Пределы числовых последовательностей и функций одного переменного. Учебное пособие

УДК 517.537(075.8) Р 344

Рецензенты:

д-р техн. наук, профессор А.В. Чехонадских канд. пед. наук, доцент Е.В. Подолян

Работа выполнена на кафедре инженерной математики

Резников Б.С.

Р 344 Пределы числовых последовательностей и функций одного переменного: учебное пособие / Б.С. Резников, А.В. Гобыш. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2017. – 92 с.

ISBN 978-5-7782-3417-8

Учебное пособие посвящено базовому разделу дисциплины «Математический анализ» и содержит следующие темы: теория пределов числовых последовательностей и функций одного переменного. Излагаемый теоретический материал сопровождается разобранными примерами и упражнениями для самостоятельного решения, которые могут быть использованы при проведении защиты типовых расчетов. Примеры помогут студентам глубже усвоить теоретический материал и приобрести навыки в решении задач при подготовке к контрольной работе и экзамену.

Предназначено для студентов I курса технических специальностей.

УДК 517.537(075.8)

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие предназначено для студентов I курса технических специальностей НГТУ и содержит базовые разделы дисциплины «Математический анализ»: теория пределов числовых последовательностей и теория пределов функций одного переменного.

Излагаемый теоретический материал (главы 1 и 3) сопровождается разобранными примерами, что поможет студентам при самостоятельной работе над указанной темой. Кроме того, имеются упражнения для типовых расчетов, которые в основном заимствованы из [1] и включены в текст пособия без ссылок на авторов. Приведенные в пособии задачи систематически подобраны по темам и способам решения, нумерация задач выполнена внутри каждого раздела главы. В главу 2 вошли задачи по пределам числовых последовательностей, предложено 6 типов расчетных заданий, каждый из которых включает по 26 равнозначных по сложности задач с ответами. Глава 4 содержит практикум вычисления пределов функций одной переменной, состоящий из 12 блоков по 26 равнозначных по сложности задач с ответами.

Цель пособия – научить студентов самостоятельно решать задачи по курсу математического анализа. Большинство из приведенных примеров демонстрирует технические приемы решения и акцентируют внимание на условиях применимости теоретического материала в решениях. Авторы считают, что разобранные примеры помогут студентам глубже усвоить теоретический материал и приобрести навыки в решении задач. Разумеется, никакие методические разработки не могут заменить фундаментальные учебники и тем более «живые» лекции, практические занятия и упорную самостоятельную работу.

Авторы считают своим приятным долгом выразить искреннюю признательность рецензентам, чьи поправки, критические замечания и предложения способствовали улучшению пособия.

ГЛАВА 1

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение. Если каждому натуральному числу n N по какомунибудь правилу или закону поставлено в соответствие некоторое вещественное число an , тогда множество an называют числовой последова-

тельностью, которую обозначают в виде {a1, a2 ,..., an , ...}, n N (или кратко {an} ), где a1, a2 ,..., an ,... называют членами или элементами последовательности; an – общим или n-м членом последовательности.

Способы, используемые для задания последовательности, могут быть разнообразными. Требуется только, чтобы каждому натурально-

му n соответствовало вполне определенное число an , n 1, 2,...

1. Числовая последовательность может быть определена заданием формулы, выражающей общий член последовательности. Например,

формула an 2n , n N, задает последовательность, которая в развернутом виде представляется следующим образом: {2, 4, 6,...,2n,...} .

2. Для задания последовательности используют рекуррентные формулы, т. е. формулы, выражающие n -й член последовательности через предыдущие. Например, так определяется арифметическая прогрессия: an an 1 d ; n N ( a0 – первый член, d – разность прогрессии) и геометрическая прогрессия an an 1 q ( a0 – первый член,

q – знаменатель прогрессии).

