Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пределы, производные, графики функции. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

955 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Производная

Пусть функция у = f(x) определена в точках х и x1 . Разность x1 x называют приращением аргумента, а разность f (x1 ) f (x) — приращением функции при переходе от значения аргумента х к значению аргумента x1 .

Приращение аргумента обозначают x ,	x x1	x т. е.
x1 x x . Приращение функции обозначают f		или y :
f f (x1 ) f (x) f (x x) f (x)

Если существует предел отношения приращения функцииf к приращению аргумента x при условии, что x 0 , то этот предел называют значением производной

функции y	f (x) в точке х и обозначают f (x) или	y ,
а функцию	y f (x) называют дифференцируемой	в
точке х.

Формулы дифференцирования.

1)Производная постоянной равна нулю С 0

2)Постоянная выносится за знак производной:

(CU ) CU

3)Призводная суммы двух функции равна сумме

производных:

(U V ) U V

4)Производная произведения двух функции:

(UV ) U V UV

5)Производная частного двух функций:


U
				U V UV

				V 2
V

Производная от сложной функции

Eсли

y F(u) , а

u f (x) , то

y F(u) F( f (x))

называется сложной функцией аргумента x.

Операцию отыскания производной называют дифференцированием . Большинство табличных производных известно из школьного курса.

Пример1: найти производную:

y (5x2 1) tgx cos x

y 5x2 1 tgx x cos x 5x2 1 tgx

5x2 1 tgx x cos x x cos x 10x tgx

5x2 1 cos x x sin x cos 2 x

Пример2: найти производную:

y (5 2x)4

y 4 5 2x 3 2 8 5 2x 3

Пример3: найти производную: y sin x x2

ln y x2 ln sin x

y sin x x2 2x ln sin x x2 ctgx) , sin x 0 32

Правило Лопиталя

Если функции f (x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки x0 , причем g(x) 0 и

lim

f (x)

g(x)

x x0

Представляют неопределенность

.....или........

То имеет место следующее равенство:

lim

f (x)

lim

(x)

ч чч 0

g(x)

x x0

g (x)

Пример1: найти предел:

lim

ln x ln a

lim

x a

x x

Производная от производной функция называют производной второго порядка и обозначают f (x)

Задачи для самостоятельной работы

Вариант 1 Найти производные

1. y = 4x8 + 8x4 – 10x + 2,

2.y = 4

4 x

3. y = (x – 3x2)3,

4. y = tg(

x) ,

5. y = ln(

1) ,

6. y =

1 7x ,

7. y =

8. y = arctg

9. y =

5 6x

10. y = x۰ctgx,

7x 8

ctg x

11. y =

12. y =

ctg x ,

13. y = ctg

x ,

14. y = 1 + 2sin x۰cos x; y″ = ?

15. y = ex۰e2x;

y″ = ?

Найти пределы

1. lim

3n3 n5 8n

2. lim

9n8 8 8n4

3. lim

x3 10x2

21x

x 3

4. lim

sin

x 0

5. lim

1 e x

x 0

6. lim

ln 8 3ln x

x 2

arcsin

arcsin x

7. lim

2x 1

Построить графики функций

1. y = x5 – 5x,

2. y = |x – 3|.

Вариант 2

Найти производные

1. y = 25x4 – 4x25 + 100,				1
	2. y =	x5		1		,
	2. y =	x5		x4		,
				x4
3. y = (3x2 – 4)6,	4. y = sin		x 1		,
3. y = (3x2 – 4)6,	4. y = sin				,
		2

5. y = tg(2 – 3x),	6. y = 10 10x 10 ,
	35

7. y =

8. y = arcsin(6x + 7),

10x 10

9. y =

5 6x

10. y = x6 cosx,

x 11

tg x

11. y =

12. y = 3 tg x ,

14. y = sin3x, y″ = ?

13. y = tg 5

x ,

15. y =

x2 1 , y″ = ?

Найти пределы

1. lim

n 2n2 3n

3n4 1 n2

2. lim

3. lim

x2 5x 6

x 3

4. lim

x sin

(3x)

x 0

5. lim

e x

e 1

x 1

6. lim

ln( x 2)

x 3

7. lim

4arctg x

x 1

Построить графики функций

1. y = x4 – 4x3,	2. y =	1	.
		x

Вариант 3

Найти производные

1. y = 6x2 – x3 +31x,

2. y = x 3

3 x

3. y = (x3 + 1)3,

4. y = e5x.

5. y = tg(2 – 3x),

6. y = 10 10x 10 ,

7. y =

8. y = arcsin(6x + 7),

10x 10

9. y =

5 6x

10. y = x6 cosx,

x 11

11. y =

12. y = arctg x ,

e x

13. y = arctg2x,

14. y = ln(1 – x),

y″ = ?

15. y = arccos 1 x2 ,

y″ = ?

Найти пределы

1. lim

2. lim

3. lim

x 5

4. lim

x 0

5. lim

x 0

6. lim

x 0

7. lim

x 2 3

(n 1)2 (n 1)2 , n 2

3n2 2n n ,

4n 5

x2 11x 30 , x2 25x

3sin2 5x , 7x2

ex e x , x

ln(1 x) ln(1 x) , x

2 cos x 1 .

3x 2

Построить графики функций

1. y = x4+ 4x3,

2. y = | ln x |.

Вариант 4

Найти производные

1. y = x4 – 3x3 + 12x +5,

2. y = x4

x10

3. y = (

– 4)6,

4. y = ln(1 +

5. y = ctg8x

6. y = 2

5 10x ,

y =

8. y = arcsin10x,

3x 4

9. y =

10. y =

x cos x ,

5x 6

lg x

11. y =

12. y =

cos x ,

14. y = sin2x, y″ = ?

13. y = cos

x ,

15. y = arctg

x 1

y″ = ?

x 1

Найти пределы

n3 2n2 3n 4

1. lim

4 3n 2n

2. lim

5n 2

6 2n

3n 4

3. lim

3x 10

3x 2

x 2

4. lim		ex2 1		,
		x	2
x 0
5. lim		cos x 1				,

x 1		x 1
6. lim	ln x 1				,

x e		x e

arctg x

7. lim x 1 4 .

x 1

Построить графики функций

1. y = x3 – 6x,	2. y = e		x		.

Вариант 5

Найти производные

1. y = 2x4 – 10x2 +x + 12,			2. y = x 3			1
				x
						3x2

3. y = (2x3 – 5)4,			4. y = cos7x.
5. y = ln(5 –3x),			6. y = 2		5 10x
1
7. y =		,	8. y = arctg 3x,
	x2 4

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]