Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

дополнительно появляется ЭДС самоиндукции

Eс.инд = −L2 dI20 ,

dt

где L2 — индуктивность второго контура.

Оба коэффициента, L12 и L2, определяются геометрическими характеристиками контуров и магнитными свойствами вещества внутри контуров. Кроме того, L12 также зависит от взаимного расположения контуров.

Запишем закон Ома для второго контура:

I20 R2 = −L2 dI20 − L12 dI10 .

dt dt

Теперь учтём, что

I20 = dq20 . dt

Подставим это в формулу закона Ома. Затем, приняв во внимание, что выражение для производной d/dt можно интерпретировать как дробь, сократим dt:

R2dq20 = −L2dI20 − L12dI10 .

Полученное выражение нужно проинтегрировать за время нарастания тока в первом контуре. Заряд q20 , переносимый во втором контуре, меняется от нуля до q2. Сила тока в первом контуре I10 нарастает от нуля до I1. Наконец, сила тока во втором контуре I20 в начальный момент времени равна нулю, потом она нарастает, но когда ток в первом контуре устанавливается, ток во втором снова становится равным нулю. Следовательно при интегрировании первое слагаемое в правой части исчезает. Таким образом, получаем

.

Осталось выразить L12:

Знак минус в этой формуле указывает на направление переноса заряда во втором контуре, и им можно пренебречь.

111

Подставим в полученную формулу числа и найдём ответ:

Задача 7.3а (решить самостоятельно). Два витка расположены рядом друг с другом таким образом, что коэффициент их взаимной индукцтивности равен L12 = 140 нГн. Когда в первом контуре включили ток, по окончании переходного процесса через второй контур, имеющий сопротивление R = 35 Ом, протёк заряд q2 = 20 нКл. Чему равен ток I1, установившийся в первом контуре? Ответ: I1 = 5 А.

Задача 7.3б (решить самостоятельно). Два контура расположены рядом друг с другом таким образом, что их коэффициент взаимной индуктивности равен L12 = 192.4 нГн. После того, как в первом контуре включили постоянный ток, через второй был перенесён некоторый заряд. Затем расположение контуров друг относительно друга изменили и выключили ток в первом контуре. При выключении через второй контур был перенесён заряд, в 1.16 раза больший, чем в первом случае. Чему стал равен коэффициент взаимной индуктивности после изменения расположения контуров? Ответ: L012 = 223.2 нГн.

Задача 7.4 ЭДС на концах проводника, вращающегося в магнитном поле

Тренировочный вариант. Прямой тонкий проводник длиной a = 1.6 м насажен на ось, перпендикулярную проводнику и проходящую на расстоянии ac от одного из концов, где c = 0.3. Вычислить ЭДС индукции, возникающей между концами проводника, когда он вращается с частотой ν = 150 мин-1 вокруг оси, вдоль которой включено постоянное однородное магнитное поле B = 4 мТл. Ответ: U = 32 мВ.

Решение (законспектировать). При движении проводника в магнитном поле на его концах возникает разность потенциалов. Чтобы понять, каким образом привлечь для вычисления этой разности потенциалов закон Фарадея, нужно предположить, что проводник замыкает собой неподвижный контур. Изменение магнитного потока, пронизывающего такой контур, связано с изменением площади этого контура, обусловленного движением проводника. Говорят, что проводник во время движения «заметает» некоторую площадь за время t.

112

Вспомним формулу для площади сектора круга радиуса r:

В нашем случае площади секторов, заметаемых концами стержня, равны

Каждый из секторов связан с магнитным потоком:

Зная, как меняется во времени магнитный поток, вычислим ЭДС индукции по формуле Фарадея Eинд = −dΦ/dt для каждого сектора.

Каждая из этих ЭДС определена между одним из концов стержня и точкой, вокруг которой происходит вращение. Получается, что между концами стержня включены два источника ЭДС навстречу друг другу. Поэтому разность потенциалов между концами стержня равна разности этих ЭДС

113

Теперь подставим числа и получим ответ. При вычислении нужно не забыть перевести частоту вращения в СИ:

Задача 7.4а (решить самостоятельно). Прямой тонкий проводник длиной a = 1.8 м насажен на ось, перпендикулярную проводнику и проходящую через один из его концов. Найти, с какой частотой он должен вращаться вокруг оси чтобы при включении вдоль этой оси постоянного однородного магнитного поля с индуктивностью B = 5 мТл между его концами возникла разность потенциалов U = 100 мВ. Ответ: ν = 118 мин-1.

