Пределы последовательностей и функций. Учебно-методическое пособие

Задача 2.15

Пользуясь теоремой Штольца, доказать, что

метим, что последовательность {yn } является возрастающей бесконечно большой. Исходную последовательность

21

Решение

Обозначим 1 2 3 3 ... n n через xn , и пусть yn n . Тогда исходную последовательность можно записать в

Задача 2.17

Используя теорему Штольца, найти предел

гда исходную последовательность можно записать в виде

22

Тогда

Следовательно, по теореме Штольца имеем

Задача 2.18

Пользуясь теоремой Штольца, доказать, что lim an ,

n n

a 1.

Поэтому, согласно замечанию 2.2 к теореме Штольца, имеем

lim an .

n n

23

3. ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

3.1. ЧАСТИЧНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Напомним, что если число а является пределом последовательности, то в любой окрестности точки а, т.е. в множестве (а – , а + ), содержится бесконечно много членов последовательности, а вне этого множества, т.е. в множестве (– , a – ] [a + , + ) содержится не более конечного числа членов последовательности.

Пусть а — предел последовательности {xn}, и b a. Рас-

т.е. имеют место неравенства a – < a + < b – < b + (рис. 1).

довательности, то вне (a – , a + ) и, следовательно, внутри (b – , b + ) может содержаться не более конечного

24

числа членов последовательности. Аналогично, если {yn} — бесконечно большая последовательность, причем

lim yn , то в любом множестве вида (t , + ) содержится

n

бесконечно много членов последовательности, а вне этого множества, т.е. в любом множестве вида (– , t ] и, следовательно, в любом множестве (b – , b + ) может содержаться не более конечного числа членов последовательности.

Итак, доказано утверждение.

Если последовательность {xn} сходится и lim xn a,

n

b a, 0 b a , то внутри множества (b – , b + ) мо- 4

жет содержаться не более конечного числа членов последо-

вательности. Если lim xn , b — любое число, то внутри

n

множества (b – , b + ), > 0, может содержаться не более конечного числа членов последовательности.

Определение 3.1

Пусть задана последовательность {xn}. Величина a (число

или один из символов + , – ) называется частичным пределом этой последовательности, если существует такая под-

Если а — частичный предел последовательности, то в любой окрестности точки а содержится бесконечное число членов соответствующей подпоследовательности и, следовательно, членов самой последовательности.

Если последовательность {xn} ограничена сверху (снизу) числом М (числом m), то множество всех ее частичных пределов также ограничено сверху (снизу) этим числом М (числом m).

25

3.2. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение 3.2

Наименьший частичный предел (конечный или бесконечный) последовательности {xn} называется нижним пределом lim xn , а наибольший частичный предел – верхним преде-

n

лом lim xn .

n

Частичный предел называется также предельной точкой.

Теорема 3.1

Равенство lim xn lim xn является необходимым и доста-

n n

точным условием существования предела (конечного или бесконечного) последовательности {xn}.

Замечание 3.1

В общем случае выполнены неравенства

inf xn lim xn lim xn sup xn .

n n

3.3. ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ

Задача 3.1

Дана последовательность

1)числа –2, 1, 3 являются частичными пределами;

2)других частичных пределов нет.

26

частичными пределами последовательности.

2. Пусть b 1, b 3, b –2, т.е. b ai , i = 1, 2, 3. Покажем,

(b – , b + ) может содержаться не более конечного числа членов каждой из рассмотренных выше сходящихся подпоследовательностей, и так как каждый член последовательности {xn} является членом одной из подпоследовательностей, то в множестве (b – , b + ) может содержаться не более конечного числа членов всей последовательности. Но если b — частичный предел, то в множестве (b – , b + ) должно содержаться бесконечное число членов последовательности. Пришли к противоречию. Итак, если b аi , то b не может быть частичным пределом.

Задача 3.2

Дана последовательность

Показать, что последовательность имеет единственный конечный частичный предел, равный 1.

Решение

Запишем x2k 1 21k , x2k 1 2k 1, k = 1, 2, 3, ..., тогда:

27

жаться не более конечного числа членов каждой из указанных подпоследовательностей и, следовательно, так же, как и в задаче 3.1, не более конечного числа членов всей последовательности. Таким образом, число b 1 не может быть частичным пределом.

Задача 3.3

Дана последовательность

Последовательность ограничена, так как при n

–3 xn 3. Множество конечных частичных пределов состоит из чисел –2, 1, 3 (см. задачу 3.1), тогда

28

Решение

Последовательность не ограничена сверху, но ограничена

снизу ( n xn 0); множество конечных частичных пределов не пусто, состоит из одного числа 1 (см. задачу 3.2). Тогда по

Решение

Последовательность не ограничена снизу, но ограничена сверху. Так же, как и в задачах 3.1 и 3.2, можно показать, что множество конечных частичных пределов состоит из двух чисел 1 и 2, тогда по определению

Последовательность не ограничена ни снизу, ни сверху, тогда по определению

29

Задача 3.7

Решение

Все члены данной последовательности {xn} содержатся в двух подпоследовательностях {x2k} и {x2k-1}, при этом

вательность {x2k-1} монотонно убывает, а последовательность {x2k} монотонно возрастает, то

30