Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пределы последовательностей и функций. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

731 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Решение

Имеем неопределенность 00.

Обозначим y (sin x)x ,

тогда ln y x lnsin x .

Находим

ln sin x

lim ln y lim (x ln sin x) lim

x 0

1/ x

cos x

sin x

lim (ln sin x) lim

lim

x 0

1/ x

sin x

(1/ x)

lim

lim x lim cos x 1 0 1 0 ,

sin x

x 0

откуда lim (sin x)x

x 0

Здесь неопределенность типа 00 для функции y (sin x)x

была

преобразована

неопределенность типа

для

функции ln y

и затем в неопределенность типа

, потом

применялась теорема 5.2.

Задача 5.12

lim (tg x)2cos x .

Найти предел:

Решение

Имеем неопределенность типа 0 .

Обозначим y (tg x)2cos x ,

тогда ln y 2cos x ln tg x .

Находим

ln tg x

lim ln y lim (2cos x ln tg x) 2 lim

2 lim

(ln tg x)

1/ cos x

cos x

2 lim

tg x

cos2 x

2 lim

cos x

0 ,

x 2

( sin x)

sin

cos2 x

откуда

lim (tg x)2cos x e0 1.

Здесь неопределенность типа 0

для функции y (tg x) 2cos x

была преобразована

неопределенность

типа

для

функции

ln y

и затем в неопределенность типа

, потом

применялась теорема 5.2.

Задача 5.13

Найти предел: lim (1 x) ln x .

x 0

Решение

Имеем неопределенность типа 1 .

Обозначим y (1 x) ln x , тогда ln y ln x ln (1 x) .

Находим

ln (1 x)

lim ln y lim (ln x ln (1 x)) lim

x 0

1/ ln x

lim (ln (1 x)) lim

x ln2 x

1 x

lim

1 x

x 0

ln2 x

ln x

(ln

2 ln x

ln x

lim ln

lim

2 lim

1/ x2

1/ x

x 0

1 x

2 lim (ln x)

2 lim

1/ x

2 lim x 0 ,

1/ x2

x 0

откуда lim (1 x) ln x

x 0

Здесь

неопределенность

типа

для

функции

y (1 x) ln x

была преобразована в неопределенность типа

0 для функции ln y и затем в неопределенность типа								0	,
потом применялась теорема 5.1.								0
потом применялась теорема 5.1.
Задача 5.14				1
	x	2	sin	1		x sin x
Найти пределы: а) lim	x		sin	x	; б) lim	x sin x	.
Найти пределы: а) lim		sin x			; б) lim		.
x 0		sin x			x x sin x

Решение

а) Правило Лопиталя применять нельзя, поскольку не существует

2x sin

cos

lim

f (x)

lim

g (x)

cos x

x 0

(п. 4 теоремы 5.1), так как lim cos				1	не существует (отметим,
				x
		1	x 0
			0 ). Вычисляем предел по-другому:
что lim	x sin

x 0		x

	x2 sin	1		x			1
		x	lim		lim			1 0	0 .
lim						x sin
	sin x			sin x			x
x 0			x 0		x 0

б) Правило Лопиталя применять нельзя, поскольку не су-

1 cos x

ществует

lim

f (x)

lim

(п. 4

теоремы 5.2), так как

1 cos x

(x)

не существует lim cos x . Вычисляем предел по-другому:

x sin x

sin x

lim

x sin x

sin x

так как

sin x

lim

sin x

0 .

x x

6. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ

6.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение 6.1

Пусть f(x) и g(x) удовлетворяют условию 5.1.1 (или

5.2.1) в некоторой окрестности точки x0 (конечной или беско-

нечной), за исключением, быть может, самой точки x0 и либо обе функции бесконечно малые, либо обе бесконечно большие. Тогда функции f(x) и g(x) называются эквивалентны-

ми при x x0 (обозначаются f(x) g(x) при x x0), если

lim	f (x)	1.	(6)
	g(x)
x x0

Определение 6.2

Функция f(x) является бесконечно малой более высокого

порядка, чем g(x) при x x0 (обозначается			f(x) = о( g(x) )),
если выполняется условие	f (x)
lim		0.	(7)
	g(x)
x x0
Условие (6) эквивалентно условию
f(x) = g(x) + о( g(x) )		при x x0.	(8)

Свойства символа “о – малое”, часто используемые при вычислении пределов:

а) если с = const 0, то о(сf(x) ) = о( f(x) ) при x x0;

б) о( f(x) )+ о( f(x) ) = о( f(x) ) при x x0;
в) если m > n > 0	(не обязательно целые), то
при x 0	x m o(x n ), o(x m ) o(x n ) .
Замечание 6.1
Следует обратить внимание, что равенство			o(f) = o(g)
неперестановочно. Например,		o(x2 ) o(x) , при	x 0, но
утверждение, что o(x) o(x2 )		при x 0 — неверно. Пока-
жем это.

