Пределы, производные, графики функции. Учебное пособие

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет транспорта»

_______________________________________________

Кафедра «Высшая и вычислительная математика»

М.Г. Гиоргадзе

Пределы, производные, графики функции

Учебное пособие

для студентов 1 курса ИТТСУ

Москва – 2019

УДК 517

Г 46

Гиоргадзе М.Г. Пределы, производные, графики функции: Учебное пособие. - М.: РУТ (МИИТ), 2019. - 79 с.

Данное учебное пособие ставит своей целью помочь студенту самостоятельно овладеть методами решения задач из курса высшей математики по разделу математический анализ. Рассмотрены функция одного переменного, классификации функций, предел функции в точке, бесконечно малые, основные теоремы о пределах, предел числовой последовательности, неопределенности, производная функции в точке.

Рецензенты:

доцент кафедры «Прикладная математика1» РУТ (МИИТ) кандидат физикоматематических наук Зверкина Галина Александровна.

доцент кафедры «Высшая математика» ЮЗГУ, к.т.н. Скрипкина Е.В.

© РУТ (МИИТ), 2019

Функция одного переменного

Если даны числовое множество X и правило f ,

позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества X определенное число у, то говорят, что

задана функция y f (x) ; пишут: y f (x), x X . При

этом переменную х называют независимой переменной

или аргументом, а переменную у — зависимой переменной. Множество значений x, для которых определяются значения функции y, в силу правила f (x) , называется область определения функции. Множество всех

функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Существуют разные способы задания функции, важнейшими из них являются:

1) аналитический с помощью формулы, например y x2 , y sin x ;

2)графический - задан график;

3)табличный –заданы таблицы ( таблицы логарифмов, квадратных корней, и так далее).

Аналитическое задание функции.

Пример 1. у = х2 + 5х - 1, где х > 0. Область определения этой функции — луч 0; .Чтобы найти значение функции

в любой точке х > 0, достаточно найти числовое значение выражения х2 - 5х - 1 в выбранной точке. Функция задана

Решение. Выражение определено при тех х, при которых x 1 0 , т. е. при

Иногда функция задается на различных промежутках различными формулами. Такую функцию называют

кусочной.

Пример: y f (x) , где

2x 3, если 1 x 0, f (x) x 2, если 0 x 1.

Решение. Эта функция определена на отрезке [-1; 1]. Для вычисления ее значений нужно точно определить, какой формулой следует воспользоваться для заданного конкретного значения аргумента. Например, если нужно вычислить f (0,5) , воспользуемся равенством f (x) = х + 2

(поскольку число х = 0,5 удовлетворяет условию 0 x 1) и получим f (0,5) 2,5 . Если же нужно вычислить f ( 0,5) , то воспользуемся равенством f (x) = 2х + 3 (поскольку число х = 0,5 удовлетворяет условию 1 x 0 ) и получим f ( 0,5) 2 .

Табличное задание функции

На практике часто используют табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания

4

функции являются таблица квадратов, таблица кубов, таблица квадратных корней.

Во многих случаях табличное задание функции оказывается удобным. Оно позволяет найти значения функции для значений аргумента, имеющихся в таблице, без всяких вычислений.

Координатная плоскость

Множество всех пар (x, y) действительных чисел называют числовой плоскостью. Для множества всех пар действительных чисел есть геометрическая модель — коор-

координатными прямыми с общим началом О и одинаковым масштабом. Точка О — начало координат. Горизонтальную прямую называют осью абсцисс или осью х, вертикальную

— осью ординат или осью y.

5

Пусть функция задана аналитически формулой у= f(x). Если на координатной плоскости отметить все точки, обладающие следующим свойством: абсцисса точки принадлежит области определения функции, а ордината равна соответствующему значению функции, то получится множество точек (х; f(x)) — график функции.

Например, графиком функции у = х является множество точек вида (x;x), т. е. точек, имеющих одинаковые координаты. Это множество точек есть биссектриса координатных углов I и III

На практике для построения графика функции составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют полученные точки линией. При этом предполагают, что найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции.

Пример 1. Построить график функции у = х2.

Решение. Составим таблицу некоторых значений функции:

Нанесем найденные точки (0; 0); (0,5; 0,25); (-0,5; 0,25); (1; 1); (-1; 1); (2; 4); (-2; 4); (3; 9); (-3; 9) на координатную плоскость Соединив эти точки плавной линией, получим

график (а точнее, эскиз графика) функции y x2 . Эту линию называют параболой.

Вообще параболой является график любой функции вида у = ах2, где a 0 .

Четные и нечетные функции

Функцию у = f (x) , x X , называют четной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f ( x) f (x)

Функцию у = f (x) , x X , называют нечетной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f ( x) f (x) .

7

Например, у = х2, у = х4, у = х6 — четные функции, а у = х1, у = х5, у = х7 — нечетные функции.

Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат.

Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начало координат.

Пример 1. Построить график функции у = .x. .

Решение. Имеем f ( x) x x f (x) . Значит, функция

четна, а потому ее график симметричен относительно оси ординат.

Если х > 0, то |х| = х, т. е. при х > 0 имеем у = х. Графиком функции у = х при х > 0 служит биссектриса первого координатного угла. Подвергнув ее преобразованию симметрии относительно оси у, получим график функции у

= |х|

Пример 2. Построить график функции у = х .x. .

Решение. Имеем f ( x) ( x) x x x f (x) Значит,

функция нечетна, а потому график ее симметричен относительно начала координат.

Если x 0 , то |х| = х, а f (x) x x x x x2 . Значит, при

x 0 имеем у = х2. Графиком будет ветвь параболы. Подвергнув ее преобразованию симметрии относительно начала координат, получим график функции у = х |х| .

8

Периодические функции.

Функцию у = f (x) , x X , называют периодической,

если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого х из области определения функции справедливо равенство f (x T ) f (x) f (x T ) .

Число Т называют периодом функции у = f (x) .

Из этого определения сразу следует, что если Т период функции у = f (x) , то 2Т, 3Т, 47, -Т, -2Т, -ЗТ, -AT — также

периоды функции. Значит, у периодической функции бесконечно много периодов. Если Т — период функции, то и число вида кТ, где к — любое целое число, также является периодом функции.

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом.

Графики периодических функций обладают следующей особенностью. Если Т — основной период функции у = f (x) , то для построения ее графика достаточно построить

ветвь графика на одном из промежутков оси х длиной Т, а затем осуществить параллельный перенос этой ветви по оси х на ± Т, ± 2 Т, ± ЗТ, ... Чаще всего в качестве такого промежутка длиной Т выбирают промежуток с концами в точках

Примеры периодических функций с основным периодом:

у= sin х, Т = 2

у= cos х, Т = 2

у= tg х, Т =

у= ctg х, Т =

9

Монотонные функции.

Функция у = f (x) , x X , называется возрастающей,

если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Соответственно для убывающей – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.

При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика возрастающей функции увеличивается а ордината графика убывающей функции уменьшается Пример. Исследовать на монотонность функцию у = 2х3 + 3.

т . е . f (x1 ) f (x2 )

Итак, x1 x2 f (x1 ) f (x2 ) ,

а это значит, что функция у = 2х3 + 3 возрастает на всей числовой прямой.

Виды функций

Линейная функция.

Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

y = kx + b,

10