Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

Задача 5.3 Взаимодействие прямых проводников, сила Ампера

Тренировочный вариант. Два прямых провода расположены горизонтально, параллельно, один под другим, причём нижний провод удерживается без дополнительного закрепления. По верхнему проводу течёт ток I1 = 50 А, по нижнему I2 = 2 А. Расстояние между проводами x = 5 мм. Вычислить радиус нижнего провода, если известно, что он имеет круглое сечение и сделан из алюминия, плотность которого равна ρ = 2.7 г/см3. Ответ: r = 0.22 мм.

Решение (законспектировать). Вес нижнего провода длиной ` уравновешивается силой Ампера, которая задаётся по отношению к единице длины провода:

FАмп` = mg,

Сила Ампера равна

= µ0 2I1I2 FFмп 4π x .

Вычислим теперь массу провода, выразив её через плотность ρ, длину ` и площадь сечения πr2:

Подставим всё в условие равновесия и выразим радиус проводника r:

,

,

.

81

Теперь подставим числа, и найдём ответ:

Задача 5.3а (решить самостоятельно). Два расположенных горизонтально один над другим прямых параллельных провода погружены в раствор Туле с плотностью ρж = 3.2 г/см3. По верхнему проводу течёт ток I1 = 30 А, ток в нижнем равен I2 = 0.75 А. Расстояние между проводами x = 6 мм. Вычислить площадь поперечного сечения провода S, если известно, что он сделан из титана, плотность которого рав-

на ρ = 4.5 г/см3. Магнитной проницаемостью раствора пренебречь. Ответ: S = 0.059 мм2.

Задача 5.3б (решить самостоятельно). На гладкой наклонной плоскости расположены горизонтально два параллельных прямых провода, один выше другого. Ток в верхнем проводе равен I1 = 20 А, ток в нижнем равен I2 = 0.5 А. Расстояние между проводами, измеренное вдоль наклонной плоскости, равно x = 10 мм. Нижний провод сделан из алюминия, ρ = 2.7 г/см3, его площадь сечения равна S = 0.05 мм2. Найти, при каком угле наклона плоскости к горизонта α нижний провод остаётся неподвижным. Ответ: α = 8.69◦.

Задача 5.4 Магнитное поле в центре заряженного вращающегося тела

Тренировочный вариант. Шар, имеющий постоянную поверхностную плотность заряда σ = 1.4 мКл/м2, вращается с угловой скоростью ω = 50 рад/с. Радиус шара R = 12 см. Вычислить индукцию магнитного поля в центре шара. Ответ: B = 7.04 нТл.

Решение (законспектировать). Поделим поверхность шара на бесконечно тонкие кольца. Каждое кольцо за счёт вращения создаёт круговой ток, который порождает магнитное поле внутри шара.

Найдём площадь кольца:

dS = 2πrRdα.

82

Заряд на его поверхности равен

Входящий в эту формулу радиус кольца r можно выразить через R и α:

Сила тока — это количество заряда, переносимого через сечение проводника за единицу времени. Мысленно построим полуплоскость, ограниченную осью вращения. Весь заряд кольца dq переносится через полуплоскость за время t равное периоду обращения шара T . Следовательно,

dI = dTq.

Мы пишем здесь dI вместо просто I потому, что имеем дело с бесконечно тонким кольцом, заряд которого равен dq. Учтя, что

T= 2ωπ,

ииспользуя полученную выше формулу для dq, запишем выражение для тока:

Теперь найдём магнитное поле, создаваемое кольцом в центре шара. Общая

Подставим сюда выражения для тока (вместо I используем dI) и радиуса кольца r. В знаменателе выражения для Bкруг стоит r2 + x2. Из рисунка видно, что в нашем случае

r2 + x2 = R2.

83

В итоге получим формулу для индукции магнитного поля, создаваемого в центре шара рассматриваемым кольцом:

Теперь нужно сложить вклады от каждого кольца. Для этого нужно проинтегрировать полученную формулу по α от 0 до π.

Так как в выражении для dB от переменной интегрирования α зависит только множитель sin3 α, рассмотрим отдельно интеграл от него.

Zπ sin3 α dα =

0

Представим sin3 α как sin2 α sin α:

=Zπ sin2 α(sin α dα) =

0

В силу того, что d cos α/dα = − sin α, для выражения в скобках имеем sin α dα = −d cos α. Следовательно,

= − Zπ sin2 α d cos α = − Zπ(1 − cos2 α)d cos α =

0 0

Теперь сделаем замену переменных ξ = cos α и вычислим интеграл:

84

В итоге получим формулу для магнитного поля в центре шара B:

Теперь подставим числа и найдём ответ:

Задача 5.4а (решить самостоятельно). Цилиндр, имеющий постоянную поверхностную плотность заряда σ = 2.2 мКл/м2, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω = 150 рад/с. Радиус цилиндра R = 2 см, высота 2a = 20 см. Вычислить индукцию магнитного поля в точке, находящейся в центре цилиндра. Ответ: B = 8.13 нТл.

Задача 5.4б (решить самостоятельно). Тонкий диск, имеющий постоянную поверхностную плотность заряда σ = 1.8 мКл/м2, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω = 200 рад/с. Радиус диска

R = 20 см. Вычислить индукцию магнитного поля в центре диска. Ответ: B = 45.2 нТл.

