Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пределы последовательностей и функций. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

731 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Здесь использовано то, что если x + ,										то 2e 3x 0,
ln 1 2e	3 x	2e	3 x	o e	3x	,	e 3x	и	o e 3x	— бесконечно
							x		e 3x

малые.

Ответ

Порядок роста равен 1.

Задача 7.8

Определить порядок малости f(x) при x 2, выделить главный член относительно бесконечно малой (x 2), если

f(x) =

x 1 ex 2 3

ln (3 x)

Постановка задачи

f(x) с(x 2) при

Найти числа > 0

и с 0, такие, что

x 2.

Решение

Если x 2, то

1 (x 2) ex 2 3

f (x)

1 (x 2) ex 2

ln (1

(x 2))

(x 2)

x 2

(x 2) o(x 2) 1

(x 2)

x 2

o(x 2)

(x 2)3

o(x 2) 3

x 2

1 3

(x 2)2

2)2.

Ответ

Порядок малости равен 2, главный член — функция

81 (x 2)2.

Задача 7.9

Показать, что f(x) — бесконечно большая при x 0; определить порядок роста f(x) относительно функции 1x , если

f(x) =

x x 2x3

Решение

e2x2

1 x

Если x 0, то

x 2x 2

f(x) =

e2 x2

1 x2

x2 o(x2 )

x 5 (x)

5 (x)

1 (x)

o(x2 )

Здесь обозначено: (x) =

— известная беско-

x 2x 2

нечно малая при x 0,

(x) =

o(x2 )

— неизвестная беско-

нечно малая.

Таким образом, f(x) — произведение бесконечно большой

5 (x)

на функцию

, имеющую предел равный 5 (т.е.

1 (x)

отличный от нуля); f(x) — бесконечно большая. Кроме того,

f(x) 5 x1 2 при x 0.

Ответ

Порядок роста равен 32 .

Задача 7.10

Выделить главный член функции f(x)

при x

относи-

тельно функции x

, если f(x) = (tgx)ctgx 1.

Решение

[1]

Если x

, то f (x) ectgx ln(tgx) 1 ctgx ln(tgx) ln(tgx).

Использовано:

[1] — lim ctgx 1,

lim tgx 1,

lim

ctgxln(tgx) 1 ln1= 0.

x 4

Пусть x

y. Тогда, если x

, то y 0, tgy 0, tgx =

tgy

2tgy

tgy

1 tgy

1 tg tgy

2tgy

Получаем ln(tgx) ln

2y 2

1 tgy

1 tgy y 0

Таким образом, при x

f(x)

f(x) x9

Ответ

Главный член — функция 2 x 4 .

Задача 7.11	o x9 o x7 .
Доказать, что при x 0

Постановка задачи

Пусть известно, что f(x) = o x9 , т.е. удовлетворяет условию:

— бесконечно малая при x 0.

Показать, что тогда эта f(x) удовлетворяет условию f(x) =

=o x7 , т.е. f(x) — бесконечно малая при x 0.

Доказательство

	f(x)		f(x)	2
		=		x .
	x7	=	x9	x .
По условию					f(x)	— бесконечно малая. Таким образом,
По условию					x9	— бесконечно малая. Таким образом,
					x9

f(x) — бесконечно малая как произведение двух бесконечно x7

малых f(x) и x2 при x 0. x9

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического ана-

лиза. В 2-х ч. Ч. 1. М.: Наука, 2005.

2.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. 1. М.: Высшая школа, 1986.

3.Райхмист Р.Б. Графики функций. М.: Высшая школа, 1991.

4.Никитин А.А. Математический анализ. Сборник задач.

М.: Юрайт, 2018.

	О Г Л А В Л Е Н И Е
1.	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ........................................	3
	1.1. Основные определения.......................................................	3
	1.2. Предельный переход в равенствах (свойства) ..................	5
	1.3. Задачи и их решения...........................................................	5
2.	ВОПРОСЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА
	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ......................................................	10
	2.1. Основные теоремы............................................................	10
	2.2. Задачи и их решения.........................................................	11
3.	ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ
	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ......................................................	24
	3.1. Частичные пределы. Основные понятия..........................	24
	3.2. Верхний и нижний пределы последовательности.
	Основные определения ....................................................	26
	3.3. Задачи и их решения.........................................................	26
4.	ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ
	С ПОМОЩЬЮ ПРЕДЕЛОВ......................................................	32
5.	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ..................................	37
	5.1. Основные определения.....................................................	37
	5.2. Основные свойства, используемые при вычислении
	пределов функций.............................................................	39
	5.3. Вычисление пределов функций
	при помощи правила Лопиталя.........................................	43
	5.4. Задачи и их решения.........................................................	45
6.	ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ................................................	54
	6.1. Основные определения.....................................................	54
	6.2. Основные эквивалентности и соответствующие им
	равенства...........................................................................	56
	6.3. Задачи и их решения.........................................................	56
7.	СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
	И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ...................................................	63
	7.1. Основные определения.....................................................	63
	7.2. Задачи и их решения.........................................................	65
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ .............................		75

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]