Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пределы числовых последовательностей и функций одного переменного. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Окончание задания 3

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

3.11

lim

3 4x 2

3.12

lim

3 9x 3

2 x 2x

3 x 2x

x 2

x 3

3.13

lim

3 x 6 2

3.14

lim

3 16x 4

x 2

4 x 2x

x 2

x 4

3.15

lim

9 2x 5

3.16

lim

3 x 4 1 2

3 x2 4

1 2 x 2x

x 8

x 1 2

3.17

lim

3 x 9 1 3

3.18

lim

3 x 16 1 4

1 3 x 2x

1 4 x 2x

x 1 3

x 1 4

x 1 1 x

27 x 3 27 x

3.19

lim

3.20

lim

7 x

3 x2 5 x

x 0

3.21

8 3x x2 2

3.22

1 2x 3x2 (1 x)

lim

3 x2 x3

3 x

x 0

3.23

lim

9 2x 5

3.24

lim

3 x 6 2

3 x 2

3 x3 8

x 8

x 2

3.25

lim

x 2

3.26

lim

10 x 6 1 x

3 x2 16

2 3 x

x 4

x 8

Ответы к расчетному заданию 3

Номер задания

Ответ

Номер задания

Ответ

3.1

–2

3.2

3.3

1/ 16

3.4

1/144

3.5

1 4

3.6

12 / 5

3.7

–2

3.8

1/ 4

3.9

2 / 27

3.10

3 / 2

3.11

4 / 3

3.12

2 3

3.13

1/12

3.14

8 3

				Окончание	ответов

	3.15		3 5	3.16	2 3
	3.17		(2 / 3) 2 / 3	3.18	2 3

	3.19		0	3.20	0
	3.21		0	3.22	0
	3.23		12 / 5	3.24	0
	3.25		0	3.26	0
	3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
	С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ
		БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
В ряде случаев при раскрытии неопределенности вида 0						можно
					0

воспользоваться свойством эквивалентных бесконечно малых. Предварительно, если необходимо, следует сделать замену переменной, чтобы воспользоваться эквивалентными бесконечно малыми. Если функ-

ция (x) – бесконечно малая при x x0 , то при x x0 справедливы эквивалентности:

(x) ~ sin (x) ~ tg (x) ~ arcsin (x) ~ arctg (x) ;(x) ~ ln 1 (x) ~ e (x) 1 ;

1 cos (x) ~ 2 (x) ; 2

b (x) 1 ~ (x) ln b ; logb 1 (x) ~ ln(xb) ;1 (x) n 1 ~ n (x) , n R .

Пример 1. Найти lim tg (1 x2) . x 0 ln (x 1)

Решение. Заменим числитель и знаменатель дроби эквивалентными бесконечно малыми: tg (1 x / 2) tg( x / 2) tg x / 2 ~

x / 2 , ln(x 1) ~ x при x 0 . Тогда получим

lim

tg (1 x / 2)

lim

x / 2

ln (x 1)

x 0

Пример 2. Найти

lim

2(e x 1)

x 0 3 3 x

Решение. Учитывая,

что e x 1 ~ x ,

3 x 1 1 ~ x 3 при

x 0 ,

получим

lim

2(e x 1)

lim

2 x

2 .

3x / 3

x 0 3 3 x 1

x 0

Пример 3. Определить

lim

2xsin x

x 0

1 cos x

x 2

Решение. При x 0

sin x ~

x и 1 cos x

2sin2

~ 2

тогда

lim

2xsin x

lim

2x2

4 .

cos x

x 0

x 0 x2

Пример 4. Найти lim

e2x ex

x 0 x tg x2

Решение. Преобразуем

числитель

e2x ex e2x ex 1 1

(e2x 1) (ex 1) , при x 0 , e2x 1 ~ 2x ,

ex 1 ~ x .

lim

e2x ex

x 0 x tg x2

lim

2x x

lim

1 .

x 0 x x2

x 0 x(1

Пример 5. Вычислить lim tg x 3sin x . x 0 x

Решение. Числитель содержит разность бесконечно малых функций tg x и sin x , эквивалентных x при x 0 . Эти функции от-

личаются от x на бесконечно малую функцию, следовательно, их разность будет бесконечно малой, тождественно не равной нулю. Так как при одновременной замене функций tg x и sin x на эквивалентную

