Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пределы числовых последовательностей и функций одного переменного. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Расчетное задание 5

Вычислить пределы функций.

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

5.1

lim

72x 53x

5.2

lim

e3x e 2x

2x arctg 3x

x 0

x 0 2arcsin x sin x

5.3

lim

62x 7 2x

5.4

lim

e5x e3x

x 0 sin 3x 2x

x 0 sin 2x sin x

5.5

lim

32x 53x

5.6

lim

e2x e3x

x 0 arctg x x3

x 0 arctg x x2

5.7

lim

35x 2x

5.8

lim

e4x e 2x

x 0 x sin 9x

x 0 2arctg x sin x

5.9

lim

12x 5 3x

5.10

lim

e7x e 2x

2arcsin x x

sin x 2x

x 0

5.11

lim

35x 27x

5.12

lim

e5x ex

x 0 arcsin 2x x

x 0 arcsin x x3

5.13

lim

4x 27x

5.14

lim

ex e x

x 0 tg 3x x

x 0 tg 2x sin x

5.15

lim

102x 7 x

5.16

lim

e2x ex

x 0 2tg x arctg x

x 0 sin 3x sin 5x

5.17

lim

73x 32x

5.18

lim

e4x e2x

tg x x3

2tg x sin x

x 0

5.19.

lim

32x 7x

5.20

lim

e2x e 5x

2sin x tg x

x 0 arcsin 3x 5x

x 0

5.21

lim

45x 9 2x

5.22

lim

e3x e2x

x 0 sin x tg x3

x 0 sin 3x tg 2x

5.23

lim

52x 23x

5.24

lim

ex e3x

x 0 sin x sin x3

x 0 sin 3x tg 2x

5.25

lim

9x 23x

5.26

lim

ex e 2x

x 0 arctg 2x 7x

x 0 x sin x2

Ответы к расчетному заданию 5


Номер задания	Ответ		Номер задания	Ответ
5.1	ln 53	/ 72	5.2	5
5.3	2ln 42		5.4	2
5.5	ln 9 / 53		5.6	–1
5.7	(1/ 8) ln 35 / 2		5.8	6
5.9	ln (12 53 )		5.10	–9
5.11	ln 35	/ 27	5.12	4
5.13	ln 1	25	5.14	2
5.15	ln 700		5.16	1/ 2
5.17	ln 73 / 9		5.18	2
5.19	ln	7 3	5.20	7
5.21	ln(45 92 )		5.22	1
5.23	ln(25 / 8)		5.24	–2
5.25	ln 5 8 9		5.26	3

Расчетное задание 6

Вычислить пределы функций.


Номер	Условие			Номер			Условие
задания				задания

6.1	lim		x2 1	6.2	lim		x2		x 1 1
			ln x
	x 1				x 1				ln x
6.3	lim	1 cos3x		6.4	lim			1 sin 2x
	x	sin2 7x			x 4			( 4x)2
6.5	lim	1 cos x		6.6			lim		tg 3x
	x 1		tg2 x			x 2 tg x

Окончание

задания 6

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

6.7

lim

sin2 x tg2 x

6.8

lim

x2 x 1 1

(x )4

tg x

x 1

6.9

lim

cos5x cos3x

6.10

lim sin 7x sin 3x

sin2 x

x 2 ex2

e4 2

6.11

lim

sin 7 x

6.12

lim

ln(5 2x)

10 3x 2

x 2 sin 8 x

x 2

6.13

lim

3x 3 1

6.14

lim

x2 2

sin x

x 1

sin x

5x 3

2x2

6.15

lim 3

6.16

lim

x 1

tg x

x 4

sin x

6.17

lim

ln 2x ln

6.18

lim

ln tg x

x 2 sin(5x 2) cos x

x 4 cos 2x

6.19

lim

e ex

6.20

lim

ln (9 2x2 )

sin 2 x

x sin 5x sin 3x

x 2

6.21

lim

3 x 1

6.22

lim

tg x

x 1 4 x 1

x 2 x 2

6.23

lim

1 sin(x 2)

6.24

lim

1 2cos x

x 3

6.25

lim

arctg (x2 2x)

6.26

lim

1 x2

sin 3 x

x 2

x 1 sin x

Ответы к расчетному заданию 6

Номер задания	Ответ	Номер задания	Ответ
6.1	2	6.2	1/ 2
6.3	9 / 98	6.4	1/ 8
6.5	1/ 2	6.6	1/ 3
6.7	–1	6.8	1/ (2 )
		73

		Окончание	ответов

Номер задания	Ответ	Номер задания	Ответ
6.9	8	6.10	1 e4 2
6.11	7 / 8	6.12	8 / 3
6.13	1/ 2	6.14	2
6.15	(9ln 3) /	6.16	(16ln 2)
6.17	2 2	6.18	–1

6.19	e / 2	6.20	4 /
6.21	4 / 3	6.22
6.23	0	6.24	3 3

6.25	2 / (3 )	6.26	2 /

Расчетное задание 7

Вычислить пределы функций.

