Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

интеграле по ξ мы теперь должны брать пределы от −a до a:

I = Za dξ Zb dy k|ξ| =

Соберём вместе левую и правую части теоремы о циркуляции и получим выражения для поля вне пластины:

,

Задача 5.6а (решить самостоятельно). В плоскопараллельной бесконечной пластине толщиной 2a параллельно поверхности течёт ток с постоянной плотностью j. Найти индукцию магнитного поля внутри и снаружи пластины как функцию координаты x, отсчитанной от центра пластины. Магнитную проницаемость пластины считать равной единице.

Ответ: B(x 6 a) = µ0jx, B(x > a) = µ0ja.

Задача 5.6б (решить самостоятельно). Вдоль оси бесконечного цилиндра радиуса R течёт ток с постоянной плотностью j. Вычислить индукцию магнитного поля как функцию расстояния от оси r. Магнитную

проницаемость считать равной единице. Ответ: B(r 6 R) = µ0jr/2,

B(r > R) = µ0jR2/(2r).

91

ТЕМА 6. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ. МАГНЕТИКИ

Магнитная проницаемость µ и магнитная восприимчивость χ: µ = 1 + χ.

H

где Iпров,сум — суммарный ток проводимости, охватываемый контуром L. Граничные условия для магнитной индукции:

B1n = B2n, B1τ /B2τ = µ1/µ2.

Граничные условия для напряжённости магнитного поля:

H1n/H2n = µ2/µ1, H1τ = H2τ .

Магнитное поле прямого тока: Bпрям = [µ0/(4π)]2I/r.

Магнитное поле кругового тока вдоль оси на расстоянии x от центра:

Bкруг = [µ0/(4π)]2πIr2/(r2 + x2)3/2. Закон Кюри: χпарам = CКюри/T .

Справочник

µ0/4π = 10−7. sin(arctan(α)) = α/√α2 + 1. cos(arctan(α)) = 1/√α2 + 1.

Задача 6.1 Магнитная проницаемость вещества в магнитном поле

Тренировочный вариант. Шар объёмом V = 15 см3, сделанный из ферромагнетика, поместили в магнитное поле напряжённостью H = 350 А/м. Приобретённый им при этом магнитный момент оказался равен pm = 1.2 А·м2.

92

Чему равна магнитная проницаемость µ вещества, из которого сделан шар?

Ответ: µ = 230.

Решение (законспектировать). Намагниченность J равна среднему магнитному моменту в единице объёма. Нам дан полный магнитный момент pm шара. Поделив эту величину на V , получим средний магнитный момент в единице объёма, т. е. J:

J = pm/V.

Теперь вспомним формулу связи намагниченности с напряжённостью магнитного поля

J = χH,

где χ — магнитная восприимчивость вещества.

Наконец, учтём, что магнитная проницаемость µ связана с восприимчиво-

стью:

µ = 1 + χ.

Используя эти формулы, выразим µ через V , pm и H:

Теперь подставим числа и найдём ответ:

Задача 6.1а (решить самостоятельно). Куб из ферромагнетика с проницаемостью µ = 220 поместили в магнитное поле напряжённости H = 1200 А/м, в результате чего он приобрёл магнитный момент pm = 0.75 А·м2. Чему равна длина a стороны куба? Ответ: a = 14 мм.

Задача 6.1б (решить самостоятельно). Какова должна быть напряжённость магнитного поля H, чтобы ферромагнитный брусок объёмом

V = 15 см3 с восприимчивостью χ = 150 в этом поле приобрёл магнитный момент pm = 0.9 А·м2? Ответ: H = 400 А/м.

93

Задача 6.2 Сила, действующая на контур с током в магнитном поле

Тренировочный вариант. На расстоянии r = 5 мм от длинного прямого провода с током I = 1.5 А находится контур с током, магнитный момент которого равен pm = 0.5 А·м2. Считая контур малым, определить действующую на него силу, если вектор магнитного момента направлен по касательной к вектору индукции магнитного поля. Ответ: F = 6 мН.

Решение (законспектировать). На контур с током, помещённый в магнитное поле, действует сила

произведение силы тока в контуре на его площадь. Направление этого вектора задаётся по правилу правого винта — если вращать винт по направлению тока в контуре, то ход оси винта покажет направление вектора.

ϕ X

Bпрям(r) = 4µπ0 2rI .

#

Значит B зависит от x и y. Из-за симметрии

#

B не зависит от координаты z, которая на рисунке направлена вертикально вверх.

Выразим r и ϕ через координаты x и y:

94

#

Подставим эти выражения в формулу для B и используем тригонометрические соотношения:

sin(arctan(α)) = α/√α2 + 1 и cos(arctan(α)) = 1/√α2 + 1,

95

Мы расположили контур в точке x = r, y = 0. Подставим эти значения в формулы для частных производных и получим компоненты силы:

Видно, что компонента по оси y оказалась равна нулю, а x компонента отрицательная. Следовательно, сила направлена по оси X в сторону провода.

Подставим числа и найдём ответ:

Задача 6.2а (решить самостоятельно). На расстоянии r = 15 мм от длинного прямого провода с током I = 0.8 А находится контур с током, магнитный момент которого равен pm = 1.5 А·м2. Считая контур малым, определить действующую на него силу, если вектор магнитного момента направлен по радиусу перпендикулярно проводу и вектору индукции магнитного поля. Ответ: F = 1.1 мН.