5

3. Возможны и другие способы задания числовой последовательно-

Множество значений членов последовательности может быть как конечным, так и бесконечным. Например, если задать последователь-

ности одной из формул an 1, an ( 1)n 1 , an 1 (n 1)n , n N , то в

развернутом виде соответственно будем иметь: {1, 1, 1, ..., 1, ...} ; {1, 1, 1, 1, ...} ; {0,1, 0, 1/ 2, ...} . В первом случае имеем просто посто-

янную величину, т. е. все множество значений, принимаемых членами последовательности, сводится к одному. Последовательности такого типа называются стационарными. Во втором – это множество состоит из двух значений: 1 и –1, принимаемых поочередно. В третьем случае множество значений членов последовательности бесконечно, при этом через одно обращается в нуль.

Определение. Последовательность {an} называют ограниченной, если существует число M 0 такое, что для всех n N верно неравенство an M , или используя символическую запись, будем иметь

M 0 n N : an M .

Последовательность называют ограниченной сверху (снизу), если

M 0 n N : an M (an M ) .

В противном случае последовательность называют неограниченной:

M 0 n N : an M .

Аналогично формулируются отрицания определений ограниченной сверху (снизу) последовательности.

n N, неограниченна. Преобразуем общий член последовательности

Учитывая полученное неравенство, можно для произвольного положительного числа M указать номер n , такой, начиная с которого

an an 1 , и убывающей (невозрастающей), если для всех n N выполняется неравенство an an 1 .

Если в указанных определениях имеем соответственно неравенства an an 1 и an an 1 , то последовательность называют соответственно

строго возрастающей или строго убывающей.

Определение. Последовательность возрастающая или убывающая в том или ином смысле называется монотонной, соответственно в том или ином смысле.

7

Пример 3. Последовательность an n12 , n N, является строго

би меньше, чем второй).

2. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение. Постоянное число A называется пределом последовательности an , если для произвольного заданного числа 0 ,

сколь бы мало оно ни было, существует номер N , такой что все значения an , у которых номер n N , удовлетворяют неравенству

an A . Запишем определение предела последовательности с помощью логических символов:

A nlim an 0 N n N : an A .

Неравенство an A в определении предела последовательно-

сти равносильно неравенствам A an A n N .

На геометрическом языке введенное определение равносильно следующему: точка A называется пределом последовательности точек

Рис. 1

Иными словами, какую бы окрестность числа A ни взять, вне этой окрестности либо нет ни одного члена последовательности, либо находится лишь конечное число ее членов.

8

ходящее .

3.БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ

ИБЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Определение. Последовательность, предел, который равен нулю, называется бесконечно малой величиной, или просто бесконечно малой:

nlim an 0 0 N ( ) : n N ( ) xn .

Свойство 1. Сумма конечного числа бесконечно малых есть также бесконечно малая.

Свойство 2. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть бесконечно малая величина.

Определение. Последовательность {an} называется бесконечно большой, если для любого M 0 существует такое натуральное

4.ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

ОПРЕДЕЛАХ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Теорема. Предел последовательности {an} , если он существует, то

единственен.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования предела). Для того чтобы последовательность {xn} имела предел, равный

числу А, необходимо и достаточно, чтобы разность n xn A была бесконечно малой величиной при n .

Итак, {xn} A тогда и только тогда, когда имеет место представление xn A n , где { n} – бесконечно малая последовательность.

Теорема. Всякая последовательность, имеющая предел, ограниченна.

Обратное утверждение в общем случае неверно. Например, последовательность an ( 1)n является ограниченной, но предела она не

имеет, так как последовательность принимает значения от +1 к –1. Таким образом, ограниченность последовательности – необходи-

мое условие ее сходимости. Если последовательность неограниченна, то она расходится.

Введем арифметические операции над числовыми последователь-

будем называть соответственно произведением последовательности на число, суммой, произведением и частным последовательностей

{an} и {bn}.

Теорема. Если последовательности {an} , {bn}, {cn} таковы, что

выполняется неравенство an cn bn n N и lim an lim bn A ,

n n

то и nlim cn A .

10