функцию x при x 0 числитель обращается в нуль, то такую замену

делать нельзя. Преобразуем выражение в числителе, используя тригонометрические тождества:

lim tg x sin x

lim

sin x(1 cos x)

x 0

x3 cos x

sin x ~ x, 1 cos x ~

x 0

lim

2 .

x 0 x3 cos x

Пример 6. Вычислить lim

sin 5x

x 0 ln (1 4x)

Решение. По таблице эквивалентностей sin 5x ~ 5x , ln (1 4x) ~ 4x

при x 0

sin 5x

lim

1 4x

x 0 ln

x 0 4x

Пример 7. Вычислить lim

sin 3 x

ln(1 3x)

x 2 e53 x

x 0 arctg

Решение. Так как при x 0

имеем

3 x 0 ,

3x 0 ,

x 0 ,

53 x 0 , то по таблице эквивалентностей sin 3 x ~ 3 x ,

ln (1 3x) ~ 3x ,

arctg x ~ x , e53 x 1~ 53 x

при x 0 , тогда

lim

sin 3 x

ln(1 3x)

lim

3 x 3x

53 x

x 0

arctg

x 0

Пример 8. Вычислить

lim

1 x x2

sin 4x

x 0

x x2

Решение. Так как функции эквивалентны

1 x x2

1 ~

sin 2x ~ 2x при x 0 , то

lim

1 x x2 1

= lim

(x x2 ) 2

lim

1 x

sin 4x

x 0

arctg

Пример 9. Вычислить предел

lim

n sin

arcsin

Решение.

При n

величины

tg3 1

arctg

sin

arcsin

являются

бесконечно

малыми,

т. е. выполняется

1 3

3 1

arcsin

arctg

sin

, тогда

n n

3 1

1 3

n arctg

3n4

lim

2 1 5

n 10n4 n

sin

arcsin n

Пример 10. Вычислить

lim

23x 35x

Решение.

x 0 sin 7x 2x

следующим

образом:

Представим

числитель

23x 35x (23x 1) (35x 1) ,

тогда

23x 1 ~ 3x ln 2 ,

35x 1 ~ 5x ln 3 ,

sin 7x ~ 7x при x 0 , то

lim

23x 35x

lim

x(3ln 2 5ln 3)

5 8

x 0 sin 7x 2x

x 0

7x 2x

Пример 11. Вычислить предел lim

1 2x 3

x 4

x 2

Решение. Убедившись, что имеет место неопределенность

вида

, сделаем замену переменной

x 4 t ,

откуда

x t 4 и

t 0

при x 4

lim

1 2x 3

= lim

1 2(t 4) 3

= lim

9 2t 3

x 4

x 2

t 0

t 4 2

t 0

t 4 2

1 2t 1

1 ~

, t 0

2 9

3 lim

4 .

2 t 0

1 ~

t 0

2 4

Пример 12. Вычислить lim

2x 2

3 26 x

x 1

Решение. При подстановке значения x 1 в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что она представляет собой отношение двух бесконечно малых величин. Введем новую переменную x 1 t , отку-

да x t 1 и t 0 при

x 1.

lim

2x 2

lim

2(t 1) 2

lim

x 1 3 26 x 3

t 0 3 26 t 1 3

t 0

3 27 t 3

2 lim

3 1

1 ~

, t 0

2 lim

54 .

3 27

3 t 0 3 1

3 t 0

3 27

sin x

Пример 13. Вычислить lim

3 2cos x

x 6

Решение. При подстановке x 6 в числитель и знаменатель по-

лучаем

неопределенность

вида

Введем

новую

переменную

t x

, x

и t 0

при

. Выполнив замену перемен-

ной

применив формулу

cost cos

sin t sin

cos x cos t

cost 1 sin t , получим

sin t ~ t, t 0

sin x

sin t

lim

= lim

3 2cos x

3 cost sin t

t 0

, t 0

x 6

cos t ~

= lim

1 .

t 0

2 t

Пример 14. Вычислить

lim

ln (2 cos x) .

x (3sin x 1)2

Решение. Имеем неопределенность вида

. Введем новую пе-

ременную t x , откуда x t

и t 0

при x , тогда

lim

ln (2 cos x) = lim

ln 2 cos( t)

sin( t) sin t

(3sin( t) 1)2

x (3sin x 1)2

t 0

cos( t) cost

= lim ln(2 cost) = lim

ln 1 (1 cost)

