Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

Подставив это в формулу для потенциала, получим

Теперь, применяя принцип суперпозиции, просуммируем вклады от каждого фрагмента стрежня. Для этого нужно выполнить интегрирование вдоль стержня:

−`/2

Чтобы вычислить полученный интеграл, нужно воспользоваться справочником:

11

В итоге получим

Задача 1.1б (решить самостоятельно). Для тонкого заряженного стержня по принципу суперпозиции найти модуль напряжённости поля E на оси X, проходящей вдоль стержня. Стержень находится в вакууме, имеет длину ` и постоянную линейную плотность заряда λ. Начало координат расположите в центре стержня. Ответ: E(x) = λ`/[πε0(4x2 − `2)].

Задача 1.2 Поле диска, принцип суперпозиции

Тренировочный вариант. Тонкий находящийся в вакууме диск радиуса R имеет заряд Q, причём заряд распределён по диску равномерно. Применяя принцип суперпозиции, найти потенциал ϕ(x) поля, создаваемого диском вдоль оси X, проходящей перпендикулярно плоскости диска через его

Решение (законспектировать). Построим чертёж. Чтобы воспользоваться формулой для потенциала поля точечного заряда и принципом супер-

Так как фрагмент бесконечно малый, вклад, который он даёт в поле в рассматриваемой точке, можно найти по формуле для точечного заряда (так как

12

диск в вакууме, диэлектрическая проницаемость среды не учитывается):

Найдём dq. Во-первых, примем во внимание, что диск тонкий. Это значит, что нужно учитывать только распределение заряда по его поверхности. Так как диск заряжен однородно и весь заряд равен Q, можно вычислить поверхностную плотность заряда σ, т. е. количество заряда, которое приходится на единицу поверхности:

σ = πRQ2 .

Зная σ, можно найти dq как произведение σ на площадь фрагмента dS. Так как он бесконечно мал, то его площадь равна

dS = d` dy,

где d` — длина дуги окружности, опирающейся на угол dα. Она, в свою очередь, ищется как произведение угла на радиус, равный в нашем случае y:

Теперь по теореме Пифагора выразим через x и y расстояние r от фрагмента диска до точки, где ищется поле:

13

В итоге получим окончательную формулу для dϕ:

Чтобы найти искомый потенциал, нужно, согласно принципу суперпозиции, сложить вклады от всех бесконечно малых фрагментов, подобных рассмотренному. Для этого dϕ нужно проинтегрировать по всем значениям угла α от 0 до 2π, а также по всем значениям y от 0 до R. Это значит, что нужно вычислить двойной интеграл.

Применив дважды операцию интегрирования к dϕ и вынеся за знаки интегралов множители, которые не зависят ни от одной из двух переменных интегрирования y и α, получим

Отметим, что x в данном случае не является переменной интегрирования и её следует рассматривать как константу.

Рассмотрим двойной интеграл отдельно:

Его вычисление производится поочерёдно для каждой переменной интегрирования. Начнём с α. Вынесем из-под знака интеграла, соответствующего α, всё, что не зависит от этой переменной:

Теперь можно легко вычислить внутренний интеграл:

Z2πdα = 2π.

0

14

Чтобы вычислить интеграл по y, достаточно сделать замену переменных:

Полученный интеграл легко найти, используя известную формулу R xndx = xn+1/(n + 1). В нашем случае n = −1/2, поэтому

Отметим, что √x2 = |x|. Однако мы оставим выражение с корнем, так как его впоследствии будет удобнее дифференцировать при вычислении напряжённости поля.

Теперь мы готовы записать окончательное выражение для двойного интеграла:

Подставляя значение найденного двойного интеграла в формулу для ϕ(x), получим искомый потенциал:

Чтобы найти напряжённость поля #( ), используем формулу

E x

# = − grad

E ϕ.

15

Градиент — это вектор, построенный из частных производных по x, y и z:

В нашем случае имеется формула зависимости потенциала только от x, которая позволяет вычислить только x компоненту напряжённости поля:

Ex(x) = −∂ϕ∂x.

Однако из соображений симметрии можно видеть, что две другие компоненты обращаются в ноль, т. е.