Задача 7.4б (решить самостоятельно). Прямой тонкий проводник длиной a = 5 м движется с постоянной скоростью v = 200 м/с в постоянном однородном магнитном поле B = 0.4 мкТл так, что угол между плоскостью движения и силовыми линиями равен α = 60◦. Вычислить разность потенциалов U, возникающую между его концами. Ответ: U = 0.35 мВ.

Задача 7.5 Индуктивность узкого прямоугольного контура

Тренировочный вариант. Найти индуктивность катушки без сердечника, витки которой представляют собой плоские и очень узкие прямоугольные рамки с длинами сторон a = 8 м и b = 5 см. Длины сторон витков измерены между осевыми линиями провода. Катушка имеет длину ` = 2 см, витки намотаны в один слой, виток к витку проводом круглого сечения

радиусом r = 1 мм. Магнитным полем внутри провода пренебречь. Ответ: L = 1.25 мГн.

114

В свою очередь, магнитный поток, пронизывающий один виток, можно вы-

числить по формуле Φ = Z #d#

B S .

S

#

Здесь B — магнитное поле, создаваемое катушкой, силовые линии которого пронизывают плоскость катушки. В этой задаче магнитное поле, пронизывающее контур, неоднородно. Поэтому мы не можем привести эту формулу к простому виду Φ = BS.

Сделаем следующие упрощающие предположения. Так как сторона a намного больше b, будем вычислять поле, создаваемое длинными сторонами витков, по формулам для поля бесконечно длинного прямого тока B = [µ0/(4π)]2I/x. Вкладом коротких сторон будем пренебрегать.

Вычислим поле на узкой полоске, расположенной на расстоянии x от левого края контура и имеющей бесконечно малую ширину dx, см. штриховку на рисунке. С учётом сделанных предположений магнитное поле, создаваемое левой стороной одного витка, равно

Магнитное поле, создаваемое на этой же полоске правой стороной одного витка, имеет вид

Поле направлено перпендикулярно плоскости контура, при этом B1 и B2 сонаправлены. Значит, B1 и B2 нужно сложить. Кроме того, катушка содержит N витков, поэтому поле одного витка нужно умножить на N. Следовательно, магнитный поток, пронизывающий эту полоску, можно записать так:

Чтобы вычислить поток, пронизывающий один виток, нужно проинтегрировать полученную формулу. Заметим, что несмотря на то, что провод, которым намотана катушка, очень тонкий, его толщиной нельзя пренебречь. Формула для dΦ обращается в бесконечность в точках, где проходят осевые линии витков, т. е. при x = 0 и при x = b. Поэтому интегрировать нужно не от оси провода, а от его внешней поверхности, т. е. от x = r до x = b − r. Малость толщины провода, тем не менее, тоже используется: строго говоря, мы должны были бы учитывать также и магнитное поле внутри проводов,

115

но в силу их тонкости мы не будем этого делать. Таким образом, имеем

Мы получили магнитный поток, пронизывающий один виток.

Найдём потокосцепление. Длина катушки равна `, диаметра провода 2r, провод намотан в один слой, виток к витку. Следовательно, число витков равно

а потокосцепление найдём как

Так как L = Ψ/I, поделив полученную формулу на силу тока I, получим искомую индуктивность:

Теперь подставим числа и получим ответ:

116

Задача 7.5а (решить самостоятельно). Найти индуктивность плоского контура без сердечника, выполненного в виде узкой прямоугольной рамки с длинами сторон a = 5 м и b, где b a, и образованного проводом круглого сечения радиусом b/100. Считать, что длины сторон измерены между осевыми линиями провода. Магнитным полем внутри провода пренебречь. Ответ: L = 9.2 мкГн.

Задача 7.5б (решить самостоятельно). Найти индуктивность катушки без сердечника, содержащей N = 5 витков. Витки представляют собой плоские узкие прямоугольные рамки. Одна из сторон каждого витка много больше другой, а площадь равна S = 0.1 м2. Витки намотаны проводом круглого сечения радиусом r = 1 мм. Общая длина провода, использованного для намотки катушки, равна ` = 110 м. Считать, что длины сторон витков измерены между осевыми линиями провода. Магнитным полем внутри провода пренебречь. Ответ: L = 0.24 мГн.

