Читай и работай самоучитель по физике для студентов вузов. Электричество и магнетизм. Учебное пособие
.pdfЗадача 8.1 Энергия магнитного поля соленоида
Тренировочный вариант. Вычислить энергию магнитного поля соленоида, содержащего N = 3000 витков тонкого провода, по которому течёт ток I = 0.5 А. Магнитный поток через сечение соленоида равен Φ = 0.5 мВб.
Ответ: W = 375 мДж.
Решение (законспектировать). Энергия магнитного поля в соленоиде вы-
числяется по формуле |
LI2 |
||
W = |
|||
|
. |
||
2 |
|||
Нам пока неизвестна индукутивность L. По определению, индуктивность — это коэффициент пропорциональности в формуле, связывающей потокосцепление Ψ в соленоиде и текущий в нём ток I:
Ψ= LI.
Всвою очередь, потокосцепление вычисляется как произведение числа витков N на магнитный поток, пронизывающий один виток Φ:
Ψ= NΦ.
Из условия задачи нам известен магнитный поток, пронизывающий сечение контура. Так как провод тонкий, можно считать его равным потоку, пронизывающему один виток.
Используя две предыдущие формулы, найдём L:
L = |
|
. |
|
|
|
Теперь подставим L в формулу для энергии и получим
W = |
|
|
. |
|
|
|
|
Подставим числа и найдём ответ:
W = |
|
|
. |
|
|
|
|
121
Задача 8.1а (решить самостоятельно). Вычислить магнитный поток Φ, произывающий сечение соленоида, если известно, что при силе тока I = 650 мА в нём накапливается энергия W = 250 мДж, а число витков равно N = 1500. Считать провод тонким. Ответ: Φ = 513 мкВб.
Задача 8.1б (решить самостоятельно). Сколько витков N2 нужно намотать на второй соленоид, чтобы при токе I2 = 200 мА энергия его магнитного поля была бы такой же, как и в первом соленоиде при токе I1 = 600 мА, а магнитный поток был бы в полтора раза больше? Число витков в первом соленоиде равно N1 = 1000 витков. Считать провод обоих соленоидов тонким. Ответ: N2 = 2000.
Задача 8.2 Работ по перемещению контура в магнитном поле
Тренировочный вариант. В однородном магнитном поле B = 0.2 Тл находится контур площадью S = 10 см2. Плоскость контура перпендикулярна силовым линиям магнитного тока, в контуре течёт постоянный ток I = 1.5 А. Вычислить работу по перемещению контура в область, где магнитное поле отсутствует. Ответ: A = −300 мкДж.
Решение (законспектировать). Элементарная работа, которая совершается при изменении магнитного потока, пронизывающего контур с током, равна
δA = IdΦ.
Проинтегрируем, учитывая, что в контуре течёт постоянный ток:
Φ2 |
IdΦ = |
|
|
|
|
|
|||
A = Z |
|
. |
||
Φ1 |
|
|
|
|
Начальное значение магнитного потока найдём, учитывая, что ток постоянный, поле однородно и плоскость контура перпендикулярна силовым линиям:
Φ1 |
= ZS |
BdS , |
||
|
|
|
# # |
|
Φ1 = |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
Контур перемещают в область, где магнитное поле отсутствует, поэтому
Φ2 = |
|
. |
|
|
|
122
Подставим найденное значение магнитного потока в формулу для работы:
A = |
|
. |
|
|
|
Работа получилась отрицательной. Это означает, что она совершается против силы Ампера, действующей со стороны магнитного поля на контур.
Подставим числа и получим ответ:
A = |
|
. |
|
|
|
Задача 8.2а (решить самостоятельно). В однородном магнитном поле с индукцией B = 0.5 Тл находится квадратный проводящий контур, длина стороны которого равна a = 15 см. Плоскость контура расположена перпендикулярно силовым линиям магнитного тока, в контуре течёт постоянный ток I = 800 мА. Вычислить работу, которую небходимо совершить, чтобы повернуть контур вдоль силовых линий. Ответ: A = −9 мДж.
Задача 8.2б (решить самостоятельно). В однородном магнитном поле с индукцией B = 0.3 Тл находится квадратный проволочный контур, длина стороны которого равна a = 20 см. Плоскость контура расположена перпендикулярно силовым линиям магнитного тока, в контуре течёт постоянный ток I = 2 мА. Какую работу нужно свершить, чтобы изменить форму контура, превратив его в окружность? Работой против силы упругости пренебречь. Ответ: A = 6.6 мДж.