Таким образом, чтобы вычислить #( ), достаточно отыскать производную

E x

потенциала по x:

Задача 1.2а (решить самостоятельно). Тонкое плоское кольцо с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2, имеющее постоянную поверхностную плотность заряда σ, поместили в вакуум. Используя принцип суперпозиции, найти потенциал ϕ(x) поля, создаваемого кольцом вдоль оси X, проходящей перпендикулярно плоскости кольца через его

16

Задача 1.2б (решить самостоятельно). По тонкому проволочному кольцу радиусом R равномерно распределили заряд Q. Считая, что кольцо находится в вакууме, вычислить потенциал ϕ(x) поля, создаваемого кольцом вдоль оси X, проходящей перпендикулярно плоскости кольца через его центр. Затем, используя формулу связи напряжённо-

Задача 1.3 Поле бесконечного цилиндра, теорема Гаусса

Тренировочный вариант. Бесконечно длинный круглый цилиндр радиуса a заряжен по поверхности с постоянной линейной плотностью λ. Используя теорему Гаусса, найти напряжённость поля снаружи и внутри цилиндра как функцию расстояния r от его оси. Ответ: Eснаружи = λ/(2πrε0), Eвнутри = 0.

Решение (законспектировать). Вспомним теорему Гаусса для напряжённости электрического поля: поток вектора напряжённости через произвольную замкнутую поверхность S пропорционален заряду, находящемуся внут-

Этим условиям в задаче удовлетворяет соосная цилиндрическая поверхность. Построим такую поверхность с произвольным радиусом r и высотой h, см. рисунок.

17

#

Вычислим левую часть формулы, т. е. поток вектора E через выбранную

поверхность: Φ = I #d#

E S .

S

Будем вычислять этот интеграл в виде суммы по боковой поверхности и

Из рисунка видно, что как на верхнем, так и на нижнем основаниях постро-

произведение равно нулю. Поэтому

ме того, в силу цилиндрической симметрии поля в каждой точке боковой

Sбок

В правой части формулы теоремы Гаусса стоит заряд, находящийся внутри поверхности S. Рассмотрим два случая.

1. Цилиндрическая поверхность S находится снаружи, т. е. r > a. В этом случае находящийся в ней заряд равен произведению линейной плотности λ на высоту этой поверхности h:

q = λh.

Подставим найденные выражения для левой и правой частей в формулу теоремы Гаусса:

= λh. ε0

18

Выразив E, получим ответ:

2. Цилиндрическая поверхность S находится внутри, т. е. r < a. В в этом случае весь заряд окажется вне этой поверхности, т. е.

q = 0.

#

Если внутри S нет заряда, то и поток E равен нулю, т. е.

Eвнутри = 0.

Задача 1.3а (решить самостоятельно). Бесконечно длинный круглый цилиндр радиуса a заряжен по поверхности с постоянной поверхностной плотностью σ. Используя теорему Гаусса, найти напряжённость поля снаружи и внутри цилиндра как функцию расстояния r от его оси.

Ответ: Eснаружи = aσ/(rε0), Eвнутри = 0.

Задача 1.3б (решить самостоятельно). Бесконечно длинный круглый цилиндр радиуса a заряжен по всем внутреннему объёму с постоянной плотностью ρ. Используя теорему Гаусса, найти напряжённость поля снаружи и внутри цилиндра как функцию расстояния r от его оси. От-

вет: Eснаружи = a2ρ/(2rε0), Eвнутри = rρ/(2ε0).

Задача 1.4 Поток вектора напряжённости через грани куба

Тренировочный вариант. В вершине куба расположен точечный заряд q. Найти поток создаваемого зарядом вектора напряжённости электрического

19

ности.

Из рисунка видно, что три ближайшие к заряду грани куба (заштрихова-

следует, что

С другой стороны, так как грани большого куба образуют замкнутую по-

верхность Sб.куб внутри которой находится заряд q, поток через неё можно найти по теореме Гаусса:

Следовательно,

Задача 1.4а (решить самостоятельно). Через одно из рёбер куба проходит бесконечно длинная прямая проволока с постоянной линейной плотностью заряда λ. Длина ребра равна a. Найти поток создаваемого прово-

#

локой вектора напряжённости электрического поля E через каждую из граней куба. Ответ: Φближ. = 0, Φдальн. = aλ/(8ε0).

20