Пределы последовательностей и функций. Учебно-методическое пособие

Так как найдены две подпоследовательности (например, {x4k}, {x4k-1}), имеющие разные пределы, то по следствию теоремы 2.2 данная последовательность расходится.

вательности, имеющие пределы 3, 1, 2. Так как каждый член последовательности {xn} является членом одной из подпоследовательностей, то так же, как в задаче 3.1, можно показать, что других частичных пределов последовательность не имеет. Таким образом, множество частичных пределов состоит из чисел 1, 2, 3. Последовательность ограничена (так как n 1 xn 3 ). Тогда по определению

31

4. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ С ПОМОЩЬЮ ПРЕДЕЛОВ

Рассмотрим построение графиков функций, заданных с помощью пределов. В этом случае необходимо предварительно вычислить соответствующие пределы, после чего построить сами графики функций.

Задача 4.1

Построить график функции

Отметим, что функция разрывна в точках x 1 и x 1 (точки разрыва 1-го рода, точки неустранимого разрыва).

Рис. 2

График функции приведен на рис. 2.

32

Задача 4.2

Построить график функции

Функция разрывна в точке x 1 (точка разрыва 1-го рода, точка неустранимого разрыва).

График функции приведен на рис. 3.

Рис. 3

33

Задача 4.3

Построить график функции

y(x) lim nx n x .

n nx n x

Решение

Если x 0 , то y 0 . Далее, если x 0 , то n x 0 при n , и, значит, y 1. Наконец, если x 0 , то nx 0 при n и, следовательно, y 1.

Рис. 4

Задача 4.4

Построить график функции

34

График функции изображен на рис. 5.

Рис. 5

Задача 4.5

Построить график функции

y(x) lim sin2n x .

35

рыва 1-го рода, точки устранимого разрыва).

Рис. 6

График функции приведен на рис. 6.

36

5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

5.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение 5.1

Пусть x0 — конечная точка, A — число. Предел функции f(x) при x, стремящемся к x0, равен A (ниже краткая запись)

lim f (x) A ,

x x0

если функция f(x) удовлетворяет следующим условиям: 5.1.1. Существует некоторая выколотая окрестность

U (x0 ) точки x0, в которой f(x) определена (т.е. существует число > 0, такое, что f(x) определена для всех x, удовлетворяющих условию x (x0 , x0 ), x x0, или, что то же,

Пример 5.1

Можно ли рассматривать задачу о нахождении предела функции в заданной точке x0?

для любого значения x 1), значит, для x0 = 0 можно ставить вопрос о нахождении предела.

f (x) A .

37

Окрестностью + назовем любое множество точек x, удовлетворяющих условию x > , где — некоторое число (не обязательно положительное), или U ( ) {x: x }.

Окрестность : U ( ) {x: x }.

Окрестность : U ( ) {x: x }, где > 0.

Таким образом, окрестность этих символов, так же как и

конечной точки x0, определяется выбором числа — “размерами” этой окрестности.

Определение 5.3

Пусть x0 — конечная точка (число) или один из символов + , или , A — число или один из этих символов. Тогда

lim f (x) A , если выполняются условия:

xx0

5.3.1.Существует окрестность x0 (выколотая в случае ко-

нечного x0), в которой f(x) определена.

5.3.2. Для любой окрестности A (обозначим это множество чисел U(A)) найдется такая (выколотая для конечного значе-

38

Пример 5.4

Определен ли в точке x0 предел функции

x 0

тельно, для > 0 > 0 (например, = 1), такое, что для

x: 0 x 0 , x X f (x) 1 0 .

Условия 5.1.1 или 5.2.1 накладывают ограничения на область определения функции, условия 5.1.2 или 5.2.2 — на поведение самой функции.

Пример 5.5

Покажем, что условия 5.1.1 или 5.2.1 очень существенны.

Пусть f(x) x, x0 2.

Условия 5.1.1 и 5.2.1 не выполнены, функция не существует для значений x < 0, и вопрос о существовании предела нельзя рассматривать, но 5.2.2 выполнено, если взять A = 0. Действи-

5.2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ

Определение 5.4

Функция h(x) называется бесконечно малой при x x0,

если lim h(x) 0.

x x0

Определение 5.5

Функция f(x) называется бесконечно большой при x x0,

если lim f(x) .

x x0

39

Свойство 5.1.А

Пусть существуют конечные пределы:

Произведение бесконечно малой на локально ограниченную есть бесконечно малая.

выколотая окрестность x0, в которой t(x) ограничена (например, это выполнено, если t(x) — ограниченная функция), то

lim (h(x)t(x)) 0.

xx0

Свойство 5.1.Г

Свойство 5.2

Имеют место следующие “замечательные” пределы:

40