Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

вид приближённого выражения для функции f(x). Например, если f0(0) не

равно нулю, то

f(x) ≈ f(0) + f0(0)x.

Если же окажется, что f0(0) = 0, но f00(0) =6 0, тогда f(x) ≈ f(0) + 12f00(0)x2.

Будем рассматривать E как функцию от `. Так как ` мало, построим приближённую формулу, дифференцируя E по `.

Подставив сюда ` = 0, увидим, что выражение E0(0) не обращается в ноль. Следовательно, можно записать искомую приближённую формулу для поля диполя в мультипольном приближении:

Вычислим теперь силу, действующую на диполь. Известно, что эта сила

диполь ориентирован вдоль линии r, то нужно искать производную ∂E/∂r.

Используя полученное ранее выражение для поля, запишем силу:

31

Минус в полученном выражении говорит о том, что сила направлена против

вектора #. Как видно из рисунка, это значит, что сила направлена к зарядам, p

т. е. диполь притягивается к ним.

Поменяем теперь заряды местами, так, чтобы ближе к диполю оказался отрицательный заряд. Теперь вектор поля будет направлен справа налево и

учесть, домножив ∂E/∂r на минус единицу. Тогда выражение для силы получится положительным. Это будет означать, что сила направлена вдоль

#, т. е. снова к зарядам. Таким образом, независимо от полярности зарядов, p

диполь всегда втягивается в область более сильного поля.

Задача 2.1а (решить самостоятельно). Четыре заряда величины q расположены вдоль прямой в следующей последовательности: +q, +q, −q, −q. Расстояние между каждой парой соседних зарядов равно `. На прямой, проходящей через заряды, на расстоянии r от центра их симметрии со стороны положительных зарядов, поместили диполь, который свободно установился в поле зарядов. Считая ` малым, найти силу, действующую на диполь, если модуль вектора его электрический момента равен

p. Ответ: F = −6`qp/(πε0r4).

Задача 2.1б (решить самостоятельно). Четыре заряда величины q расположены вдоль прямой в следующей последовательности: +q, −q, −q, +q. Расстояние между каждой парой соседних зарядов равно `. На прямой, проходящей через заряды, на расстоянии r от центра их симметрии, поместили диполь, который свободно установился в поле зарядов. Считая ` малым, найти силу, действующую на диполь, если модуль вектора его электрический момента равен p. Ответ: F = −12`2qp/(πε0r5).

Задача 2.2 Работа поля по поляризации диэлектрика

Тренировочный вариант. Для полярного диэлектрика, молекулы которого имеют постоянный электрический дипольный момент p, найти работу, которую должно совершить однородное постоянное электрическое поле, чтобы поляризовать ν моль этого вещества до максимально возможной величины. Тепловым движением молекул пренебречь. Перед включением поля молеку-

лярные диполи распределены по углам относительно вектора поля по закону cos2(α/2). Ответ: A = νNАpE/2.

Решение (законспектировать). Поляризация диэлектрика — это поворот молекулярных диполей под действием приложенного поля. Так как в задаче идёт речь о поляризации до максимальной величины, нужно повернуть каждый диполь строго по полю.

32

Работу совершает сила, создаваемая потенциальным полем. Поэтому она равна убыли потенциальных энергий всех молекулярных диполей, т. е. разности начальной и конечной потенциальных энергий. Пусть сразу после включения поля некий диполь был направлен под углом α к полю. Тогда работа по его ориентации строго по полю равна

ставим в формулу для работы это выражения для потенциальной энергии,

Теперь нужно просуммировать работы для всех молекулярных диполей. Однако диполи ориентированы по-разному, и чтобы это учесть, нам потребуется использовать закон распределения диполей по углу.

В условии дано выражение cos2(α/2). Оно даст нам информацию о том, какая доля от общего числа диполей первоначально ориентирована под углом α к полю. Для этого построим плотность распределения:

ρ(α) = C cos2(α/2),

где C — пока неизвестная константа, предназначение которой мы обсудим позже.

