кольца, т. е. при x = 0. Поэтому

В нашем случае имеется сектор окружности, поэтому на основании принципа суперпозиции нужно взять долю магнитной индукции, пропорциональную углу α:

Bсект. круг = 2απBкруг.

Направление вектора магнитной индукции кругового тока определяется по правилу правого винта. Нужно вращать правый винт по направлению тока в

#

контуре, и тогда движение оси винта покажет направление вектора Bкруг. В нашем случае ток по сектору окружности течёт по часовой стрелке. Значит, создаваемый им вектор магнитной индукции направлен перпендикулярно плоскости рисунка вниз.

Таким образом, мы получили, что магнитные поля всех трёх сегментов тока сонаправлены. Следовательно, вычисляя результирующее поле, их нужно брать с одинаковыми знаками.

78

Или, учитывая, что полубесконечные сегменты создают одинаковые поля как по модулю, так и по направлению, получим

Теперь подставим числа и найдём ответ:

Задача 5.1а (решить самостоятельно). Помещённый в вакуум бесконечный прямой проводник имеет две петли радиусом r = 7 см. Сила то-

Решение (законспектировать). Сила, действующая на проводник, создаётся током, текущим по круглому сегменту проводника. Магнитная индукция на оси кругового тока на расстоянии x от центра равна

79

Нас интересует магнитное поле в центре кольца, т. е. при x = 0. Поэтому

#

Направление вектора B определяется по правилу правого винта. Вращаем винт по направлению тока по часовой стрелке, и получаем, что магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости кольца внутрь.

Силу, действующую на проводник, можно вычислить по закону Ампера:

80