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Башкирский Государственный Аграрный Университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Приближение функций многочленами. Учебное пособие

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f x

4x2

7–12,

f x 2x

cos 4x x

1 ex

13–18

f x xex

x2 19–25.

2.3. y Ln x , Ln x –

y e0,5x sin 3x 1–6,

4x2

7–12,

1 ex

y 2x cos 4x x

13–18

y xex x2 19–25,

. f x -

x0 ; x4 .

2.3

.							x1	x	2

1	x	-1,5	-1,1	-0,7	-0,3	0,1	-1,3	-0,1
	y	0,462	0,091	-0,608	-0,674	0,311

2	x	-1,0	-0,4	0,2	0,8	1,4	-0,8	1,2
	y	-0,086	-0,763	0,624	1,008	-1,755

3	x	0,0	0,5	1,0	1,5	2,0	0,2	1,7
	y	0,000	1,281	0,233	-2,069	-0,760

4	x	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	1,8	3,3
	y	-2,069	-0,760	3,274	1,847	-5,062

5	x	-1,5	-1,0	-0,5	0	0,5	-1,1	0,3
	y	0,462	-0,086	-0,777	0,000	1,281

6	x	1,0	1,4	1,8	2,2	2,6	1,3	2,4
	y	0,233	-1,755	-1,901	0,936	3,664

. 2.3

.							x1	x	2
7	x	-1,3	-0,8	-0,3	0,2	0,7	-1,1	0,5

	y	5,312	1,766	0,207	0,072	0,650

8	x	-1,0	-0,4	0,2	0,8	1,4	-0,8	1,2
	y	2,924	0,383	0,072	0,794	1,551

9	x	-0,7	-0,2	0,3	0,8	1,3	-0,5	1,1

	y	1,310	0,088	0,153	0,794	1,448

	x	-0,5	0	0,5	1,0	1,5
10	y	0,622	0,000	0,378	1,076	1,642	-0,3	1,2
	y	0,378	0,937	1,448	1,786	1,924
11	x	0,5	0,9	1,3	1,7	2,1	0,7	1,9

	y	0,378	0,937	1,448	1,786	1,924

12	x	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	1,7	3,2
	y	1,642	1,907	1,896	1,707	1,436

13	x	-3,0	-2,4	-1,8	-1,2	-0,6	-2,8	-0,8

	y	3,105	2,213	1,975	1,238	0,114

14	x	-2,5	-2,0	-1,5	-1,0	-0,5	-2,3	-0,7
	y	2,352	1,964	1,839	0,673	0,206

15	x	-2,3	-1,6	-0,9	-0,2	0,5	-2,1	0,3

	y	2,102	1,928	0,419	0,807	-1,089

16	x	-1,9	-1,0	-0,1	0,8	1,7	-1,7	1,4
	y	1,967	0,673	0,959	-2,538	1,125

17	x	-1,5	-0,8	-0,1	0,6	1,3	-1,2	1,1

	y	1,839	0,227	0,959	-1,718	-0,146

18	x	-0,7	0,2	0,7	1,2	1,7	-0,9	1,4
	y	0,120	0,600	-2,231	-0,999	1,125

19	x	-3,0	-2,5	-2,0	-1,5	-1,0	-2,7	-1,2

	y	-9,149	-6,455	-4,271	-2,585	-1,368

20	x	-2,6	-2,1	-1,6	-1,1	-0,6	-2,4	-0,8
	y	-6,953	-4,667	-2,883	-1,576	-0,689

. 2.3

.							x1	x	2
21	x	-2,0	-1,6	-1,2	-0,8	-0,4	-1,8	-0,6

	y	-4,271	-2,883	-1,801	-0,999	-0,428

22	x	-1,5	-1,0	-0,5	0,0	0,5	-1,3	0,3
	y	-2,585	-1,368	-0,553	0,000	0,574

23	x	-2,7	-2,0	-1,3	-0,6	0,1	-2,4	-0,1

	y	-7,471	-4,271	-2,044	-0,689	0,101

24	x	-0,5	0,0	0,5	1,0	1,5	-0,3	1,2
	y	-0,553	0,000	0,574	1,718	4,473

25	x	-2,3	-1,5	-0,7	0,5	1,3	-1,9	1,1

	y	-5,521	-2,585	-0,838	0,574	3,080

;

x2 ;

x1 x2 ;

x0 ; x4 ;

x0 ; x4 -

f x

L4 x ;

f x L4 x ;

2 2.1.

1.?

2.« » « -

».

n (n+1) ?

4.?

5.,

6..

7..

8.?

9..

3. .

xi x0 ih , h – , i 0,1,..., n.

yi yi 1 yi , i 0, 1, 2,..., n 1.

: y0 y1 y0 , y1 y2 y1 . n -

2 y0 y1 y0 y2 2 y1 y0 ;

2 yi yi 1 yi ;

i0, 1, 2,..., n 2 .

k :

k y	k 1 y	k 1 y	, i 0, 1, 2,..., n k .
i	i 1	i

yi yi 1 yi ;

2 y y

i 1

y y

2 y

y ;

i 2

i 1

i 2

i 1

3 y 2 y

2 y y

2 y

i 1

i 3

i 2

i 1

i 2

i 1

yi 3 3yi 2 3yi 1 yi ,

k y

k 1 y

k(k 1)

... ( 1)k y

i 1

i k

i k 1

i k 2

, i 0,1, 2,..., n k .