Номер

Ответ

Номер

Ответ

задания

7.1

lim

cos2 x

7.2

lim

(2x 1)2

x e sin 3 x

x 2

ln sin x

x 1 2 esin

7.3

lim

ln(x 3 2x 3)

7.4

lim

tg x tg 2

x 2 sin( x / 2) sin (x 1)

x 2 sin ln (x 1)

7.5

lim

tg 2x

sin 2x

7.6

lim

ln sin 3x

(6x )2

x 2

sin x 1

x /6

7.7

lim

sin

2x2

3x 5

1 x

7.8

lim

(x 2 )2

ln(x

ln(x 1) ln 2

x 3

x 2 tg (cos x 1)

7.9

lim

ln(4x 1)

7.10

lim

arcsin (x 2) / 2

2 x x2

1 cos x 1

x 1/2

x 2

7.11

lim

2sin x 1

7.12

lim

ln cos 2x

(1 / x)2

x 3 ln(x3

6x 8)

Окончание

задания 7

Номер

Ответ

Номер

Ответ

задания

7.13

lim

tg ln(3x 5)

7.14

lim

ln cos x

x 2 ex 3 ex2 1

x 2

3sin 2x 1

7.15

lim

1 ln

x 1

7.16

lim

cos(x / 2)

1 cos x

x esin x esin 4x

7.17

lim

ln(2x 5)

7.18

lim

esin2 6x esin2 3x

x 3

esin x 1

x 3

log3 cos 6x

7.19

lim

esin 2x etg 2x

7.20

lim

tg (ex 2 ex2 4 )

x 2

ln(2x )

x 2

tg x tg 2

7.21

lim

2x 7

2x 1 5

7.22

lim

ln(2 cos x)

x3 1

x 1

x (3sin x 1)2

)sin 5x

tg(x 1)

7.23

lim

7.24

lim

esin2 x 1

x 1 e3 x3 4x2 6 e

7.25

lim

ln cos 2x

7.26

lim

ln sin x

(2x )2

x ln cos 4x

x /2

Ответы к расчетному заданию 7

Номер задания	Ответ		Номер задания	Ответ
7.1	2ln 2		7.2	1/ (e 2 )
7.3	2 / (3 )		7.4	1/ cos2 2
7.5	0		7.6	1/ 8
7.7	8		7.8	–2
7.9	8		7.10	4 / (27 ln 3)

7.11	( ln 2) / 21		7.12	2 2
7.13	1/ e5		7.14	0
7.15	2 / 3		7.16	1/10
7.17	2 /		7.18	(3ln 3) / 2

		75

		Окончание ответов

Номер задания	Ответ	Номер задания	Ответ
7.19	2	7.20	5cos2 2
7.21	(ln 2) / 9	7.22	1/ (2ln2 3)
7.23	15 2	7.24	3 / (11e)
7.25	1/ 4	7.26	1/ 8

Расчетное задание 8

Вычислить пределы функций.

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

8.1

lim

ex e x 2

8.2

lim

1 x sin x cos(2x)

sin2 x

x 0

8.3

lim

x3 1

8.4

lim

tg x tg a

x 1 sin (x 1)

x a ln x ln a

8.5

lim

1 tg x 1 sin x

8.6

lim

e x e x

x 0

x 0 sin x sin x

8.7

lim

1 xsin x 1

8.8

lim

(ex e x )

ex2 1

ex3 1 e

x 0

8.9

lim

1 2cos x

8.10

lim

1 x2

x /3 sin( 3x)

x 1 sin x

8.11

lim

sin x cos x

8.12

lim

ax ab

x /4

ln tg x

x b

8.13

lim

1 cos 2x tg2 x

8.14

lim

sin 2x 2sin x

x sin 3x

x ln cos5x

x 0

8.15

lim ln(x h) ln(x h) 2ln x

8.16

lim

1 x

h 0

x 0

x 1 log2 x

Окончание

задания 8

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

8.17

lim

esin 2x esin x

8.18

lim

2x 2

tg x

ln x

x 0

8.19

lim sin(x h) sin(x h)