Задача 7.6 Большой и маленький контуры. Теорема взаимности

Тренировочный вариант. Два квадратных контура имеют размеры сторон `1 = 1 м и `2 = 5 см. Эти контуры лежат в одной плоскости так, что меньший находится в центре большего. Найти ЭДС взаимной индукции, воз-

никающей в большем контуре, когда в меньшем ток нарастает по закону I2(t) = kt, где k = 100 А/с. Ответ: E1 = 0.28 мкВ.

Решение (законспектировать). Искомая ЭДС взаимной индукции равна

E1 = −L21 ddIt2 .

Таким образом, для решения задачи нам нужно найти коэффициент взаимной индуктивности L21.

Непосредственное вычисление L21 достаточно трудоёмко. Сначала необходимо найти магнитное поле, создаваемое вторым (малым) контуром в плоскости первого. Это поле будет неоднородным. Затем нужно вычислить магнитный поток как интеграл по поверхности первого контура.

Однако задача существенно упрощается, если воспользоваться теоремой взаимности. Она гласит, что магнитный поток, создаваемый первым контуром в плоскости второго током I, равен магнитному потоку, создаваемому таким же током I вторым контуром в плоскости первого. Следовательно, коэффициенты взаимной индуктивности L12 и L21 равны. Как будет видно ниже, L12 вычисляется значительно проще.

117

где ϕ1 и ϕ2 — прилежащие к отрезку углы треугольника, образованного концами отрезка и точкой, в которой вычисляется поле.

В нашем случае

ϕ1 = ϕ2 = π/4.

Поле в центре контура создаётся четырьмя сторонами квадрата. Вклады каждой стороны перпендикулярны плоскости квадрата и направлены в одну сторону. Таким образом, поле в центре первого контура, создаваемое текущим в нём током, равно

Так как второй контур мал и находится в центре первого, будем считать поле в пределах его плоскости однородным. Тогда магнитный поток, создаваемый первым контуром во втором, равен:

Коэффициент взаимной индуктивности — это коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и силой создающего его тока:

Теперь, когда нам известна взаимная индуктивность, можно вычислить искомую ЭДСТок во втором контуре нарастает по линейному закону. Следовательно, возникающая в первом контуре ЭДС будет постоянной:

Подставим в полученную формулу числа и найдём ответ:

118

Задача 7.6а (решить самостоятельно). Два круглых контура имеют радиусы `1 = 1.5 м и `2 = 3 см. Эти контуры лежат в одной плоскости так, что меньший находится в центре большего. Найти максимальное значе-

ние ЭДС взаимной индукции, возникающей в большем контуре, когда в меньшем ток меняется по закону I2(t) = Iмакс2 sin(ωt), где Iмакс2 = 10 А

и ω = 100π рад/с. Ответ: Eмакс1 = 3.7 мкВ.

Задача 7.6б (решить самостоятельно). В центре очень узкого прямоугольного контура, длина одной стороны которого равна `1 = 50 см, а длина второй много больше `1, находится маленький квадратный контур площадью S2 = 1 см2. Найти значение ЭДС взаимной индукции, возникающей в большем контуре в момент времени t = 10 с после включения в малом контуре тока, нарастающего по закону I2(t) = kt2/2, где k = 100 А/с2. Указание: при вычислении магнитного поля, создаваемого большим контуром, нужно пренебречь вкладом его коротких сторон, а поля от длинных сторон вычислять по формулам для бесконечного прямого тока. Ответ: E1 = 0.16 мкВ.

119

ТЕМА 8. ЭНЕРГИЯ И РАБОТА МАГНИТНОГО ПОЛЯ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Формулы (законспектировать и выучить)

Энергия магнитного поля: W = LI2/2.

Потокосцепление Ψ в зависимости от силы тока: Ψ = LI. Связь потокосцепления Ψ с магнитным потоком Φ: Ψ = NΦ. Работа при перемещении тока в магнитном поле: δA = IdΦ.

Φ = R #d#

Магнитный поток: S B S .

Объёмная плотность энергии магнитного поля: w = HB/2. Магнитное поле прямого длинного соленоида: H = nI.

Магнитное поле тороидального соленоида: H = nIR/r, где R — осевой радиус, r — радиус контура внутри тора, на котором ищется поле.

Нерелятивистское преобразование электромагнитного поля из неподвижной

Поверхностная плотность нескомпенсированных связанных зарядов в однородном изотропном диэлектрике: σ0 = Pn.

Связь диэлектрических восприимчивости { и проницаемости ε: ε = 1 + {.

Поверхностная плотность заряда проводника в диэлектрической среде с проницаемостью ε: σ = εε0E.

120