Пределы числовых последовательностей и функций одного переменного. Учебное пособие

5. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ ФАКТОРИАЛЫ, СУММЫ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ

ИЛИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Расчетное задание 6

Вычислить пределы числовых последовательностей.

31

Окончание задания 6

Ответы к расчетному заданию 6

ГЛАВА 3

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

Можно привести примеры из самых разнообразных областей науки, техники, естествознания, когда изменение одной переменной величины влечет изменение другой. О таких величинах говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

При исследовании того или иного процесса основной задачей является установление зависимости между величинами, участвующими в этом процессе, и описание характера этой зависимости. Данная задача и представляет собой источник фундаментального понятия математического анализа – понятия функции.

Определение. Пусть каждому числу x из заданного множества D по некоторому правилу или закону поставлено в соответствие одно определенное число y, обозначаемое y f (x) , тогда говорят, что на

множестве D задана функция y f (x) от переменной x D R .

Будем использовать следующие термины: x – независимая переменная или аргумент функции, y – зависимая переменная, или функция, D – область определения, или область задания функции, т. е. множество тех значений, в которых функция принимает конечные

чений функций.

Способы, какими устанавливается это соответствие, и средства, которые можно использовать, могут быть самыми разнообразными. Укажем лишь некоторые из них.

33

В естественных науках и технике зависимость между величинами часто устанавливается экспериментально или путем наблюдений. Эта функциональная зависимость задается лишь таблицей, где просто сопоставлены полученные из опыта данные, т. е. при этом способе выпи-

сываются в определенном порядке значения аргумента x1, x2 , ..., xn и указываются соответствующие значения функции y1, y2 , ..., yn . Таб-

личный способ задания функции можно найти в техническом справочнике, например, таблицы различных функций: логарифмов, тригонометрических и других функций.

Графический способ задания функции широко применяется там, где зависимости одних величин от других исследуются с помощью кривых, записанных самопишущими приборами. Совокупность точек плоскости, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции, называется графиком данной функции. При этом график определяет однозначную функцию, если никакие две точки не лежат на одной прямой, параллельной оси ординат.

Для задания функции могут быть использованы любые средства, в частности, словесное описание того, какое значение f (x) ставится в

соответствие тому или иному значению x D .

Наиболее распространен аналитический способ задания функции, при котором функция задается формулой, устанавливающей, какую совокупность математических операций нужно выполнить в определенной последовательности над числами и буквами, обозначающими постоянные и переменные величины, чтобы найти y. Под совокупностью математических операций или действий, которые могут входить в формулу, будем понимать в первую очередь все изученные в элементарной алгебре и тригонометрии операции: арифметические действия, возведение в степень, логарифмирование

и другие примеры функций, заданных аналитически: y x4 1,

y x3 1 , y cos x ln x . Если функция задана аналитически, то в

качестве ее области определения подразумевается так называемая естественная область определения, т. е. совокупность всех тех значений аргумента x, при которых данная формула имеет смысл и результатом каждой операции, указанной в формуле, является действительное число.

34

определения функции y2 . Значения x из области определения функции y удовлетворяют следующей системе неравенств:

Пример 3. Найти множество значений функции y 2 3sin x . Для всех значений x R выполняется 1 sin x 1, тогда исходная функция

Функция, определенная на D, может быть задана разными формулами на разных частях D. Такие функции называют составными. При-

мером служит функция y sign x (была введена Л. Кронекером и названа «сигнум x», что значит «знак x»), определяемая формулами

1, x 0,

sign x 0, x 0,

1, x 0.

35

С важным классом элементарных функций более подробно можно ознакомиться в [2–5, 9–11].

Ознакомимся с понятием суперпозиции (или композиции) функций.

Определение. Если переменная z является функцией от y, т. е. z f ( y) , а переменная y, в свою очередь, является функцией от x, т. е.

y (x) , то z является сложной функцией от x, т. е. z f ( (x)) , определенной для тех значений x, для которых значения функции (x) включаются вобластьопределенияфункции f ( y) .

Полученная функция от функции, или сложная функция, и есть результат суперпозиции функций (x) и f ( y) , т. е. z является сложной

функцией независимого аргумента x и промежуточного аргумента y.

y (0; ) дает функцию z ln y , z ln (tg x) , аналогично получают-

цию называют строго возрастающей (строго убывающей). Функции всех указанных типов носят общее название монотонных (соответственно в том или ином смысле). Промежутки изменения независимой переменной, на которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ

Пусть D – область определения функции y f (x) , кроме, быть может, точки x0 D . Следует отметить, что в большинстве рассматри-

ваемых примеров D будет представлять собой один из промежутков вида [a; b] , (a; b) , [a; b) , (a; b] , ( ; ) , (a; ) , [a; ) ,

( ; b] , ( ; b) , т. е. или сегмент, или интервал – конечный или бесконечный.

36

Определение (предела функции в точке по Коши). Число A называется пределом функции y f (x) в точке x0 (или при x x0 ) , если

необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали оба односторонних предела и были равны между собой.

Определение (по Коши). Предел функции f (x) при x x0 назы-

вается бесконечным, если для любого сколь угодно большого числа M 0 существует число 0 такое, что для всех значений x, удовле-

lim f (x) M 0 0 x : 0 x x0 f (x) M .

x x0

По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и односторонние бесконечные пределы:

f (x) M .

lim f (x) M 0 0 : x : x f (x) M . x

Определение (по Гейне). Число A называется пределом функции y f (x) в точке x0 , если для любой последовательности {xn} , схо-

дящейся к x0 , последовательность соответствующих значений функции f (xn ) сходится к A.

Краткая запись определения предела по Гейне:

Следует отметить, что определения предела по Гейне и по Коши равносильны, т. е. A – предел функции f (x) в точке x0 по Гейне тогда

и только тогда, когда A является пределом функции f (x) в точке x0 по Коши.

38

lim f (x) A . x x0

Для суммы, произведения и частного двух функций f (x) и g(x) , как и в случае последовательностей, если не существуют конечные

n N . Пользуясь эквивалентностью определений предела последова-

делом.

40