Пределы последовательностей и функций. Учебно-методическое пособие

1.ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1.1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение 1.1

Если каждому натуральному числу n поставлено в соот-

ветствие по определенному закону число xn, то говорят, что определена числовая последовательность (или просто по-

следовательность) x1, x2, x3, …, xn, … . Кратко ее обозначают

символом {xn}. Числа xn называются членами или элементами последовательности.

Последовательность считается заданной, если задано правило, позволяющее по известному номеру члена последовательности определить этот член. Иными словами, общий член последовательности есть функция его номера

xn= f(n).

Определение 1.2

Говорят, что последовательность {xn} имеет конечный предел, равный числу a (сходится к числу a), если для каж-

дого произвольного, но фиксированного числа >0, можно найти такой номер N (выбор N зависит от , т.е. N = N( )), что для каждого n>N соответствующие члены xn последователь-

ности {xn} удовлетворяют неравенству | xn – а | < . При этом число a называется пределом последовательности.

Запись: lim xn a.

n

3

Определение 1.3

Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует конечное число а, которое является пределом последовательности.

Если последовательность {xn} не имеет предела, то она называется расходящейся.

Последовательность {xn} ограничена сверху, если число M (число M может быть любого знака), такое, что для всех n

выполнено неравенство xn M.

Последовательность {xn} ограничена снизу, если число m (число m может быть любого знака), такое, что для всех n

выполнено неравенство xn m.

Определение 1.7

Числа m и M, введенные в определении 1.6, называются соответственно нижней и верхней гранями последователь-

ности {xn}.

Определение 1.8

Наименьшая из всех верхних граней называется точной

1.8.2) 0 n0 : xn0 M .

4

Определение 1.9

Наибольшая из всех нижних граней называется точной нижней границей m inf xn (от латинского infimum), если

выполняются условия:

1.2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В РАВЕНСТВАХ (СВОЙСТВА)

Пусть последовательности {xn} и {yn} сходятся к числам a

иb соответственно, С — заданное число. Тогда:

1)последовательности {zn}={xn yn}, {un}={xnyn}, {vn}={Cxn}

2) если, кроме того, b lim yn 0 , то последовательность

n

{wn}={xn/yn} сходится и lim wn a / b ;

n

3)если последовательность {xn} — б. б., то последовательность {yn}= {1/xn} — б. м. (отметим, что можно показать, что номер n0, такой, что если n > n0, то xn 0 и, следовательно, для всех n > n0 значения {yn} = {1/xn} определены);

4)если последовательность {xn} — б. м. и n0, такой, что

5) произведение б. м. последовательности на ограниченную есть б. м. последовательность: если lim xn 0 , после-

n

довательность {yn} ограничена , то lim xn yn 0.

n

1.3. ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ

Задача 1.1

Пусть xn n1 . Исходя из определения предела последо-

вательности доказать, что lim xn 0.

n

5

Решение

Пусть задано произвольное, но фиксированное число

ку: – < 0 < xn = 1/n < и , следовательно, для n > N выполнено неравенство xn 0 .

Задача 1.2

Пусть Cn = C, где C = const. Доказать, что lim Cn = C .

n

Решение

Так как {Cn} — постоянная последовательность, то для

ванное число > 0, тогда для всех n выполнена оценка

Задача 1.3

Исходя из определения предела последовательности, доказать, что последовательность xn = 2n/(n + 1) имеет предел, равный 2.

Решение

Нужно показать, что для > 0 N = N( ), такой, что дляn > N выполнено неравенство | xn – 2 | < .

Запишем | xn – 2 | = | 2n/(n + 1) – 2 | = 2/(n + 1). Заметим,

что неравенство 2/(n + 1) < справедливо, если n > 2/ 1. Поэтому, если для заданного > 0 взять N = N( ) = 1 при

6

полнено неравенство | xn – 2 | < .

Задача 1.4

Доказать, что последовательность yn = n является бесконечно большой.

Решение

Пусть дано произвольное, но фиксированное число E > 0. Выберем натуральное число N > E, например, N = [E] + 1, тогда для всех n > N имеем оценку |yn| = n > N = [E] + 1 > E и, следовательно, для n > N выполнено неравенство |yn| > E.

то для n > N выполнено неравенство 2 n E.

7

Задача 1.6

Показать, что последовательность xn = sin n n является ограниченной.

Решение

Эта последовательность является ограниченной, так как число А = 1, такое, что для n выполнено неравенство

|xn| 1.

Задача 1.7

Показать, что последовательность un = n 2 ограничена снизу.

Решение

Эта последовательность ограничена снизу, так как для всех n выполнено неравенство un – 1 (т.е. в определении

1.6 число m = – 1).

Задача 1.8

Показать, что последовательность xn n( 1)n не ограни-

чена, однако не является бесконечно большой при n .

Решение

Сначала покажем, что эта последовательность не ограни-

Теперь покажем, что эта последовательность не является б. б., т.е. E0 > 0: N n1 > N, такое, что выполнено нера-

8

Задача 1.9

Пользуясь предельными переходами в равенствах, пока-

по свойству 2 предельных переходов в равенствах последо-

Задача 1.10

Доказать, что последовательность xn sinnn! имеет пре-

дел, равный 0.

Решение

Последовательность {xn} есть произведение б. м. после-

довательности zn = 1/n ( lim zn 0 ) на ограниченную yn =

n

= sin n!. Поэтому по свойству 5 предельных переходов в ра-

9

2. ВОПРОСЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

2.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Теорема о трех последовательностях

Пусть даны последовательности {xn}, {yn} и {zn}. Если

тельности {yn}, причем lim yn a.

n

Теорема 2.1

1.Для того чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху.

2.Для того чтобы невозрастающая последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.

Замечание 2.1

Ограниченность сверху (снизу) неубывающей (невозрастающей) последовательности равносильна ограниченности этой последовательности.

Теорема 2.2

Если последовательность имеет конечный предел, то любая ее подпоследовательность сходится и притом к тому же пределу.

Следствие

Если из последовательности можно выделить хотя бы две сходящиеся подпоследовательности, имеющие разные пределы, то эта последовательность расходится.

Критерий Коши

Для того чтобы последовательность {xn} имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для > 0 номер N = N( ), такой, что для n > N и натурального p было выполнено неравенство | xn+p xn | < .

10