1. Равенство o(x2 ) o(x) , следует понимать следующим образом: пусть известно, что f(x) = o(x2 ) (т.е. f(x) удовлетво-

ряет условию:

f (x)

— бесконечно малая при x 0), тогда

f(x)

f(x) удовлетворяет условию:

— бесконечно малая. Дей-

f (x)

ствительно,

x — бесконечно малая при x 0 как

f(x)

произведение двух бесконечно малых

и x.

2. Пусть f(x) = x

x . При

x 0

f(x) = o(x), но f(x) не удо-

влетворяет условию f(x) = o(x2 ) ,

так как

f (x)

— не

есть бесконечно малая при x 0.

Поэтому утверждение o(x) = o(x2 ) при x 0 неверно.

Замечание 6.2

Обращаем внимание на то, что утверждение типа f(x) = o(g(x)) не имеет смысла, если не указать, в окрестности какой точки мы рассматриваем функции (т.е. без указания

x x0). Например,			x3 = o(x) при x 0, но x3 o(x) при x ,
так как lim	x3	0.
	x
x

Правило

При вычислении предела произведения (или отношения) каждый из сомножителей можно заменить на эквивалентную функцию. При вычислении предела суммы (а также во всех остальных случаях) — слагаемые заменяем на равные им слагаемые по формуле (8).

Пример 6.1

При x 0 функция ex 1 — бесконечно малая. Из равенства (4) следует, что

			ex 1 x при x 0.						(9)
Пример 6.2
Покажем, что при x 0
			(1 x) 1 x						(10)
(где — заданное число), или, что то же самое,
Решение			(1 x) 1 x o (x).						(11)
Решение
lim	(1 x) 1	lim		e ln (1+x) 1	[1]	lim	ln (1 x)	1.
lim	x	lim		x		lim	x	1.
x 0	x		x 0	x		x 0	x
Здесь равенство [1] имеет место,						так как если x 0, то
z(x) = ln(1 + x) 0			и,	следовательно,			ez(x) 1 z(x);		по-
следнее равенство — из равенства (3).

6.2.ОСНОВНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

ИСООТВЕТСТВУЮЩИЕ ИМ РАВЕНСТВА

Используя равенства (1), (2), (3), (4), (10), запишем основные эквивалентные функции и соответствующие равенства.

Все формулы записаны для x 0:
sin x x,	sin x = x + o(x),	(12)
ln (1 + x) x,	ln (1 + x) = x + o(x),	(13)
ex 1 x,	e x 1 x o(x),	(14)
(1 x) 1 x,	(1 x) 1 x o(x),	(15)
где — число.

6.3. ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ

Задача 6.1

Найти предел:

lim 3 1 3x 4 1 x2 . x 0 x

Решение

[1]

lim

3x o(3x)

o(x2)

lim

x 0

o(3x) o(x

)

[2]

lim

x 0

3o(3x)

o(x2 )

lim

x 0

x 3 (x) x (x)

[3]

lim

x 1

x 0

0 x 1

где (x) и (x) — бесконечно малые при x 0.

Равенство

[1]

верно,

так как

если

x 0,

то

3x 0 и

x2 0, и можно применить формулу (15); в равенстве [2] — слагаемое o(3x) означает некоторую функцию (x), такую,

что lim	(x)	0, аналогично для o(x2); большее слагаемое в
x 0	3x

числителе — это x, выносим его (аналогично задаче 5.3); в равенстве [3] использовано следствие из свойства 5.5.

Ответ

Если = 1, то предел равен 1, если < 1, то предел равен 0, если > 1, то предел равен .