8.20

lim

x 2

sin 3x

h 0

x 0

8.21

lim

ax h

ax h 2ax

8.22

lim

1 cos x

1 cos

h 0

x 0

8.23

5 x 2

8.24

lim

lg x 1

lim

x 9 1

x 3

sin x

x 10

8.25

lim

3x 1 3

8.26

lim

cos x 1

sin2 2x

x 0 ln 1 x 1 xex

x 0

Ответы и указания к расчетному заданию 8

Номер

Ответ

Указания

задания

8.1

Преобразовать числитель

ex e x 2 ex (1

e 2x 2e x ) ex (e x 1)2

8.23

8.33 Замена z x 1

	a		sin( )
8.4		Использовать формулу	tg tg cos cos
	cos2 a

8.51/ 4

8.61

8.71/ 2

8.82 / e

8.9

1 3

Замена z x 3

8.102 / Замена z x 1

8.11

2 2

Воспользоваться эквивалентностью ln y ~ y 1, y 1

		Окончание ответов

Номер	Ответ	Указания
задания	Ответ	Указания
8.12	ab ln a	Замена z x b

8.131

8.142 / 25

8.151 x2

8.16ln 2 Замена z x 1

8.171

8.18ln 4 Замена z x 1

8.192cos x Использовать формулу разности синусов

8.20212

	Преобразовать числитель
8.21	ax ln2 a ax h ax h 2ax ax h (1 a 2h 2a h ) ax h (a h 1)2

8.220

8.231/ (12 ) Замена z x 3

8.24	1/ (5ln10) Замена z x 10

8.253ln 3

8.261/16

4. ПРЕДЕЛ СТЕПЕННО-ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ

Для определения предела степенно-показательного выражения y(x) u(x)v(x) необходимо найти пределы основания и степени. Если

они конечны и соответственно равны lim u(x) A ,	lim v(x) B , то
x x0	x x0

lim u(x)v(x) AB .

x x0

Если имеем неопределенность вида (1 ) , (00 ) , ( 0 ) , то целесообразно в ряде случаев вычисление пределов свести ко второму замеча-

тельному пределу либо использовать соотношение lim u(x)v(x)

x x0

lim		v(x)ln u(x)																									v(x)ln u(x)
ex x0											. При этом														lim		v(x)ln u(x)									находим одним из рас-
смотренных ранее способов.																									x x0
смотренных ранее способов.
Пример 1.												x3				4					1 (x 2)
								lim																		.
								lim							3											.
							x 0								3	9
							x 0					x				9
Решение. Основание и показатель степени при x 0 имеют ко-
																		x3						4			4							1				1
нечные			пределы:										lim															,	lim										,	тогда				получим
													x 0									3		9			9		x 0 x 2 2
													x 0					x						9			9		x 0 x 2 2
	x3		4		1 (x 2)								4 1 2												2
lim																										.
lim		3																								.
x 0		3	9										9												3
x 0	x		9										9												3
Пример 2.								lim					1 x2 2x											1 sin3 x
Пример 2.								lim											2				x				.
							x 0						1 x						2	5			x
							x 0						1 x							5
Решение. При															x 0									имеем неопределенность вида (1 ) . Пре-
образуем данное выражение следующим образом:
				1 x2 2x									1/sin3 x												1 x2 5x x2 5x									x2 2x					1/sin3 x
				1 x2 2x																					1 x2 5x x2 5x									x2 2x
								2			x																			2		x
				1 x				2		5	x																	1 x		2	5	x
				1 x						5																		1 x			5
																	(1 x2 5x )									x2 (2x 5x )					x		2		x		x				2		x		3
						2			x				x				(1 x2 5x )									x2 (2x 5x )					x			(2		5		)	1 x			5		sin		x
				x		2	(2		x			5	x	)
	1			x			(2					5		)																																	.
	1					1 x2 5x																																									.
						1 x2 5x

Найдем предел выражения в квадратных скобках:

	x2 (2x 5x )				(1 x2	5x ) x2	(2x 5x )
u(x) 1
u(x) 1		2		x
	1 x	2	5	x
	1 x		5
				79

степени

v(x)

x2 (2x 5x )

. Так как

lim

x2 (2x 5x )

0 , то

1 x2

x2 5x )sin3 x

x 0

lim u(x) e .

Используем

эквивалентности

при

x 0

sin3 x ~ x3 ,

x 0

1 ~ 5

xln

. Вычислим предел

1 sin3 x

lim

lim u(x)v(x) eln(2/5) 2 .

x 0

Пример 3. Определить lim

arcsin2 x

2x 1

x 0

arcsin

Решение. Найдем предел основания,

учитывая,

что при

x 0

arcsin x ~ x ,

arcsin 4x ~ 4x .

Следовательно,

lim

arcsin2 x

x 0 arcsin2 4x

lim

. Тогда получим

(4x)2

x 0

lim

arcsin2 x

2x 1

x 0

arcsin

Пример 4. Вычислить lim (1 ex )(sin x) (1 x) .

x 1

Решение. Определим предел показателя степени

lim sin x . Для

x 1 t , тогда

x 1

1 x

этого сделаем замену переменной

при x 1

имеем

t 0

sin x sin (1 t) sin t ~ t (1 x) .

Следовательно,

lim sin x lim

(1 x)

, поэтому

lim(1 ex )(sin x) (1 x) (1 e) .

x 1 1 x

x 1

1 x

x 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]