Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

Проинтегрируем dW по всему пространству вне шара, т. е. от R до бесконечности:

Теперь подставим числа в формулы для W1 и W2 и вычислим полную энергию как W = W1 + W2:

Задача 3.6а (решить самостоятельно). Проводящий шар радиусом R = 1 см имеет заряд q = 33 мкКл. Определить энергию создаваемого шаром электрического поля, если диэлектрическая проницаемость вне шара равна ε = 2. Ответ: W = 245 Дж.

Задача 3.6б (решить самостоятельно). Точечный заряд величиной q = 52 мКл находится в центре шарового слоя диэлектрика с проницаемостью ε = 5, внутренний радиус которого равен R1 = 2 см, а внешний R2 = 5 см. Определить энергию электрического поля, заключённого в диэлектрике. Ответ: W = 73 МДж.

61

ТЕМА 4. ЭНЕРГИЯ ТОКА. ЗАКОН ОМА И ПРАВИЛА КИРХГОФА

Формулы (законспектировать и выучить)

Сила тока: I = dq/dt.

Заряд конденсатора: q = CU. Закон Джоуля—Ленца: Q = I2Rt. Мощность тока: P = I2R.

Удельное сопротивление в зависимости от температуры (в градусах Цельсия): ρ = ρ0(1 + αt).

Сопротивление цилиндрического проводника длины `, имеющего площадь поперечного сечения S: R = ρ`/S.

Закон Ома для однородного участка цепи: U = IR.

Закон Ома для неоднородного участка цепи: IR = ϕ1 − ϕ2 + E . Закон Ома для неоднородной замкнутой цепи: E = I(Rист + Rнагр). Первое правило Кирхгофа — для узлов цепи: Pk Ik = 0.

Второе правило Кирхгофа — для контуров цепи: Pk IkRk = Pk Ek.

Задача 4.1 Максимальная мощность источника ЭДС

Тренировочный вариант. Найти максимальную мощность, которую можно получить от источника ЭДС E = 4.5 В, если известно что его ток короткого замыкания равен Iк.з. = 2 А. Ответ: Pмакс = 2.25 Вт.

Решение (законспектировать). Мощность, выделяемая при прохождении тока I через нагрузку сопротивлением R, равна

P = I2R.

Ток I, создаваемый источником ЭДС E , вычислим по закону Ома для замкнутой неоднородной цепи:

I = E ,

R0 + R

где R0 — внутреннее сопротивление источника ЭДС, R — сопротивление нагрузки.

62

Подставим выражения для тока в формулу для мощности:

Нам нужно найти такое сопротивление нагрузки R, при котором мощность достигает максимума. Для этого вычислим производную P по R:

Теперь приведём выражение к общему знаменателю и приравняем его нулю. Найдём, при каком R это выражение обращается в ноль. Для этого достаточно рассмотреть только числитель:

.

Таким образом, мы получили, что максимальную мощность от источника ЭДС можно получить, если сопротивление нагрузки равно его внутреннему сопротивлению.

Подставим в формулу для мощности найденное оптимальное значение сопротивления нагрузки:

В этой формуле нам пока неизвестно сопротивление R0. Чтобы его вычислить, снова запишем закон Ома для замкнутой неоднородной цепи для случая короткого замыкания, т. е. когда сопротивление нагрузки равно нулю:

63

Найдём отсюда R0 и подставив в формулу для мощности, получим

Подставим числа и найдём ответ:

Задача 4.1а (решить самостоятельно). При подключении к источнику ЭДС E = 24 В сопротивления R1 = 2 Ом в нём течёт ток I1 = 6 А. Определите, какую максимальную мощность можно получить от этого источника. Ответ: Pмакс = 72 Вт.

Задача 4.1б (решить самостоятельно). Какой должна быть ЭДС источника, который может выдать максимальную мощность Pмакс = 100 Вт, а

через подключении нагрузки R = 2 Ом обеспечивает ток I = 3 А. Ответ: E = 6.30 В.

Задача 4.2 Тепло при разрядке конденсатора

Тренировочный вариант. Конденсатору ёмкости C = 200 мкФ сообщили заряд q0 = 50 мКл, а затем, предварительно отключив от источника питания, замкнули через некоторое сопротивление. Используя закон Джоуля— Ленца, определите, какое количество теплоты выделится в сопротивлении при разрядке конденсатора. Сравните полученную для расчёта формулу с формулой для энергии плоского конденсатора. Ответ: Q = 6.25 Дж.

Решение (законспектировать). Закон Джоуля—Ленца для постоянного тока имеет вид

Нам известен начальный заряд на конденсаторе. Поэтому выразим все величины, входящие в эту формулу, через заряд на конденсаторе.

64

Сначала используем закон Ома U = IR, чтобы выразить неизвестное сопротивление R через напряжение на конденсаторе U.

dQ = IUdt.

Теперь выразим U через заряд конденсатора q и ёмкость C:

Вспомним, что сила тока есть скорость переноса заряда через сечение проводника. В нашем случае будем говорить о заряде, переносимом через резистор:

I =

Заряд dqR, переносимый через резистор за время dt, равен убыли заряда на конденсаторе. Поэтому

dqR = −dq.