Задача 8.3 Энергия поля в соленоиде с ферромагнитным сердечником
Тренировочный вариант. Найти объёмную плотность энергии магнитного поля в центральной области тонкого тороидального соленоида радиуса R = 10 см, на котором виток к витку в один слой намотаны N = 1000 витков провода. Сердечник соленоида выполнен из ферромагнетика, основная кри-
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
Тл |
0.4 |
|
|
|
|
|
B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
0.0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
500 |
1000 |
1500 |
2000 |
2500 |
|
|
|
H, А/м |
|
|
|
вая намагничивания которого показана на рисунке. По обмотке течёт ток
I = 570 мА. Ответ: w = 295 Дж/м3.
123
Решение (законспектировать). Объёмная плотность энергии магнитного поля равна
w = HB2 .
Напряжённость магнитного поля внутри тороидального соленоида вычисляется по формуле
H = nI Rr ,
где n — плотность намотки, т. е. число витков на единицу длины соленоида, R — радиус, измеренный от центра тора до осевой линии, r — расстояние от центра до точки внутри соленоида, в которой вычисляется поле. Так как нас интересует центральная область, r = R и
H = nI.
Так как внутренний радиус тора меньше внешнего, плотность намотки, строго говоря, будет разной. Но если R значительно больше толщины соленоида (случай тонкого соленоида), то можно вычислить n как отношение числа витков к длине окружности радиуса, проходящей в центральной области соленоида, радиус которой равен R:
n = |
|
. |
|
|
|
Подставим найденную плотность намотки в формулу для напряжённости магнитного поля:
H = |
|
|
. |
|
|
|
|
Для вычисления объёмной плотности энергии нам пока не хватает B. Согласно известной формуле, B = µµ0H. Однако в случае ферромагнетика магнитная проницаемость µ зависит от напряжённости H проложенного магнитного поля. Поэтому для вычисления индукции магнитного поля в ферромагнетиках используют экспериментальные кривые намагничивания.
Подставим в полученную формулу для H числа и найдём значение напряжённости:
H = |
|
|
. |
|
|
|
|
124
Теперь, используя приведённую в условии задачи кривую намагничивания, определим соответствующую индукцию магнитного поля:
B = |
|
. |
|
|
|
|
|
Найденные числа подставим в формулу для объёмной плотности энергии и получим ответ:
w = |
|
. |
|
|
|
Задача 8.3а (решить самостоятельно). Найти объёмную плотность энергии магнитного поля в центральной области тороидального соленоида с плотностью намотки n = 2000 м-1. Сердечник выполнен из ферромагнетика, основная кривая намагничивания которого показана на ри-
сунке для тренировочной задачи. По обмотке течёт ток I = 850 мА. Ответ: w = 637.5 Дж/м3.
Задача 8.3б (решить самостоятельно). Прямой длинный соленоид имеет ферромагнитный сердечник, основная кривая намагничивания которого показана на рисунке для тренировочной задачи. Определить, во сколько раз вырастет объёмная плотность энергии внутри соленоида, если ток
в обмотке увеличить с I1 = 0.6 А до I2 = 1.54 А. Плотность намотки равна n = 1500 м-1. Ответ: a = 3.2.
Задача 8.4 Инварианты электромагнитного поля
Тренировочный вариант. В вакууме имеются две инерциальные системы отсчёта, K и K0, и электромагнитное поле, такое что при переходе из K в
K0 |
косинус угла между векторами |
# |
# |
уменьшается в два раза. Найти |
E |
и B |
электрическое поле в обеих системах отсчёта, если B = 0.2 мТл и B0 = 0.15 мТл. Ответ: E = 53 кВ/м, E0 = 35 кВ/м.
Решение (законспектировать). При переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую, компоненты электромагнитного поля, т. е. электрический и магнитный векторы, преобразуются. Однако существуют такие их комбинации, которые остаются одинаковыми во всех инерциальных системах отсчёта. Их называют инвариантами электромагнитного поля:
# # |
# |
# |
0, |
E B |
= E0 |
B |
E2 − c2B2 = (E0)2 − c2(B0)2.
125
Распишем скалярные произведения в первой формуле:
EB cos α = E0 B0 cos α0.
Сучётом того, что по условию задачи cos α = 2 cos α0, получим два уравнения для двух неизвестных полей:
,
E2 − c2B2 = (E0)2 − c2(B0)2.
Решим их относительно E и E0
,
,
,
.