Смысл плотности распределения ρ(α): относительная доля диполей, имеющих углы от α до α + dα, равна ρ(α)dα. Относительная доля — дробное число, меньше единицы. Если его умножить на 100, то получится процент диполей с таким углами. Если же умножить относительную долю на общее количество диполей M, т. е. записать Mρ(α)dα, то получится количество диполей с углами от α до α + dα.

Углы могут принимать значения от 0 (диполь строго по полю) до π (диполь строго против поля). Если перебирать все допустимые углы и складывать количества соответствующих диполей, то с очевидностью должно получиться M, т. е.

Zπ

Mρ(α)dα = M.

0

Отсюда следует:

Zπ ρ(α)dα = 1.

0

33

Это называется условием нормировки плотности распределения. Константа C, которую мы добавили в формулу для ρ(α), нужна как раз для того, чтобы это равенство выполнялось. Подставим сюда выражения для ρ(α) и вычислим C:

Принимая во внимание формулу cos 2α = 2 cos2 α − 1, получим

C Zπ(cos α + 1)dα = 1.

2 0

Теперь можно легко найти этот интеграл и вычислить C:

,

,

,

Вернёмся к вычислению работы. Мы уже знаем, что количество диполей с углами от α до α + dα равно Mρ(α)dα, где M — общее количество диполей. Работа по их ориентации равна

dA = AдипMρ(α)dα.

Подставим сюда полученное выше выражение для Aдип и проинтегрируем по всем углам, чтобы получить искомую полную работу:

34

Вынеся постоянные за скобки, мы получим интеграл, который удобно вычислить отдельно:

Снова используем формулу для косинуса двойного угла и вычислим этот интеграл по аналогии с тем, как это было сделано при вычислении константы нормировки C.

Вернёмся к формуле для A, подставим найденное выражение для интеграла и получим:

Осталось только найти число молекулярных диполей M. Так как нам известно число молей вещества, то

Таким образом, окончательно имеем

Задача 2.2а (решить самостоятельно). Для полярного диэлектрика, молекулы которого имеют постоянный электрический дипольный момент p, найти работу, которую должно совершить однородное постоянное электрическое поле, чтобы поляризовать ν моль этого вещества до максимально возможной величины. Тепловым движением молекул пренебречь. Перед включением поля молекулярные диполи равномерно распределены по углам относительно вектора поля. Ответ: A = νNАpE.

35

Задача 2.2б (решить самостоятельно). Для полярного диэлектрика, молекулы которого имеют постоянный электрический дипольный момент p, найти работу, которую должно совершить однородное постоянное электрическое поле, чтобы поляризовать ν моль этого вещества. Перед включением поля молекулярные диполи распределены по углам равномерно,

а после включения угол поворота каждого диполя относительно вектора поля уменьшился в 10 раз. Ответ: A = νNАpE sin(0.1π)/(0.1π).

Задача 2.3 Средняя объёмная плотность связанных зарядов

Тренировочный вариант. Помещённая во внешнее электрическое поле плоскопараллельная пластина толщиной d изготовлена из изотропного диэлектрика. Вектор поляризации на первой и второй границах пластины постоянен по модулю и равен P1 и P2, соответственно. Вектор направлен вдоль перпендикуляра, проведённого от первой границы ко второй. Найти среднюю объёмную плотность связанных зарядов. hρ0i. Ответ: hρ0i = (P1 − P2)/d.

Решение (законспектировать). Когда диэлектрик попадает во внешнее поле, происходит поляризация молекулярных диполей — они выстраиваются

#

преимущественно вдоль поля. Поляризация характеризуется вектором P , модуль которого равен среднему электрическому дипольному моменту молекул в единице объёма.

В результате поляризации происходит перераспределение зарядов электронных оболочек и атомных ядер, в результате которого на поверхности диэлектрика возникают нескомпенсированные поверхностные связанные заряды. Если диэлектрик неоднородный, то также возникает и нескомпенсированные объёмные связанные заряды. Связанными эти заряды называют потому, что они не могут свободно перемещаться по поверхности и внутри вещества. Нескомпенсированные связанные заряды принято обозначать штрихом.

36

Рассмотрим левую часть формулы теоремы Гаусса:

#

Так как P перпендикулярен границам пластинки, поток через боковую поверхность цилиндра равен нулю.