1 cost ~ t2

2, t 0

t 0

(3sin t 1)2

t 0

sin2 t ln2 3

sin2 t ~ t2 , t 0

lim

ln(1 t2 2)

lim

t2 2

ln2

2ln2

3 t 0

Пример 15. Вычислить

lim

x 2 arctg (x

Решение. Имеем неопределенность вида

. Введем новую пе-

ременную t x 2

и t 0

при x 2 :

lim

x2 4

= lim

(t 2)2 4

= lim

t2 4t

lim

t(t 4)

4 .

arctg t

x 2 arctg (x

t 0

Пример 16. Вычислить

lim

1 24 x2

2x 3x2 5x 2

x 2

Решение. При x 2 имеем отношение бесконечно малых. Сделаем замену переменной x 2 t , тогда числитель и знаменатель дроби примут вид

1 24 x2 1 2t(4 t) (2t(4 t) 1) ;

2x 3x2 5x 2 2(2 t) 3(2 t)2 5(2 t) 2

2 1 ( t / 2) 2 1 (3t 7)t / 4

2	1 ( t / 2) 1 (3t 7)t / 4 1 1
2	1 ( t / 2) 1 2 1 (3t 7)t / 4 1 .

При x 2 и t 0 , следовательно, имеем			2t(4 t) 1 ~ t(4 t)ln 2 ;
1 ( t / 2) 1 ~ 1/ 2( t / 2) t / 4 ;		1 (3t 7)t / 4 1 ~ (1 / 2)(3t 7)t / 4
(3t 7)t / 8 . Тогда
	1 24 x2
lim
lim
x 2	2x 3x2 5x 2
	68

1 lim

2t(4 t) 1

7)t / 4 1

2 t 0

1 ( t / 2)

1 (3t

1 lim

t(4 t)ln 2

16ln 2 .

( t / 4) (3t 7)t / 8

2 t 0

Расчетное задание 4

Вычислить пределы функций.

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

4.1

lim

ln(1 sin x)

4.2

lim

1 cos10x

x 0

sin 4x

x 0

ex2 1

4.3

lim

3x2 5x

4.4

lim

1 cos 2x

sin 3x

x 0

x 0 cos 7x cos3x

4.5

lim

4.6

lim

2 (x 1/ 2)

x 0 tg( (x 2))

x 0 tg

4.7

lim

1 cos3 x

4.8

lim

arcsin 3x

4x2

2 x 2

x 0

4.9

lim

2x 1

4.10

lim

arctg 2x

x 0 ln(1 2x)

x 0 sin 2 (x 10)

4.11

lim

ln (1 7x)

4.12

lim cos(x 5 / 2) tg x

x 0 sin (x 7)

x 0

arcsin 2x2

4.13

lim

9ln (1 2x)

4.14

lim

1 3x 1

4arctg 3x

x 0

x 0 cos (x 1) / 2

4.15

lim

sin 7x

4.16

lim

4 x 2

3arctg x

x 0 x2 x

x 0

4.17

lim

2sin (x 1)

4.18

lim cos 2x cos x

x 0

ln (1 2x)

x 0

1 cos x

Окончание

задания 4

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

4.19

lim

x 1 1

4.20

lim

sin 5(x )

e3x 1

x 0 sin (x 2)

x 0

4.21

lim

cos x

4.22

lim

arcsin 2x ln 2

x 0

x sin x

x 0

2 3x 1

4.23

lim

e4x 1

4.24

lim

1 cos x

x 0 sin (x / 2 1)

x 0

4.25

lim sin2 x tg2 x

4.26

lim

arcsin 2x

x 0

x 0 ln(e x) 1

Ответы к расчетному заданию 4

Номер задания

Ответ

Номер задания

Ответ

4.1

1/4

4.2

4.3

5 / 3

4.4

1/10

4.5

4 /

4.6

4.7

3 / 8

4.8

4.9

ln 2

4.10

4.11

7 /

4.12

1/ 2

4.13

3 / 2

4.14

3 /

4.15

7 /

4.16

1/ 12

4.17

4.18

–3

4.19

1/ (2 )

4.20

5 / 3

4.21

1/ 4

4.22

2 / 3

4.23

8 /

4.24

1/18

4.25

–1

4.26

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]