Следовательно, ток следующим образом связан с зарядом на конденсаторе:

I = −ddqt .

Подставим это выражение в формулу Джоуля— Ленца:

Сократив dt, получим

Теперь нужно проинтегрировать эту формулу от начального значения заряда q = q0 до конечного, равного нулю, q = 0:

Найдя этот интеграл, получим формулу для количества теплоты:

65

Отметим, что полученная формула совпадает с формулой для энергии конденсатора. Это следствие закона сохранения энергии: вся энергия, накопленная в конденсаторе, превращается в тепло. Подставив числа, получим ответ:

Задача 4.2а (решить самостоятельно). Конденсатор ёмкости C = 220 мкФ зарядили до напряжения U = 50 В, а затем, предварительно отключив от источника питания, замкнули через некоторое сопротивление. Используя закон Джоуля—Ленца, определите, какое количество теплоты выделится в сопротивлении при разрядке конденсатора. Сравните полученную для расчёта формулу с формулой для энергии плоского конденсатора. Ответ: Q = 0.275 Дж.

Задача 4.2б (решить самостоятельно). Конденсатору ёмкости C = 100 мкФ сообщили заряд q0 = 30 мКл, а затем, предварительно отключив от источника питания, замкнули через некоторое сопротивление. Используя закон Джоуля—Ленца, определите, какое количество теплоты выделится в сопротивлении к моменту, когда конденсатор разрядится наполовину. Ответ: Q = 3.375 Дж.

Задача 4.3 Сопротивление неоднородного проводника

Тренировочный вариант. Проводящая пластинка толщиной w вырезана в форме криволинейной трапеции таким образом, что одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, а вторая имеет форму гиперболы. Первое основание трапеции равно a, а второе — в два раза меньше. Высота трапеции равна h. На первом основании трапеции поддерживают постоянную температуру 0◦C, а температура на втором основании равна t. Внутри проводника температура меняется по линейному закону. Вычислить сопротивление

проводника для тока, текущего от одного основания трапеции к другому.

Ответ: R = hρ0(5αt + 9)/(6aw).

66

Сначала найдём формулу, описывающую форму её криволинейной стороны. Так как сказано, что это должна быть гипербола, то в общем виде формулу можно записать следующим образом:

Положим b1 = a, b2 = 1. Для правого основания: y(h) = a/2,

Отсюда следует, что b3 = 1/h. Таким образом, имеем

Теперь найдём закон изменения температуры t0 внутри проводника. Отметим, что в формулу для температурной зависимости удельного сопротивления ρ = ρ0(1 + αt0) входит температура по Цельсию. Поэтому будем рассматривать именно эту температурную шкалу.

По условию температура меняется по линейному закону, т. е.

t0 = b1 + b2x.

Так как слева t0 = 0, то нужно положить b1 = 0. Справа при x = h имеем t0 = t, т. е.

t = b2h.

Следовательно,

b2 = t/h.

Таким образом, температура внутри проводника меняется по закону

t0 = xt/h.

Теперь вычислим сопротивление, используя формулу

R = ρS` .

67

Так как свойства проводника меняются в зависимости от x, рассмотрим его бесконечно малый фрагмент длиной dx, см. схему.

Удельное сопротивление зависит от температуры по формуле

ρ = ρ0(1 + αt0),

где ρ0 — удельное сопротивление вещества при 0◦C, а α — температурный коэффициент. Учитывая полученную зависимость температуры от x, най-

Преобразуем это выражение так, чтобы избавиться от многоэтажных дробей:

Теперь проинтегрируем от 0 до h, чтобы получить искомое сопротивление проводника R:

68

Задача 4.3а (решить самостоятельно). Проводник имеет форму прямого круглого усечённого конуса высотой h, радиусы оснований которого равны r1 и r2. Проводник находится при постоянной температуре, при которой его удельное сопротивление равно ρ. Вычислить сопротивление проводника для тока, текущего от основания к основанию. От-

вет: R = hρ/(πr1r2).

Задача 4.3б (решить самостоятельно). Прямой цилиндрический проводник с площадью поперечного сечения S прогревают таким образом, что на его основаниях температура равна t1 и t2, а внутри она меняется по линейному закону. Найти сопротивление проводника для тока, текущего от основания к основанию. Удельное сопротивление при 0◦C

и температурный коэффициент взять как ρ0 и α, соответственно. Ответ: R = hρ0[α(t1 + t2) + 2]/(2S).

Решение (законспектировать). Сначала запишем формулу для полного сопротивления нагрузки R. Сопротивление последовательно включённых резисторов R1 и R2 равно

Теперь найдём сопротивление параллельно включенных R12 и R3:

Чтобы избежать громоздких вычислений в дальнейшем, подставим числовые значение сопротивлений и найдём, чему равно R:

69

Используем закон Ома для замкнутой неоднородной цепи, чтобы найти полный ток, текущий через нагрузку:

I = E .

R0 + R

Этот ток складывается из тока I12, проходящего через резисторы R1 и R2, и тока I3, который течёт через R3:

Так как ток I3 нас не интересует, выразим его в этой формуле через I и I12, используя полученное выше равенство. Затем из полученного выражения найдём I12:

,

,

,

I12 = I × .

70