E |
= |
|
, |
E0 |
= |
|
|
|
|||
|
. |
||
Теперь подставим числа и получим ответ:
E |
= |
|
, |
E0 |
= |
|
|
|
|||
|
. |
||
126
Задача 8.4а (решить самостоятельно). В вакууме имеются две инерциальные системы отсчёта, K и K0, и электромагнитное поле, такое что при
0 # #
переходе из K в K косинус угла между векторами E и B увеличивается
#
в три раза, а модуль вектора B уменьшается в два раза. Найти электрическое поле в обеих системах отсчёта. Ответ: E = 70 кВ/м, E0 = 46 кВ/м.
Задача 8.4б (решить самостоятельно). В вакууме имеются две инерциальные системы отсчёта, K и K0, и электромагнитное поле, такое, что в K регистрируется только его электрическая компонента напряжённостью E = 50 кВ/м. Найти электрическую компоненту поля E0 относи-
тельно K0 |
# |
0 |
# |
0, если известно что модуль E0 в 2c раз |
и угол между E |
и B |
|||
больше B0. Ответ: E0 = 58 кВ/м, α0 = π/2. |
||||
Задача 8.5 Преобразование электромагнитного поля при переходе в другую систему отсчёта
Тренировочный вариант. В неподвижной инерциальной системе отсчёта
|
|
# |
# |
# |
|
|
|
||
K электромагнитное поле описывается формулами E = p(y e y +z e z)/(y2 + |
||||
|
# |
= q e x/x2, где p = 3.2 ×1014 В, q = 5.4 ×102 Тл·м2. Система отсчёта |
||
z2) и B |
||||
|
|
# |
|
|
K0 движется относительно неё с постоянной нерелятивистской скоростью |
||||
# |
# |
|
|
|
v |
= v e x, где v = 5 м/с. Найти в K0 модуль вектора магнитной индукции |
|||
# |
0 в точке A с координатами x0 = 10 см, y0 = 5 см, z0 = 0, в момент времени |
|||
B |
||||
t0 |
= 10 с. Считать, что в начальный момент времени точки начала отсчёта |
|||
K и K0 |
совпадали. Ответ: B0 = 0.42 Тл. |
|
|
|
Решение (законспектировать). При переходе из некоторой инерциальной |
||||||||
системы отсчёта K в другую, K0, которая движется относительно первой |
||||||||
со скоростью |
# |
, необходимо выпол- |
|
Y |
Y ′ |
|||
v |
|
|||||||
нить преобразование электрического |
y |
y′ |
A |
|||||
и магнитного полей. Если скорость |
|
|
|
|||||
их относительного движения нереля- |
|
x = x′ + vt |
|
|||||
тивистская, т. е. много меньше скоро- |
|
vt |
x′ |
|||||
сти света, то формулы преобразова- |
|
|||||||
ния имеют вид: |
|
|
|
|
X X′ |
|||
# |
0 |
= |
# |
# # |
], |
Z |
Z′ |
|
E |
E |
+ [ v , B |
|
|
|
|||
# |
0 |
= |
# |
# # |
]/c2. |
|
|
|
B |
B |
− [ v , E |
|
|
|
|||
В силу того, что относительная скорость систем отсчёта записывается в |
||||||||
# |
|
# |
|
|
|
|
|
|
виде v = v e x, то можно заключить, что K0 движется вдоль оси X. Иными |
||||||||
|
|
|
|
|
127 |
|
|
|
словами, оси X и X0 систем отсчёта K и K0, соответственно, совпадают, а оси Y и Z всё время остаются параллельными осям Y 0 и Z0.
Найдём координаты вектора B#0. Сначала рассмотрим координатное пред-
ставление векторного произведения [# #]. Как известно, координаты век- v , E
тора векторного произведения можно как определитель матрицы 3 × 3, построенной из ортов и координат умножаемых векторов:
|
|
|
# |
# |
# # |
] = |
e x |
e y |
|
[ v , E |
Ex Ey |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
vx |
vy |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
По условию задачи
Ex = 0, |
|
||
Ey = |
|
py |
, |
|
|
||
y2 + z2 |
|||
Ez = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
vx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
vy = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
vz = |
|
|
|
|
|
|
|
# e z
Ez .
vz
,
,
,
.
