Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

за перераспределения молекулярных диполей. Из-за наличия связанных зарядов, величина которых пока неизвестна, мы не можем непосредственно искать поле E.

Выберем в качестве поверхности S сферу радиусом r. Рассмотрим сначала случай r < R. Из соображений симметрии ясно, что на поверхности этой

#

сферы вектор D постоянен по модулю и направлен по радиусу, т. е. всегда

сонаправлен с d#. (Напомним, что вектор d# направлен вдоль внешней

S S

нормали к поверхности сферы.) Следовательно, левая часть формулы тео-

#

ремы Гаусса может быть записана в виде произведения модуля вектора D на площадь сферы S:

Заряд q в правой части равен произведению известной из условия объёмной плотности свободных зарядов ρ на объём сферы S:

Соберём вместе левую и правую части формулы теоремы Гаусса:

.

Выразим отсюда D:

Теперь пусть r > R. Левая часть теоремы Гаусса останется без изменения, а в правой части будет фигурировать полный заряд шара. Это значит, что q

41

равно произведению ρ на объём сферы радиуса R:

Подставим значение q в теорему Гаусса:

.

Отсюда получим D:

Для вычисления объёмной плотности связанных зарядов ρ0 сначала исполь-

S

чтобы найти формулу, связывающую P и ρ0. Из сопоставления этой форму-

#

лы с теоремой Гаусса для D видно, что формула для P будет совпадать с

42

формулой для D с заменой ρ на −ρ0. Нам достаточно взять случай r < R:

.

Подставляя вместо E полученное выше выражение при r < R, получим выражение, из которого найдём ρ0:

,

Подставим числа и получим ответ:

вательно

σ0 = P (R).

Снова используем уже применявшуюся выше формулу для поляризации P , выраженной через E. Подставив туда r = R, получим формулу для σ0:

Подставим сюда числа и найдём ответ:

43

Задача 2.5а (решить самостоятельно). Бесконечно высокий цилиндр из диэлектрика с проницаемостью ε = 4 заряжен с постоянной объёмной плотностью ρ = 7.2 мКл/м3. Радиус цилиндра R = 10 см. Найти напряжённость электрического поля E как функцию расстояния r от оси цилиндра; рассмотреть случаи r < R и r > R. Вычислить объёмную ρ0

и поверхностную σ0 плотности связанных зарядов. Ответ: При r < R:

E(r) = rρ/(2εε0), при r > R: E(r) = R2ρ/(2rεε0). ρ0 = −5.4 мКл/м3,

σ0 = 0.27 мКл/м2.

Задача 2.5б (решить самостоятельно). Бесконечная плоскопараллельная пластинка из диэлектрика с проницаемостью ε = 7 заряжена с постоянной объёмной плотностью ρ = 5 мКл/м3. Расстояние от центра пластинки до поверхности равно a = 4 см. Найти напряжённость электрического поля E как функцию расстояния x от центра пластинки; рассмотреть случаи x < a и x > a. Вычислить объёмную ρ0 и поверхностную σ0

плотности связанных зарядов. Ответ: При x < a: E(x) = xρ/(εε0), при x > a: E(x) = aρ/(εε0). ρ0 = −4.3 мКл/м3, σ0 = 0.17 мКл/м2.

Задача 2.6 Условия на границе раздела диэлектриков

Тренировочный вариант. Пластинка из кварца (ε2 = 4.5) находится в однородном электрическом поле, вектор которого направлен под углом α1 = 10◦ к нормали к пластинке и имеет модуль, равный E1 = 12 В/м. Определить модуль вектора напряжённости поля E2 внутри пластинки, угол α2, который составляет этот вектор с нормалью к пластинке и поверхностную плотность связанных зарядов, возникших на поверхностях пластинки вслед-

ствие поляризации. Вне пластинки диэлектрическая проницаемость среды равна ε1 = 1. Ответ: E2 = 3.4 В/м, α2 = 38◦, σ0 = 0.081 нКл/м2.

Решение (законспектировать). Изобразим на схеме диэлектрик, векторы

44

Отсюда выразим α2:

Подставив числа, получим ответ:

Для вычисления E2 можно использовать формулы для тангенциальной и нормальной компонент:

Осталось найти поверхностную плотность связанных зарядов σ0. Известно, что σ0 связана с нормальной компонентой вектора поляризации,

σ0 = Pn.