( 1)l Cl y

l 0

i k l

, i 0 :

y0 y1 y0 ;

2 y y

;

3 y0 y3 3y2 3y1 y0 ;

………………………………

k y0 yk kyk 1 k(k 1) yk 2 ... ( 1)k y0 .

, :

–n -

(n 1) ;

–n , -

;

–k afk bgk a k fk b k gk .

f (x) : y0 f x0 , y1 f x1 , …, yn f xn

x0 , x1 x0 h ,

x2 x0 2h ,…, xn x0 nh, h – .

Nn x0 y0 , Nn x1 y1 , …, Nn xk yk , Nn xn yn , k 0,1, 2,..., n ,

(3.1)

Nn x a0 a1 x x0 a2 x x0 x x1 ... an x x0 ... x xn 1 .

(3.2)

a j ,

j 0,1, 2,..., n ,

(3.1):

N x0 a0 y0 , N x1 a0 a1 x1 x0 a0 a1h y1 ,

y1 a0

y1 y0

N x2 a0 a1 x2 x0 a2 x2 x0 x2 x1 y2 .

y1 y0

y2 2 y1 y0

2 y0

2h a

2h h y ,

2h2

3 y

: a

3!h3

k y

k 0,1, 2,..., n .

(3.3)

k !hk

(3.2), -

		x y			y		x x		2 y	x x	x x		...
N	n				0				0
N
			0			h		0	2!h2	0		1
						h			2!h2
			n y			x x		x x ... x x				.
		...		0									(3.4)
		...											(3.4)
			n !hn				0		1		n 1
			n !hn

, -

(3.1) ,

n .

, -

m m -

, -

-(3.4) .

x x0

, t 0 .

x x1

x x0 h

x x2

x x0 2h

t 1,

t 2 , ...,

x x

x x0

n 1 h

n 1

t n 1.

(3.5)

(3.4) :

x ht y

t y

t(t 1)

2 y ...

t(t 1)...(t n 1)

n y . (3.6)

n !

(3.6)

, x0 , -

, t .

max

f (n 1)

n 1

x0 ,xn

hn 1

t(t 1)...(t n)

. (3.7)

(n 1)!

( )

t 1. , (3.6) x0 x x1 .

, , xi x xi 1 , x0 -

xi .

, (3.1):

Nn x0 y0 , Nn x1 y1 ,…, Nn xk yk , Nn xn yn ,							k 0,1, 2,..., n ,

Nn x a0 a1 x xn a2 x xn x xn 1 ...
... an x xn x xn 1 x x1 .							(3.8)
							a j , j 0,1, 2,..., n ,
(3.1):
N xn a0 yn ,			N xn 1 a0 a1 xn 1 xn a0 a1h yn 1 .
a	a0 yn 1			yn yn 1	yn 1	. :

1		h		h	h

N xn 2 a0 a1 xn 2 xn a2 xn 2 xn xn 2 xn 1 yn 2 .

yn yn 1

2h a

2h h

n 2

2 y

n 1

n 2

2 y

n 2

2h2

3 y

n 3

., a

k y

n k

3!h3

k !hk

k 0,1, 2,..., n .

(3.8), -

x y

yn 1

x x

2 yn 2

x x

...

2!h2

n 1

...

n y0

x x

... x

x .

(3.9)

n!hn

(3.9) .

x xn

, t 0 .

x xn 1

x xn h

x xn 2

x xn 2h

t 1,

t 2 ,

x x1

x xn n 1 h

t n 1 .

ht y

t y

t(t 1)

2 y

...

t(t 1)...(t n 1)

n y . (3.10)

n 1

n 2

n !

(3.10)

, xn , -

, t .

max

f (n 1)

n 1

x0 ,xn

hn 1

t(t 1)...(t n)

. (3.11)

(n 1)!

3.1.

. 3.1

Nn x -

x x 0,3 [13, 15].

																												3.1
					3.1

	i				0			1							2								3								4
	xi				-0,5			0,0							0,5								1,0							1,5

	yi				-1,115		-1,000						-0,281									0,359							0,764
(
) (3.4):
					x y		y	0					2 y
			N	n				0	x	x					0		x x			x x
			N						x	x							x x			x x
						0	h			0			2!h2					0							1
							h						2!h2
	3 y											n y
	0	x x x x x x								...					0	x		x	x				x		...		x x					,
		x x x x x x								...						x		x	x				x		...		x x					,
	3!h3				0	1		2				n!hn						0						1					n 1
	3!h3											n!hn
h xi 1 xi					– ; i 0,1,..., n 1,																		y0			y1 y0					– -
,											2 y			0	y y						0	y		2	2 y y					0	– -
														0				1			0			2			1			0
																		.,											:
						n
n y0 n 1 y1 n 1 y0 1 k Cnk yn k											–																	n -

k 0

(3.4) (3.6),

t x x0 0 . h

( . 3.2).

						3.2
	3.1

i	xi	yi	yi	2 y	3 y		4 y
				i	i		i
0	-0,5	-1,115	0,115	0,604	-0,683		0,526

1	0,0	-1,000	0,719	-0,079	-0,157

2	0,5	-0,281	0,640	-0,236

3	1,0	0,359	0,404

4	1,5	0,764

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