Теперь, используя правила нахождения определителя, а именно нам лучше всего подходит разложение по алгебраическим дополнениям первой строки, найдём координаты вектора векторного произведения (надо не забыть правильно расставить знаки алгебраических дополнений):
# # |
]x = 0, |
|
|
|
|
[ v , E |
|
|
|
||
# # |
]y = −vEz = |
|
|
, |
|
[ v , E |
|
|
|||
# # |
]z = |
|
|
. |
|
[ v , E |
|
|
|
||
128
Теперь мы готовы записать компоненты вектора B#0:
|
# # |
]x/c2 = |
|
, |
Bx0 = Bx − [ v , E |
|
|||
By0 |
# # |
]y/c2 = |
|
, |
= By − [ v , E |
|
|||
Bz0 |
# # |
]y/c2 = |
|
. |
= Bz − [ v , E |
|
|||
Мы записали компоненты поля B#0, наблюдаемого в системе отсчёта K0, используя нештрихованные координаты K. Так как мы решаем задачу в нерелятивистском приближении, для пересчёта координат используем преобразования Галилея. Поперечные координаты и время совпадают, т. е.
y = y0, z = z0, t = t0.
Из рисунка видно, что для координаты x следует записать:
x = x0 + vt.
Используя эти соотношения, заменим не штрихованные координаты в формулах для компонент вектора B#0 на штрихованные:
Bx0 |
= |
|
|
, |
By0 |
= |
|
|
|
|
|
, |
||
Bz0 |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
# |
|
|
|
Теперь можно найти модуль вектора B0: |
|
|
|
||||
B0 = r |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Bx0 )2 + (By0 )2 + (Bz0 )2 |
|
. |
|||||
Подставим числа, чтобы получить ответ: |
|
|
|
||||
|
B0 = |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
||||
129
Задача 8.5а (решить самостоятельно). В неподвижной инерциальной системе отсчёта K электромагнитное поле описывается формулами
# |
= p(z2 e y + y2 e z)/(y2 + z2) и |
# |
|
|
||||
E |
B = q e x/x4, где p = 4.4 × 1014 В/м, |
|||||||
|
|
# |
|
# |
|
# |
|
|
q = 6.1 |
× |
102 |
Тл |
м4. Система отсчёта K0 |
движется относительно неё с |
|||
|
|
|
· |
|
|
# |
# |
|
постоянной нерелятивистской скоростью |
v |
= v e x, где v = 10 м/с. Най- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
ти в K0 модуль вектора магнитной индукции B0 в точке с координатами |
||||||||
x0 |
= 15 см, y0 |
= 2 см, z0 = 2 см, в момент времени t0 = 3 с. Считать, что |
||||||
в начальный момент времени точки начала отсчёта K и K0 совпадали. |
||||||||
Ответ: B0 |
= 35 мТл. |
|
|
|
||||
Задача 8.5б (решить самостоятельно). В неподвижной инерциальной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
|
|
# |
системе отсчёта K имеется только электрическое поле E = p(y e y + |
|||||||||||||
# |
|
√ |
y |
2 |
+ z |
2 |
, где p = 8.6 |
|
10 |
15 |
0 |
движется |
|
z e |
z |
)/ |
|
|
× |
В/м. Система отсчёта K |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# |
# |
||
относительно неё с постоянной нерелятивистской скоростью |
|
v |
= v e x, |
||||||||||
где v = 3 м/с. Найти в K0 модуль вектора магнитной индукции |
# |
||||||||||||
B0. От- |
|||||||||||||
вет: B0 |
= 82 мТл. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 8.6 Поверхностный заряд, индуцируемый при движении в магнитном поле
Тренировочный вариант. Плоскопараллельная диэлектрическая пластина движется в вакууме в постоянном однородном магнитном поле B = 0.2 Тл со скоростью v = 20 м/с так, что силовые линии поля, вектор скорости и нормали к поверхностям пластины взаимно перпендикулярны. Определить поверхностную плотность образующихся при этом на пластине связанных зарядов. Диэлектрическая проницаемость пластины равна ε = 3.5. Считать скорость движения нерелятивистской. Ответ: σ0 = 25.3 пКл/м2.
Решение (законспектировать). Свяжем движущуюся систему отсчёта K0 с пластинкой. Поля в этой системе отсчёта можно найти по нерелятивис-
тским формулам преобразования: #»
B
# |
|
# |
# # |
|
|
|
|
|
|
E |
0 |
= E |
+ [ v , B], |
|
|
|
|
|
|
# |
|
# |
# # |
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
= B |
− [ v , E]/c2. |
|
|
|
|
#» |
|
В нашем случае имеется только магнитное |
|
|
|
|
v |
||||
|
E′ |
|
|
|
|
||||
поле B, а E равно нулю. Следовательно, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
#» |
|
|
|
|
|
|
|
# |
# # |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
E0 = [ v , B]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
130