Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пределы функции одной переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

tg3x

lim

= lim cos

x 0 sin6x

x 0 6cos6x

Пример 76.

x2 16

lim

x 4 sin x 4

x 4

x 4 cos(x 4)

sin x 4

Пример 77.

2x2 x

4x 1

lim

sin 2 x

x 0

x 0 2sin xcos x

x 0 sin 2x

Пример 78.

xcosx sin x

cosx xsin x cosx

lim

3x2

x 0

sin x

cosx

lim

x 0 3x

x 0

tgx

cos25x

Пример 79

lim

x tg5x

x cos2 x 5

Пример 80.

lim

sin 6x

lim

6cos6x

6 6 36.

x 0

x 9 3

x 0

x 9

sin 5x

5cos5x

Пример 81. lim

lim

x 0

x 2 2

x 0

x 2

lim10cos5x

x 2

x 0

Пример 82.

lim

sin x x

lim

cos x 1

lim

sin x

lim

cos x

x 0

3x2

x 0 6x

x 0

Пример 83.

lim

2xsin x

lim

2sin x 2хcosx

sin x

x 01 cosх

x 0

lim

2cosx 2cosx 2xsin x

x 0

cos x

2sin2x

1 cos2x

Пример

84.

lim

x 0

2sin

x 0

sin xcosx

2 lim

sin x

x 0

Пример

85.

Найти предел функции с помощью правила

Лопиталя

lim

6x 2

x x 12x

2 7

x2 6x 2

= lim

2x 6

lim

x x 12x2 7

x 1 24x

Пример 86.

		3x2 x
lim
		3 3x2 3
x 2x

	6x 1		6	6
lim			lim		0.
		2 6x
x 6x			x 12x 6

Пример 87.

e2x 1

e2x 2

e2x 4

lim

2 x

x x

x 2x 1

6x 3

e6.

Пример 88.

lim e x 1

Если функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую или разность двух бесконечно больших величин, то путем преобразования этих функции сводятся к

случаям или .

Пример 89. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя


lim xctg2x 0 lim		x	0		1	1
				= lim			.
				= lim	2		.
x 0	x 0 tg2x		0	x 0	2	2
Пример 90.	lim (1 cos x)ctgx 0				cos2 2x
Пример 90.	lim (1 cos x)ctgx 0
	x 0

1 cos x

sin x

lim

x 0 tgx

x 0

cos2 x

ln x

Пример 91.

lim

xln x 0 lim

x 0 0

lim

x 0.

x 0 0

Пример 92. Найти предел функции с помощью правила

Лопиталя

lim

x 1 lnx

x 1

lim

1 xln x

x 1 lnx

x 1

lim

(x 1)ln x

x 1

lim

1 lnx 1

lim

xln x

ln x 1

lim

x 1

lnx

1 xln x x 1

x 1 ln x 1 1

Пример 93.

4x 3

3x 1

4x 1 4

3x 1

lim

x 4x 1

4x 1

	4 3x 1		4	3x 1
lim 1		lim 1

x	4x 1	x	4x 1

4x 1

3x 1

4 4

4x 1

lim 1

lim e4x 1

4x 1

lim

12x 4

ex 4x 1

4 e 3 .

Пример 94.

5x 1

lim

lim 1

x 5x 1

5x 1		2x
5x 1	1
5x 1

5x 1

lim 1

5x 1

lim

e5x 1 e5 .

= lim e5x 1

Пример 95.

5x 5 2x 3

5x 2 7 2x 3

lim

5x 2

x 5x 2

2x 3

5x 2

7 2x 3

5x 2

= lim 1

lim 1

5x 2

7 2x 3

14x 21

lim e

5x 2

lim e

5x 2

e 5 .

2n 3

Пример 96. lim

n2 1

3n 2n 3

n2 1

lim 1

lim

3n 2n 3

lim

6n2 9n

lim

n2 1

en 1 e 6 .

Пример 97.

3x 4 2x

3x 4 3x 1

lim

lim 1

3x 1

x 3x 1

3x 1

lim

10x

3x 1

lim 1

3x 1

Пример 98.

lim

xsin x

lim

elnxsin x

x 0 0

lim

lnx

x 0 0

sin x

exlim0 0 ln xsin x

sin

sinx

lim

ex 0 0

xcos x

ex 0 0

cosx

e0 1.

ВАРИАНТЫ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Вариант №1

lim

2х2 х 15

Задание 1: Предел

равен

Ответ:

х 3

х2 3

х2 3х 10

Задание 2: Предел

lim

равен

х3 8

х 2

Ответы: 1) 0;

2) 2;

;

5) ∞.

Задание 3: Предел

равен

Ответы: 1) 0;

2) ∞;

;

Задание 4: Предел

lim

х2

3х 5

равен

х 2 х2 3х

Ответ:

Задание 5: Предел

lim

х2 3 х

равен

х2 4х 1 2

Ответы: 1) 0;

2) –1;

3) 1;

4) –0,5;

5) ∞

Задание 6: Предел

lim

равен.

х 2

17;

Ответы: 1) 0;

; 13) cos3x4) ∞;

5) 3.

Задание 7: Предел

lim

равен

х 0 xsin3x

Ответы: 1) 0;

2) 2;

;

5) ∞.

