Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие

Задача 6.4а (решить самостоятельно). Парамагнетик при температуре

T1 = 300 К поместили в магнитное поле с индукцией B1 = 1.5 Тл и его намагниченность достигла некоторой величины. При какой индукции B2

намагниченность окажется вдвое меньше, если температуру поднять до

T2 = 400 К. Ответ: B2 = 1 Тл.

Задача 6.4б (решить самостоятельно). Парамагнетик при температуре

T1 = 300 К поместили в магнитное поле с индукцией B1 = 1.5 Тл, и его намагниченность достигла некоторой величины. Затем температуру подняли до T2 = 350 К а индукцию магнитного поля до B2 = 2.2 Тл. Намагниченность при этом выросла на J = 11 А/м. Найти постоянную

Кюри CКюри. Ответ: CКюри = 0.01 К.

Задача 6.5 Граничные условия для магнитного поля

Тренировочный вариант. Плоскопараллельная пластинка из однородного изотропного магнетика с восприимчивостью χ = 1.8 помещена в однородное магнитное с индукцией B = 0.5 Тл так, что силовые линии расположены под углом α = 80◦ к поверхности пластинки. Чему равна намагниченность J пластинки? Ответ: J = 0.28 МА/м.

Решение (законспектировать). Намагниченность выражается через напряжённость магнитного поля в веществе:

101

Теперь используем граничные условия для напряжённости:

Зная компоненты вектора напряжённости внутри пластинки, можно по теореме Пифагора найти её модуль, а затем найти J:

Теперь можно подставить числа и найти ответ:

Задача 6.5а (решить самостоятельно). Плоскопараллельная пластинка из однородного изотропного магнетика с восприимчивостью χ = 2.1, находясь в однородном магнитном поле с индукцией B, имеет намагниченность J = 0.4 МА/м. При этом продольная составляющая напряжённости магнитного поля внтури пластинки равна H2τ = 0.11 МА/м. Найти B снаружи магнетика. Ответ: B = 0.62 Тл.

Задача 6.5б (решить самостоятельно). Намагниченность плоскопараллельной пластинки из однородного изотропного магентика с проницаемостью χ = 1.5 направлена под углом 45◦ к поверхности и имеет величину J = 0.25 МА/м. Под каким углом к поверхности направлено внешнее магнитное поле? Ответ: α = 68◦.

102

Задача 6.6 Тороидальный соленоид с зазором

Тренировочный вариант. На тороидальный ферромагнитный сердечник с узким воздушным зазором шириной b = 0.5 мм намотано N = 1500 витков провода. Когда сила тока в обмотке равна I = 1.1 А, напряжённость магнитного поля в зазоре достигает значения Hз = 750 кА/м. Определить магнитную проницаемость сердечника µ, если его диаметр равен d = 650 мм.

# #

Из-за малости зазора можно полагать что векторы Hс и Hз перпендикулярны к границам зазора. Поэтому нам потребуется формула только для нормальных компонент. Так как магнитная проницаемость воздуха равна единице, получим

Hз = µ. Hс

Таким образом, чтобы найти µ, надо найти напряжённость магнитного поля внутри сердечника Hс. Воспользуемся теоремой о циркуляции напряжённо-

L

Здесь Iпров — ток проводимости, охваченный контуром L. Вспомним, что в веществе, находящемся в магнитном поле, возникают токи намагничивания.

#

Циркуляция вектора магнитной индукции B зависит как от токов проводимости, так и от токов намагничивания. Так как нам эти токи не известны,

только от токов проводимости.

Выберем контур L в форме окружности внутри сердечника и зададим на-

#

правление его обхода так, чтобы оно совпадало с направлением вектора H. Контур стоит из двух частей — первая часть, длиной Lс = πd − b, находится внутри сердечника и вторая часть, длиной Lз = b, находится в зазоре.