Задача 6.2

Найти предел:

lim 3 1 3x 4 1 4x . x 0 x

Решение

	3	1 3x 4 1 4x				[1]
	lim					=
	lim		x			=
	x 0		x
lim	1 1/ 3 3x o(x) (1 1/ 4 4x o(x)) [2]
lim			x			=
x 0	lim o(x)		x	o(x)
			lim	o(x)	x1 .
			lim	x	x1 .
	x 0	x	x 0	x

Отношение o(xx) — бесконечно малая по определению

o(x). Поэтому, если 1 0, то предел равен 0. Если же

1 < 0, то имеем неопределенность вида 0 , и нужно другое решение (см. ниже).

При решении данной задачи в равенстве [1] в числителе вместо слагаемых o(3x) и o(4x), которые следуют из равенства (15), написаны слагаемые o(x). Поясним, почему это можно сделать. Слагаемое o(3x) означает некоторую функ-

цию (x), удовлетворяющую условию lim					(x)		0 .
	(x)		(x)	x 0	3x
Рассмотрим lim	(x)	lim	(x)	3 3 0		0,	т.е. (x) =
x 0	x	x 0	3x

=о(x). Таким образом, o(3x) = o(x). Аналогично, o(4x) = o(x).

В равенстве [2] сумма двух слагаемых o(x) + o(x) замене-

на на o(x), так как слева стоит сумма 1(x) 2(x) , причем каждая функция i (x) удовлетворяет условию: xi — бесконечно малая при x 0, но тогда 1 2 также удовле-

творяет условию:			1		2	— бесконечно малая при
	x		x		x

x 0. Таким образом, o(x) + o(x) = o(x).

При > 1 предел “элементарными” методами вычисляется более громоздко:

12	(1 3x)4	12 (1 4x)3	lim	A(x) B(x)		(16)
lim					,
		x		x
x 0			x 0

где

A(x) 12 (1 3x)4 , B(x) 12 (1 4x)3 , lim A(x) lim B(x) 1,

x 0	x 0
A12 B12	(1 3x)4	(1 4x)3	6x2 (108 64)x3	81x4,

A12 B12 (A B)(A11 A10B ... B11),

второй сомножитель состоит из 12 слагаемых, каждое из которых стремится к 1 при x 0. Вся скобка стремится к 12.

Продолжим равенство (16) следующим образом:

lim

A12 B12

lim

A12 B12

x 0 x A11 A10 B ... B11

x 0

6x 2 44x 3 81x 4

6 44x 81x 2

lim

x 2

12 x 0

Отсюда, используя следствие из свойства 5.5, получаем, что если:

< 2, то предел равен 0 (так же, как при ≤ 1);

= 2, то предел равен 126 21;

> 2, то предел равен .

Отметим, что более естественно данную задачу решать, используя формулу Тейлора (которую будем изучать позже). В этом случае имеет место следующее равенство, более точное, чем равенство (16):

		(1 x) 1 x				1	( 1)x2			o x2				при x 0.
		(1 x) 1 x					( 1)x2			o x2				при x 0.
					2!					1 и					1
Применим это равенство для															1	.
Применим это равенство для														4		.
			1	1			2			3				4
3	1	3x 1 x	1	1			2	2	o x		2		;
	1	3x 1 x	2	3			(3x)		o x				;
			2	3			3
4			1	1			3	2	o x			2	;
	1	4x 1 x						(4x)
	1	4x 1 x	2	4				(4x)
			2	4			4

1 3x 4 1 4x

1 1

lim

o x

x 0

0 ,

если

2 ;

lim

o(1)

если

x 0

если

Задача 6.3

sin x

Найти предел: lim

x sin 6x

Решение

0 .

Задача представляет собой неопределенность типа

Поскольку x x0 = 0,

то

сделаем замену

переменных

x x0 = y,

т.е.

x = y + .

При

этом

sin

x = sin y,

sin 6x =

= sin 6y.

sin x

-sin y

-y

lim

sin 6x

0 sin 6y

0 6y

Здесь мы воспользуемся тем,

что

при

y 0

функции

6y 0, sin y y, sin 6y 6y.

Задача 6.4

sin x

Найти предел:

lim

x /2 sin 6x

Решение

sin x

при x

lim

sin x

так

как

sin 6x

x /2

функция

sin 6x 0,

—

бесконечно

большая,

sin 6x

lim

sin x sin

= 1 0

(см. свойство 5.1.Г).

x /2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]