Задание 8: Предел lim

1 cosx

равен

х 2sin2 x

Ответы: 1) 0;

;

4) –

;

5) ∞.

x2 1

Задание 9: Предел

lim

равен

х x

2) ∞;

Ответы: 1) 1;

3) е; 4) е

;

е3 .

Задание 10: Предел lim

1 2cos

равен

Ответы: 1) е2;

2) ∞;

3) е–6

4) е6;

5) е3.

Вариант №2

Задание 1: Предел

lim

х2 1

равен

х 1(х2 1)2

Ответы: 1) 0;

2) ∞;

3) 1;

4) –1;

5) –∞.

Задание 2: Предел

lim

х2 5х 10

равен

х2 25

х 5

Ответы: 1) 0;

2) 1;

3) ∞;

4) 5;

Задание 3: Предел lim

х 1

равен

Ответ:

1 х5 1 5х

Задание 4: Предел

lim

равен

х2 х5

Ответы: 1) –1;

2) 1;

3) 2; 4) –5;

5) 4.

Задание 5: Предел

lim

х 3

х 2

равен

Ответы: 1) –∞;

2) 0;

3) ∞;

4) 1;

5) –1.

Задание 6: Предел

lim

равен

х 2

Ответы: 1)

;

Задание 7: Предел

lim

sin10x

равен

Ответ:

х 0

sin x

Задание 8: Предел

lim

равен

Ответы: 1)

;

2) 0;

3) ∞;

4) –∞;

5) –π.

5x3 9х2 45х

Задание 9: Предел

lim

равен

9х

Ответы: 1) 1;

2) 0;

3) ∞;

4) е2;

5) е.

Задание 10: Предел

lim 1 5cosх 2

равен

Ответы:1) 0;

2) е–5;

3) е5;

4) 1;

5) ∞.

Вариант №3

х2

х 56

Задание 1: Предел

lim

равен

х 56

х 7

Ответы: 1) 0;

2) 1;

3) 3;

4) 5;

5) 15.

Задание 2: Предел

lim

х 1

равен

х 1 х3 3х2 6х 8

Ответы: 1) –

;

2) 16;

3) –

;

4) 0;

5) –1.

Задание 3: Предел

lim

равен

х 1

Ответы: 1) 0,5; 2) 1;

3) 2;

4) –0,5;

5) ∞.

Задание 4: Предел

lim

х2

2х 1

равен

5х 6

Ответ:

х 5х2

sin x3

Задание 5: Предел

lim

равен

х 0 sin x

Ответы: 1) 0;

3) 9;

4) 1;

(х

1)(

2)(x

3)(x 4)(x 5)

Задание 6: Пределsinlimх;

∞.

(х 10)5

равен

Ответы: 1) 5;

2) 1;

3) –1;

4) ∞;

5) 0,2.

3х

Задание 7: Предел

lim

равен

Ответ:

sin 3x

Задание 8: Предел

lim

равен

х 4 sin 2x

Ответы: 1) 1,5;

2) 1;

3) 0;

4) ∞;

Задание 9: Предел

lim 7 2n n 3

равен

n 3

Ответы: 1) ∞;

2) е2;

3) е3;

4) е;

5) е–2.

lim

3 2х 5х 3

Задание 10: Предел

равен

х 2х 5

Ответы: 1) ∞;

2) е9;

3) е5;

4) е20;

5) 0.

Вариант №4

Задание 1: Предел

lim

х2 6х 9

равен

2х 6

х 3

Ответы: 1) 0;

2) 3;

3) ∞;

4) –1,5;

5) 1,5.

Задание 2: Предел

lim

х 4

равен

х2 x

х 0

Ответы: 1) 0;

2) ∞;

3) –2;

4) –0,25;

5) 0,25.

lim

Задание 3: Предел

равен

х 1

Ответы: 1) –1,5;

2) 0;

3) 2;

4) 1;

5) ∞.

lim

х2

3 x

Задание 4: Предел

равен

2х 1

Ответы: 1) 0; 2) 1; 3) –1; 4)	1	; 5) ∞.

3

Задание 5: Предел

lim

2х2 х 3

равен

2 х х3

Ответ:

х 5х

равен

Задание 6: Предел

lim

х 1

2х 1

Ответы: 1) 0;

2) –∞;

3) –2;

4) –1; 5) +∞.

Задание 7: Предел

lim

sin2x

равен

х 0 x2 x

Ответы: 1) –1;

2) 0;

3) 1;

4) –2;

5) 2.

Задание 8: Предел

lim

tg(x 1)

равен

Ответ:

х 1 x2

n 2 n 3

lim

Задание 9: Предел

равен

Ответы: 1) 0;

2) 1;

3) е;

4) е2;

5) ∞.

Задание 10: Предел

lim

ln(1 2x)

равен

х 0

Ответы: 1) 0;

2) 1;

3) 2;

4) –1;

5) ∞.

Вариант №5

Задание 1: Предел

lim

х2

4х 3

равен

х 6

х 3 х2

Ответы: 1) ∞;

2) 0;

3) 0,4;

4) 1;

5) 2.

Задание 2: Предел

lim

х5 1

равен

х 1

(х5 1)2

Ответы: 1) ∞;

2) 0;

3) 1;

4) –1;

5) –∞.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]