#

зазора поле внутри него Hз также можно считать однородным, и оно также

103

направлено вдоль d#. Следовательно,

`

Теперь рассмотрим правую часть формулы циркуляции напряжённости магнитного поля. Сила тока в проводе обмотки равна I. Число витков равно N. Следовательно, провод пронизывает контур ровно N раз. Поэтому

Подставим полученные выражения для левой и правой частей в формулу циркуляции:

Из этой формулы найдём Hс и подставим в полученную выше формулу для

µ:

Теперь подставим числа и получим ответ:

Задача 6.6а (решить самостоятельно). На тороидальный ферромагнитный сердечник с узким зазором шириной b = 1 мм намотано N = 1200 витков провода. Магнитная проницаемость сердечника равна µс = 3.2 × 103, зазор заполнен магнетиком с проницаемостью µз = 2.5. Найти напряжённость поля Hз в зазоре при силе тока в обмотке I = 1.5 А. Диаметр сердечника равен d = 600 мм. Ответ: Hз = 728 кА/м.

104

Задача 6.6б (решить самостоятельно). Тороидальный ферромагнитный сердечник с узким воздушным зазором шириной b = 0.75 мм имеет диаметр d = 300 мм и магнитную проницаемость µ = 3.5×103. На сердечник в один слой, виток к витку намотан провод. Какова должна быть плотность намотки n (число витков на единицу длины), чтобы при силе тока

I = 800 мА напряжённость магнитного поля в зазоре достигала значения

H = 600 кА/м? Ответ: n = 812 м-1.

105

ТЕМА 7. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ, САМОИНДУКЦИЯ, ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ

Формулы (законспектировать и выучить)

Закон электромагнитной индукции Фарадея: Eинд = −dΦ/dt. Самоиндукция: Eс.инд = −LdI/dt.

Φ = R #d#

Магнитный поток: S B S . Потокосцепление: Ψ = NΦ, где N — число витков. Потокосцепление контура: Ψ = LI.

Взаимная индукция: E2 = −L12dI1/dt.

Закон Ома для неоднородной замкнутой цепи: E = IR. Сила тока: I = dq/dt.

Мощность тока: P = U2/R.

Магнитная индукция, создаваемая отрезком проводника: B = [µ0/(4π)](I/x)(cos ϕ1+ cos ϕ2), где ϕ1 и ϕ2 — внутренние углы.

Магнитное поле бесконечного прямого тока: B = [µ0/(4π)]2I/x. Магнитное поле в центре кругового тока: B = (µ0/2)I/r.

Справочник

sin2 α = (1 − cos 2α)/2.

Площадь сектора круга: S = ϕr2/2.

Задача 7.1 Контур вращается в однородном магнитном поле

Тренировочный вариант. Квадратный контур со стороной a = 10 см и сопротивлением R = 100 Ом вращается с постоянной частотой ν = 900 мин-1. Перпендикулярно оси вращения направлено постоянное однородное магнитное поле с индукцией B = 0.3 Тл. Найти максимальную мощность, которая будет выделяться на сопротивлении. Эффектом самоиндукции пренебречь. Ответ: Pмакс = 0.8 мВт.

Решение (законспектировать). Изобразим на схеме контур и магнитное

мали к его плоскости.

106

S

Однако в силу того, что в нашем случае поле однородно, формула упрощается:

Φ = BS cos ϕ = Ba2 cos ϕ.

Контур вращается с постоянной угловой скоростью. Следовательно, угол ϕ можно вычислить как произведение угловой скорости (также её называют циклической частотой) на время. Поэтому

По закону Фарадея, в силу изменения магнитного потока во времени в контуре возникает ЭДС индукции, равная

Вообще говоря, это приведёт к возникновению переменного тока в контуре, который, в свою очередь, будет создавать переменный магнитный поток и, следовательно, дополнительную ЭДС, называемую ЭДС самоиндукции. Однако по условию задачи ей можно пренебречь.

Из полученной формулы видно, что максимальное по модулю значение Eинд достигается, когда синус равен единице:

107

Задача 7.1а (решить самостоятельно). Круглый неподвижный контур радиуса r = 5 см и сопротивлением R = 150 Ом находится в однордном магнитном поле, вектор индукции которого не мененяется по направле-

нию и образует угол α = 75◦ c плоскостью контура. Модуль вектора магнитной индукции меняется по закону B = B0 sin(t/T ), где B0 = 0.7 Тл

и T = 10−3 с. Вычислить максимальный ток, текущий через сопротивление. Эффектом самоиндукции пренебречь. Ответ: Iмакс = 35.4 мA.