45

В свою очередь, вектор поляризации в однородном изотропном диэлектрике равен

Задача 2.6а (решить самостоятельно). Пластинка из диэлектрика находится в однородном электрическом поле, вектор которого направлен под углом α1 = 15◦ к нормали к пластинке и имеет модуль, равный E1 = 20 В/м. Определить модуль вектора напряжённости поля E2 внутри пластинки и угол α2, который составляет этот вектор с нормалью к пластинке, если известно, что поверхностная плотность связанных зарядов, возникших на поверхностях пластинки вследствие поляризации,

равна σ0 = 0.055 нКл/м2. Вне пластинки диэлектрическая проницаемость среды равна ε1 = 1. Ответ: E2 = 14 В/м, α2 = 21◦.

Задача 2.6б (решить самостоятельно). Две пластинки из диэлектрика, плотно примыкающие друг к другу, находятся в электрическом поле.

#

Вектор электрического смещения D1 в первой пластинке по модулю равен 13 Кл/м2 и направлен по отношению к границе пластинок так, что его тангенциальная составляющая равна D1τ = 6 Кл/м2. Найти модуль вектора электрического смещения D2 во второй пластинке и угол α2, который он образует с нормалью к поверхности, если известно, что этот угол в два раза больше соответствующего угла для D1. Считать, что на

границе диэлектриков нет свободных зарядов. Ответ: D2 = 20 Кл/м2,

α2 = 55◦.

46

ТЕМА 3. КОНДЕНСАТОРЫ. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Ёмкость плоского конденсатора: C = εε0S/d.

Объёмная плотность энергии электрического поля: = # # 2. w ED/

Справочник

ε0 = 8.85 × 10−12 Ф/м2.

Задача 3.1 Электроёмкость конденсатора с постоянной проницаемостью

Тренировочный вариант. Сферический конденсатор с обкладками радиусов r1 и r2, r1 < r2, заполнен диэлектриком с проницаемостью ε. Получить формулу для его электроёмкости C. Ответ: C = 4πεε0r1r2/(r2 − r1).

Решение (законспектировать). Для нахождения электроёмкости требуется получить формулу, связывающую разность потенциалов между обкладками и заряд на них. Так как по определению q = CU, коэффициент между q и U и будет искомой величиной C.

Найдём сначала напряжённость поля между обкладками. Так как в инте-

#

ресующей нас области имеется диэлектрик, рассмотрим сначала вектор D.

#

Формула теоремы Гаусса для D имеет вид

где q — свободные заряды, находящиеся внутри поверхности S. Иными сло-

#

вами, вычисляя D, мы можем игнорировать нескомпенсированные связанные заряды диэлектрика и принимать во внимание только интересующий нас заряд на обкладках.

47

Справа здесь стоит заряд q на внутренней обкладке конденсатора. Выразим отсюда D:

радиуса, и при вычислении интеграла мы тоже будем двигаться по радиусу r от r1 до r2. Следовательно, применительно к нашему случаю, формула

связи принимает вид

U = Zr2 Edr.

48

Теперь выразим из этой формулы q:

Согласно формуле q = CU, коэффициент пропорциональности между q и U есть искомая электроёмкость:

Задача 3.1а (решить самостоятельно). Найти ёмкость плоского конденсатора с площадью обкладок S и расстоянием между ними d, заполненного диэлектриком с проницаемостью ε. Ответ: C = Sεε0/d.

Задача 3.1б (решить самостоятельно). Найти ёмкость цилиндрического

конденсатора высотой h, заполненного диэлектриком с проницаемостью ε и радиусами обкладок r1 и r2, r1 < r2. Ответ: C = 2πεε0h/ ln(r2/r1).

Задача 3.2 Электроёмкость конденсатора с переменной проницаемостью

Тренировочный вариант. Вычислить электроёмкость сферического конденсатора с радиусами обкладок r1 и r2, r1 < r2, если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, проницаемость которого меняется по закону ε(r) = α/r, где r — расстояние, отсчитанное от центра конденсатора вдоль радиуса, α — некоторая константа. Ответ: C = 4πε0α/ ln(r2/r1).

Решение (законспектировать). Эта задача решается аналогично предыдущей. Нам необходимо вывести формулу зависимости заряда на обкладках от разности потенциалов между ними и, согласно соотношению q = CU, коэффициент пропорциональности в этой формуле будет равен искомой электроёмкости.

49

входят только свободные заряды:

Повторяя рассуждения из предыдущей задачи, получим формулу для D:

Однако теперь диэлектрическая проницаемость среды зависит от r:

ε = αr .

Подставим это выражение в формулу для E:

изводится вдоль радиуса от r1 до r2. Таким образом, применительно к нашем случаю формула принимает вид

U = Zr2 Edr.

r1

Подставим сюда выражение для E и вычислим интеграл:

50