Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

Задача 9.3б (решить самостоятельно). Колебательный контур содержит последовательно включённые конденсатор C = 350 нФ, катушку L = 550 мГн и резистор R. После включения, за первый период колебаний он теряет 1% запасённой энергии. Чему равно R? Ответ: R = 2 Ом.

Задача 9.4 Время, за которое энергия контура уменьшится в три раза

Тренировочный вариант. Для контура с добротностью Q = 65 и частотой колебаний ν = 10 кГц вычислите время, за которое запасённая в нём энергия уменьшится в δ = 3 раза. Ответ: tδ = 1.14 мс.

Решение (законспектировать). Колебания заряда в контуре с затуханием описываются формулой

q = q1e−βt sin(ωt + α),

где qа(t) = q1e−βt — амплитуда колебаний, которая при ненулевом затухании β убывает по экспоненциальному закону.

Энергия, запасённая в контуре, пропорциональна амплитуде колебаний за-

Время tδ, за которое энергия убывает в δ раз, можно найти из уравнения

q2(0) = а( ) δ. qа2 tδ

Подставим в числитель и знаменатель выражения для qа(0) и qа(tδ):

= δ.

Прологарифмируем левую и правую части этого выражения

= ln δ.

141

Выразим β через Q, используя равенства

Q = π/λ, λ = βT.

Подставив второе уравнение в первое и выразив период T через частоту ν, получим

и подставим в выведенное ранее уравнение для времени затухания tδ:

Задача 9.4а (решить самостоятельно). Для контура с добротностью

Q = 50 и циклической частотой колебаний ω = 60 × 103 с-1 вычис-

лите время, за которое амплтуда колебаний упадёт в δ = 2 раза. Ответ: tδ = 1.16 мс.

Задача 9.4б (решить самостоятельно). Для контура с добротностью

Q = 75 вычислите, за сколько колебаний запасённая в нём энергия уменьшится в δ = 4 раза. Ответ: tδ = 1.14 мс.

142

Решение (законспектировать). При расчёте цепей переменного тока удобно использовать так называемый символический метод. В рамках этого

пряжения и тока, соответственно, а ω — циклическая частота, ω = 2πν. В комплексной форме закон Ома имеет вид

ˆ = ˆ

U IZ,

где Z — комплексное сопротивление.

Как и всякое комплексное число, Z можно представить в экспоненциальной

форме:

Z = |Z|ei ϕ.

Модуль комплексного сопротивления |Z| = q(Re Z)2 + (Im Z)2 показывает, как связаны амплитуды напряжения и тока:

Uмакс = Iмакс|Z|.

Аргумент ϕ = arctg(Im Z/ Re Z) показывает сдвиг фаз межу током и напряжением.

Комплексное сопротивление Z вычисляется по тем же правилам, что и сопротивление цепи постоянного тока с учётом того, что конденсаторы и катушки также имеют сопротивления, которые называются реактивными:

Резисторы, которые при расчёте цепей переменного тока называются активными сопротивлениями, учитываются как обычно.

Цепь на рисунке содержит две параллельные ветви. Одна содержит конденсатор с реактивным сопротивлением XC, вторая состоит из последовательно включённого активного сопротивления R и реактивного сопротивления XL. При последовательном включении сопротивления складываются. Следова-

143

тельно, сопротивление RL-ветви равно

Ветви C и RL включены параллельно. При параллельном включении нужно складывать обратные сопротивления:

Приведём записанное выражение к общему знаменателю

Перевернём его и получим формулу для Z:

Теперь подставим числа и получим значение Z:

Мы получили Z в виде дроби с комплексными числами в числителе и знаменателе. Чтобы выделить вещественную и мнимую части, домножим числитель и знаменатель на комплексное сопряжение знаменателя (комплексное сопряжение получается заменой мнимой единицы i на −i). В результате получится обычное комплексное число, состоящее из двух слагаемых — вещественной и мнимой частей.

144

Зная |Z| и амплитуду напряжения Uмакс вычислим амплитуду тока:

Решение (законспектировать). Эта задача решается аналогично предыдущей, с использованием символического метода. В рамках этого метода переменные токи и напряжения представляются в виде комплексных экспонент, а катушки и конденсаторы учитываются как реактивные сопротивления:

Резисторы, которые называют активными сопротивлениями, учитываются как обычно.

145

В цепи на рисунке две параллельные ветви. Одна состоит из последовательно включённых конденсатора, катушки и резистора:

ZRLC = R + XL + XC1 .

Вторая ветвь содержит один конденсатор. По правилу сложения параллель-

Мы получили Z в виде дроби с комплексными числами в числителе и знаменателе. Чтобы выделить вещественную и мнимую части, поступим как в предыдущей задаче — домножим числитель и знаменатель на комплексное сопряжение знаменателя.

146

Зная |Z|, найдём действующее значение тока:

Для расчёта мощности нам нужна разность фаз между током и напряжением ϕ. Эта величина вычисляется как аргумент комплексного сопротивления цепи:

147

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Савельев И.В. Курс общей физики: учеб.: в 3 т. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. — СПб.: Лань, 2018. — 500 с.

2.Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы: учеб. пособие. — М.: Лаборатория знаний, 2017. — 322 с.

3.Сивухин Д.В. Общий курс физики: учеб. пособие: в 5 т. Т. 3. Электричество. — М.: Физматлит, 2018. — 656 с.

4.Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике: учеб. пособие. — СПб.: Лань, 2018. — 292 с.

5.Иродов И.Е. Задачи по общей физике: учеб. пособие. — СПб.: Лань, 2018. — 416 с.

6.Сборник задач по общему курсу физики: в 5 кн. Кн. 3. Электричество и магнетизм / С.П. Стрелков [и др.] ; под ред. Д.В. Сивухина. — М.: Физматлит; Лань, 2006. — 232 с.

7.Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике: учеб. пособие для втузов. — М.: Физматлит, 2009. — 640 с.

8.Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. — СПб.: Профессия, 2008. — 328 с.

148