Задача 7.1б (решить самостоятельно). Плоский контур с площадью

S = 25 см2 находится в магнитном поле. Вектор магнитной индукции имеет постоянный модуль B0 = 0.5 Тл и вращается с частотой ν = 500 Гц в плоскости, перпендикулярной плоскости контура. Вычислить среднюю мощность, выделяемую на подключённом к контуру сопротивлении R = 100 Ом. Указание: необходимо сначала найти мгновенную мощность, а затем проинтегрировать её за период изменения поля. Эффектом самоиндукции пренебречь. Ответ: hP i = 154 мкВт.

Задача 7.2 Заряд, протекающий через контур при включении поля

Тренировочный вариант. Вычислить заряд, который протечёт по плоскому квадратному контуру с длиной стороны a = 10 см и сопротивлением R =

Решение (законспектировать). Согласно закону Фарадея, в контуре будет действовать ЭДС индукции, т. е. переноситься заряд, пока меняется магнитный поток, пронизывающий контур. Изменение магнитного потока в этой задаче происходит, когда включается магнитное поле.

Вспомним закон Фарадея:

Eинд = −dΦdt ,

т. е. ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока. При решении задачи мы должны предполагать, что изменение происходит в течение некоторого промежутка времени, не мгновенно. Иначе мы получим бесконечно большую ЭДС индукции, что не имеет смысла.

Подставим формулу для ЭДС индукции в закон Ома для замкнутой неодно-

родной цепи:

IR = −dΦdt .

108

Однородное магнитное поле B, направленное перпендикулярно плоскости контура, создаёт магнитный поток, равный

Φ = BS,

где S — площадь контура. Подставим это в формулу закона Ома:

IR = −ddt(BS).

Площадь контура постоянна и равна S = a2. Поэтому её можно вынести из под знака производной.

Теперь вспомним, что сила тока — это скорость переноса заряда через сече-

ние проводника:

I = ddqt .

Подставим это в предыдущую формулу:

= −a2 ddBt .

Учитывая, что символ производной d/dt можно интерпретировать как дробь, сократим в левой и правой частях формулы dt:

= −a2dB.

Теперь проинтегрируем полученную формулу за время переходного процесса. В начале перенесённый заряд q был равен нулю, а в конце он стал равен искомой величине q1. Магнитное поле за это время изменилось от нуля до

B1.

В интеграле слева от знака равенства переменной интегрирования является q, а справа B. При этом как слева, так и справа подынтегральная функция равна единице, поэтому интегралы можно легко вычислить:

109

В итоге мы получили формулу для перенесённого заряда q1. Знак минус говорит о направлении переноса, и им можно пренебречь.

Подставим числа и найдём ответ:

Задача 7.2а (решить самостоятельно). Вычислить заряд, который протечёт по плоскому квадратному контуру с длиной стороны a = 20 см и сопротивлением R = 15 Ом после его поворота в однородном магнитном поле индуктивностью B = 30 мТл из положения плоскости вдоль поля в положение поперёк поля. Ответ: q = 80 мкКл.

Задача 7.2б (решить самостоятельно). Проволочный контур сопротивлением R = 70 Ом, который первоначально был сложен таким образом, что его площадь равнялась нулю, растянули, и это привело к увеличению площади до величины S = 25 см2. Растяжение производилось в однородном магнитном поле с индукцией B = 10 мТл, при этом плоскость контура всё время оставалась перпендикулярной вектору поля. Вычис-

лить заряд, который протёк по контуру в процессе растягивания. Ответ: q = 0.36 мкКл.

Задача 7.3 Взаимная индуктивность двух контуров

Тренировочный вариант. Когда в первом из двух лежащих рядом витков включили ток I1 = 13 А, по второму был перенесён заряд q2 = 5 нКл. Найти взаимную индуктивность контуров, если сопротивление второго равно R2 = 26 Ом. Ответ: L12 = 10 нГн.

Решение (законспектировать). Для решения этой задачи мы должны предположить, что нарастание тока в первом контуре происходит не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени.

При нарастании тока в первом контуре во втором начала действовать ЭДС взаимной индукции

E2 = −L12 dI10 ,

dt

где коэффициент L12 называется взаимной индуктивностью контуров. Из-за этого во втором контуре начинает течь переменный ток I20 , и, следовательно,

110