Задача 6.2б (решить самостоятельно). Виток с током, сила которого равна I = 1.2 А, имеет радиус r = 15 мм. На расстоянии x = 5 мм от центра витка находится контур, магнитный момент которого pm = 2 А·м2, лежит на осевой линии и сонаправлен с силовой линией поля. Считая контур малым, определить величину и направление действующей на него силы. Указание: так как векторы магнитной индукции и магнитного момента направлены вдоль оси симметрии, достаточно ограничиться рассмотрением только зависимости магнитного поля от x. Ответ: F = 5.1 мН.

Задача 6.3 Сила, действующая на диамагнитный шарик в магнитном поле

Тренировочный вариант. Шарик радиуса R = 1 см из диамагнетика, восприимчивость которого равна χ = −1.7×10−4, поместили на чуствительные весы на высоте h = 4 см над электромагнитом. Считая шарик материальной точкой, найти, на сколько процентов изменится вес шарика после включения электромагнита, если индукция создаваемого им поля убывает с высо-

96

той по закону B = B0 − (B1y)2, где B0 = 1.5 Тл, B1 = 25 Тл1/2/м. Плотность вещества шарика ρ = 7.5 г/см3. Ответ: Уменьшится на 4.6%.

Решение (законспектировать). Известно, что на единицу объёма магнетика со стороны магнитного поля действует сила

по объёму шарика. Но так как в задаче предложено считать шарик материальной точкой, вычислим полную силу, просто умножив удельную силу на

Эта сила и даёт поправку к весу шарика.

ки намагничиваются против приложенного поля. Для определённости будем

Здесь y нарастает при движении вверх. А нам нужно вычислить производ-

#

ную, двигаясь вдоль J , т. е. вниз. Следовательно, нужно вычислить произ-

#

водную B по y и дополнительно снабдить её знаком «минус»:

97

Вычислим искомую величину:

#

∂B# = . ∂ nJ

Получилась положительная величина. Следовательно, сила, действующая на шарик, будет направлена вверх.

Теперь найдём намагниченность J. Необходимые для этого формулы приведены ниже.

Используя их, выразим модуль намагниченности J через B, учтя формулу B = B0 − (B1y)2, а также то, что шарик находится на высоте h, т. е. y = h.

,

,

,

Тонкий момент: в числителе этой формулы стоит восприимчивость χ, численное значение которой отрицательно. Следовательно, всё выражение бу-

#

дет отрицательным. Этот знак выражает тот факт, что J направлен против

#

B. Однако мы это уже учли, а теперь нам нужен только модуль намагниченности. Поэтому берём χ по модулю. В знаменателе около µ0 должен быть также множитель 1+χ = µ. Но в силу того, что χ для диамагнетиков всегда много меньше 1, его можно отбросить.

Теперь мы готовы записать модуль силы Fмагн. Использовав приведённую выше формулу для этой силы, а также выразив объём шарика через его радиус, получим

98

Найденная Fмагн — это абсолютная поправка к весу. Нам нужна относительная поправка. После умножения на 100% она даст ответ задачи:

p = 100% Fmgмагн .

Выразив массу через плотность и объём шарика, получим итоговую формулу:

Теперь подставим числа и получим ответ:

Задача 6.3а (решить самостоятельно). Шарик радиуса R = 1 см из диамагнетика, восприимчивость которого равна χ = −1.4 × 10−4, при включении магнитного поля потерял в весе p = 3.3%. Вычислить плотность шарика, если известно, что поле меняется по закону B = B0e−ky, где B0 = 1.75 Тл, k = 20 м-1, а координата центра шарика равна y = 2 см. При вычислении силы, действующей со стороны магнитного поля, считать шарик материальной точкой. Ответ: ρ = 9.5 г/см3.

Задача 6.3б (решить самостоятельно). Шарик радиуса R = 5 мм из диамагнетика с восприимчивостью χ = −1.6 × 10−4 подвешен на тонкой нерастяжимой нити. После того, как было включено магнитное поле, силовые линии которого направлены горизонтально, шарик отклонился, так что горизонтальное смещение составило d = 10 см. Чему равен угол отклонения нити α, если известно, что магнитная индукция убывает по закону B = B0 − (B1x)3, где B0 = 1.5 Тл, B1 = 9 Тл1/3/м, а координата x отсчитвается от вертикального положения нити? Плотность вещества шарика ρ = 6.4 г/см3. При вычислении силы, действующей со стороны магнитного поля, считать шарик материальной точкой. Ответ: α = 2◦.

Задача 6.4 Зависимость магнитной восприимчивости от температуры

Тренировочный вариант. Парамагнетик при температуре T1 = 330 К поместили в магнитное поле с индукцией B1 = 0.75 Тл, и его намагниченность достигла некоторой величины. Какой должна быть индукция B2, чтобы до-

стичь той же самой намагниченности при температуре T2 = 495 К? Ответ: B2 = 1.125 Тл.

99

Решение (законспектировать). Зависимость намагниченности парамагнетика от температуры связана с тем, что его восприимчивость подчиняется закону Кюри:

где CКюри — постоянная Кюри, которая зависит от магнитного момента молекулы парамагнетика и поэтому разная для разных веществ.

Чтобы решить задачу, используя формулы

выразим намагниченность J через магнитную индукцию B и учтём закон Кюри. Однако, если выводить формулы строго, то найти ответ будет невозможно из-за того, что неизвестна постоянная Кюри. Поэтому учтём, что для парамагнетиков всегда

χ 1.

Это значит, что можно положить µ = 1. С учётом этого получим формулу для J:

Так как в первом и во втором случаях намагниченность остаётся неизменной, подставим в эту формулу сначала T1 и B1, а потом T2 и B2 и приравняем два полученных выражения. Неизвестные постоянные Кюри сократятся, и мы сможем выразить B2:

,

Теперь подставим числа и поучим ответ:

100