Рассмотрим правую часть формулы теоремы Гаусса. Выразим полный связанный заряд, находящийся внутри поверхности S как произведение её объёма V = Sd на среднюю объёмную плотность заряда hρ0i:

q0 = Sdhρ0i.

Теперь подставим найденные выражения для потока и заряда в формулу теоремы Гаусса и вычислим hρ0i:

,

37

Задача 2.3а (решить самостоятельно). В центр шара радиуса R из изотропного диэлектрика поместили точечный заряд, поле которого привело к поляризации вещества шара. Вектор поляризации всюду на поверхности шара направлен по радиусу внутрь, а по модулю равен P . Найдите среднюю объёмную плотность нескомпенсированного связанного заряда внутри шара. Ответ: hρ0i = 3P/R.

Задача 2.3б (решить самостоятельно). Вдоль оси длинного цилиндра радиуса R из изотропного диэлектрика поместили токую заряженную нить, поле которой привело к поляризации вещества цилиндра. Вектор поляризации всюду на поверхности цилиндра направлен по радиусу наружу, а по модулю равен P . Найдите среднюю объёмную плотность нескомпенсированного связанного заряда внутри цилиндра. Указание:

#

используйте для решения теорему Гаусса для вектора P , выберав цилиндр в качестве поверхности интегрирования. Ответ: hρ0i = −2P/R.

Задача 2.4 Поверхностные плотности зарядов на сферическом диэлектрике

Тренировочный вариант. Шар, имеющий заряд q = 10 нКл и радиус R = 5 см, равномерно окружён слоем фарфора (ε = 5) толщиной d = 2 см.

Определить поверхностные плотности σ10 и σ20 связанных зарядов соответ-

ственно на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика. Ответ: σ10 =

−[(ε − 1)/ε][q/(4πR2)] = −0.255 мкКл/м2, σ20 = [(ε − 1)/ε][q/(4π(R + d)2)] = 0.130 мкКл/м2.

такого заряда σ0 для однородных изотропных ди-

#

электриков равна Pn, т. е. проекции вектора P на

вектор нормали к поверхности #, n

σ0 = Pn.

38

#

Сначала найдём P на поверхностях диэлектрика. Вообще говоря, для однородного изотропного диэлектрика поляризация пропорциональна электри-

# = # #

ческому полю: P {ε0E. Однако мы пока не можем найти E. Проблема в

#

том, что E зависит как от свободного заряда q, так и от связанных зарядов на поверхностях σ0.

В такой ситуации необходимо сначала найти вектор электрического смеще-

S

Окружим заряд сферой радиуса r. Так как влияние оказывает только свободный заряд q, сфера может находиться как внутри диэлектрика, так и

#

снаружи. Из соображений симметрии сразу видно, что вектор D всюду на поверхности сферы r направлен по радиусу и постоянен по модулю. Поэтому теорему Гаусса можно переписать так:

поэтому формулы можно записать для модулей этих векторов. Таким образом:

39

Рассмотрим поляризацию P1 = P (R) на внутренней границе диэлектрика. Из рисунка видно, что вектор поляризации направлен внутрь диэлектрика. Следовательно, поверхностная плотность связанных зарядов σ10 отрицательна:

На внешней поверхности P2 = P (R + d) и вектор смотрит наружу:

Тренировочный вариант. Шар из диэлектрика с проницаемостью ε = 6 заряжен с постоянной объёмной плотностью ρ = 3 мКл/м3. Радиус шара R = 5 см. Найти напряжённость электрического поля E как функцию расстояния r от центра шара; рассмотреть случаи r < R и r > R. Вы-

числить объёмную ρ0 и поверхностную σ0 плотности связанных зарядов.

Ответ: При r < R: E(r) = rρ/(3εε0), при r > R: E(r) = R3ρ/(3r2εε0).

ρ0 = −2.5 мКл/м3, σ0 = 42 мкКл/м2.

Решение (законспектировать). Электрическое поле в этой задаче создаётся зарядами двух типов: свободными, которые перенесены в диэлектрик и имеют объёмную плотность ρ, и связанными ρ0, которые возникают из-

40