85

Обратимся к формуле силы Лоренца:

вниз. Следовательно, так как наша частица, электрон, заряжена отрицательно, магнитную составляющую силы нужно направить вверх.

#

Теперь нужно разобраться с направлением электрического поля E. В усло-

#

вии сказано, что, меняя модуль вектора E без изменения его направления можно добиться, чтобы частица полетела по прямой. Согласно первому закону Ньютона, это происходит, когда результирующая всех сил равна нулю.

# #

Значит поле E должно быть направлено так, чтобы создаваемая им сила F э

#

была направлена против F м. (Силой тяжести, действующей на электрон, можно пренебречь, так как она будет значительно меньше электромагнитных сил).

В этой формуле нам неизвестна скорость электрона.

Запишем уравнение движения для случая, когда электрон только влетел в поля и электрическое поле имеет первоначальное значение. В этот момент электрическая и магнитная силы, действуя вдоль линии, перпендикулярной скорости, создают нормальное, т. е. центростремительное, ускорение:

Проведём ось X вертикально вверх. В начальный момент времени все эти векторы направлены вдоль неё.

86

В зависимости от того, какая из сил больше, Fм или Fэ, нормальное ускорение может быть направлено вверх или вниз. Так как в условии сказано, что Fм > Fэ, нормальное ускорение будет сонаправлено с Fм. Исходя из этого, спроецируем векторное уравнение на ось X:

man = Fм − Fэ.

Теперь, подставив в эту формулу выражения для an, Fм и Fэ,

,

получим квадратное уравнение для скорости. Это уравнение имеет два решения.

Рассмотрим их оба. Вернёмся к записанной выше формуле для Eпрям и выведем рабочие формулы:

Теперь подставим числа и получим ответ:

87

Задача 5.5а (решить самостоятельно). Протон влетает в однородное магнитное поле со скоростью v = 103 м/с перпендикулярно силовым линиям и начинает двигаться по окружности радиуса R = 20 мм. Какое по величине и направлению однородное электрическое поле нужно включить, чтобы протон полетел по прямой? Силой тяжести пренебречь.

Ответ: E = 0.52 В/м.

Задача 5.5б (решить самостоятельно). Однородные электрическое и магнитное поля направлены перпендикулярно друг к другу. Если некоторая частица попадает в поля с нулевой начальной скоростью при отключённой магнитной составляющей, то она начинает двигаться с ускорением a = 105 м/с2. Если же она влетает со скоростью v = 500 м/с перпендикулярно силовыми линиями магнитного поля при отсутствии электрического, то начинает двигаться по окружности радиуса R0 = 15 см. Вычислить радиус кривизны R траектории частицы в момент, когда она влетает с той же скоростью в поля в присутствии как электрической, так и магнитной составляющих. Проанализировать два возможных варианта решения. Силой тяжести пренебречь. Ответ: R = 14 см или R = 16 см.

Задача 5.6 Магнитное поле объёмного проводника

Тренировочный вариант. В плоскопараллельной бесконечной пластине толщиной 2a параллельно поверхности течёт ток, плотность которого меняется по закону j = k|x|, где x — координата, отсчитанная от центра пластины. Найти индукцию магнитного поля внутри и снаружи пластины как функцию x. Магнитную проницаемость пластины считать равной единице.

Ответ: B(x 6 a) = µ0kx2/2, B(x > a) = µ0ka2/2.

Решение (законспектировать). Нарисуем схему. Направим ток перпендикулярно плоскости рисунка внутрь. Отсюда по правилу правого винта по-

#

лучим, что в верхней части пластины вектор B направлен вдоль плоскости рисунка слева направо, а в нижней части — справа налево.

88

которая характеризует его поведение в магнитном поле. Однако по условию задачи в данном случае µ можно пренебречь. Интегрирование в левой части выполняется вдоль произвольного ориентированного контура L, а справа стоит суммарный ток I, охваченный контуром.

убывает сверху вниз, меняет направление и начинает нарастать в обратную

тельно, интегралы по этим участкам будут равны нулю:

Вычислим теперь ток, охваченный контуром. Так как плотность тока зависит от x, для вычисления полного тока нужно проинтегрировать j по

89

поверхности контура:

I = Zx dξ Zb dy j(ξ).

−x −b

Отметим, что здесь x появляется в пределах интегрирования, а в качестве переменной интегрирования мы использовали ξ. Подставим сюда выражения для плотности тока j = k|ξ| и вычислим интеграл:

I = Zx dξ Zb dy k|ξ| = 2bk Zx |ξ| dξ =

−x −b −x

Чтобы двигаться дальше, нужно понять, что делать с модулем под знаком интеграла. Вспомним:

Значит, можно разбить интервал интегрирования на две части: от −x до 0 и от 0 до x и избавиться от модуля:

#

Теперь соберём вместе левую и правую части теоремы о циркуляции B и получим искомое выражение для поля внутри пластины:

,

#

Теперь рассмотрим поле вне пластины. Циркуляция B, т. е. левая часть формулы, будет точно такой же. Вычислим ток, охватываемый контуром, когда его высота x превышает размер пластины. Так как вне пластины тока нет, в

90