Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пределы числовых последовательностей и функций одного переменного. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Номер

задания

1.1

1.3

1.5

1.7

1.9

1.11

1.13

1.15

1.17

1.19

1.21

1.23

1.25

Ответы к расчетному заданию 1

lim an				N( )					Номер	lim an				N( )
n									задания	n
3			1			1			1.2	2	3									1

2			4			2							2							2

7			1			1			1.4	2	17								1

2			4			2				3			9							3

				2						4					5					2
7						1			1.6
										3				9						3

	1		19				1				5									1
		3		4					1.8	2
	2						2						2							2

1				1	1				1.10	–5		5				1


	2			2			2

	1		1			1			1.12	2	13								5

	2		2			2				3			9						3

-2				7	3				1.14	–3					6		2



1			1			1									3
									1.16	3	3						1
3			9
						3
	2	14				1			1.18	–5	45
	3		9														6
						3
	1			7			1		1.20	2	1									2

	2			4			2						9							3
										3
3			8				1		1.22	2	5									1

5							5						2							2
		25
	1			1			1		1.24	1			1							3

	2			2			2			2								10
											4
	1		7			3					15
									1.26	4									2
	2		8			4

								21

Пример 2. Вычислить предел lim				(n 2)2		(n 2)2	.
					(n	3)2
			n
Решение. Воспользуемся формулами: разность квадратов, квад-
рат суммы и замечанием в) раздела 1.
	(n 2)2	(n 2)2				8n
lim	(n	3)2			lim		0 .

n					n n2 6n 9

Расчетное задание 2

Вычислить пределы числовых последовательностей.

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

2.1

lim

(3 n)2 (3 n)2

2.2

lim

(3 n)4

(2 n)4

n)2 (3 n)2

n (3

n (1 n)4 (1 n)4

2.3

lim

(3 n)4 (2 n)4

2.4

lim

(1 n)4

n)3 (1 n)3

n (1

2.5

lim

(6 n)2 (6 n)2

2.6

lim

(n 1)3

(n 1)2

n)2 (1 n)2

n (n 1)3 (n 1)3

2.7

lim

(1 2n)3 8n3

2.8

lim

(3 4n)2

3)3 (n 3)3

n (1 2n)2 4n2

n (n

2.9

lim

(3 n)3

2.10

lim

(n 1)2

(n 1)2 (n 2)3

n)3

n (n 1)2 (n 1)3

2.11

lim

2(n 1)3 (n 2)3

2.12

lim

(n 1)3

(n 2)3

n2 2n 3

n (n

4)3 (n 5)3

2.13

lim

(n 3)3 (n 4)3

2.14

lim

(n 1)4

3)4 (n 4)4

n (n 1)3 (n 1)3

2.15

lim

8n3 2n

2.16

lim

(n 6)3 (n 1)3

(2n 3)2 (n 4)2

n (n 1)4 (n 1)4

Окончание

задания 2

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

2.17

lim

(2n 3)3 (n 5)3

2.18

lim

(n 10)2

(3n 1)2

(3n 1)3 (2n 3)3

(n 6)3 (n 1)3

2.19

lim

(2n 1)3 (3n 2)3

2.20

lim

(n 7)3

(n 2)3

(2n 3)3 (n 7)3

(3n 2)2

(4n 1)2

2.21

lim

(2n 1)3 (2n 3)3

2.22

lim

(n 1)3

(2n 1)2 (2n 3)2

1)4 n4

n (n

2.23

lim

(n 2)4 (n 2)4

2.24

lim

(n 1)4

n (n 5)2 (n 5)2

n (n 1)3 (n 1)3

2.25

lim

(n 1)3 (n 1)3

2.26

lim

(n 1)3

n (n 1)2 (n 1)2

Ответы к расчетному заданию 2

Номер задания	Ответ		Номер задания	Ответ
2.1			2.2	1 2

2.3	2		2.4	-4
2.5	12 7		2.6

2.7	3 2		2.8	8 9

2.9	1		2.10	1
2.11			2.12	1
2.13	1 2		2.14	4

2.15	1		2.16	3
2.17	1 5		2.18	2 3

2.19	5		2.20	3 5

2.21	–3		2.22	0
2.23			2.24	4
2.25			2.26	3
		23

2. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

Пример 3. Вычислить предел	lim	n2	n3 1		.
Пример 3. Вычислить предел	lim				.
	n 3 n6 n 2 n
Решение. Имеем неопределенность				n2		n3 1	,
			lim
			lim
			n 3 n6		n 2 n

так как наибольший показатель степени n в числителе и знаменателе равен 2, тогда преобразуем формулу общего члена последовательности

(разделим

числитель

знаменатель

на

n2 ) :

1/ n 1 / n4

. В этом случае, учитывая, что последова-

3 1 1 / n5 2 / n6 1 / n

тельности

{1 / n} ,

2 / n

стремятся

к нулю

при

1/ n

n , используя теоремы об арифметических свойствах пределов, получим

	n2	n3 1		1 1 n 1 n4
lim			lim			1.
				1 1 n5 2 n6
n 3 n6		n 2 n	n 3		1 n

Расчетное задание 3

Найти пределы числовых последовательностей.

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

lim

n3 5n2 4 9n8 1

3.2

lim

n 1 n2

3.1

n n n 7 n n2

n 3 3n2 3 4 n5 1

3.3

lim

n 1

3.4

lim

3 n2 1 7n3

4 12

n 3

1 n 1

n 1

Окончание задания 3

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

3.5

lim

3n 1 3 125n3 n

3.6

lim

n5 n 3 27n6 n2

n 4 n

5 n n

9 n2

3.7

lim

n 2 n2 2

3.8

lim

n4 2 n 2

n 4 4n4 1 3 n4 1

n 4 n4 2 n 2

3.9

lim

6n3

n5 1

3.10

lim

5n 2 3 8n3 5

4 n 7 n

n 4n6 3 n

lim

3n 1 81n4 n2 1

3.12

lim

n 3 n2 3

3.11

n 3 n

5 n n2

5 n5 4 4 n4 1

3.13

lim

n5 3

n 3

3.14

lim

3 n 9n2

5 n5 3 n 3

n 3n 4 9n8 1

3.15

lim

4n 1 3 27n3 4

3.16

lim

n3 7n 4 81n8 1

4 n 3 n5 n

n 4 n

n2 5

3.17

lim

3 n3 7 3 n2 4

3.18

lim

n6 4

n 4

4 n5 5 n

n 6 n6 6 n 6

3.19

lim

4n2 4 n3

3.20

lim

n 3 3 8n3 3

3 n6 n3 1 5n

4 n 4 5 n5 5

lim

n4 11n

25n4 81

3.22

lim

n8 6

n 6

3.21

n2 n 1

n n 7 n

n 8 n8 6 n 6

3.23

lim

n7 5

n 5

3.24

lim

3 n2 2 5n2

7 n7 5 n 5

n n n4 n 1

3.25

lim

n 2 3 n3 2

3.26

lim

n 71n 3 64n6 9

7 n 2 5 n5 2

n 3 n

11 n2

Ответы к расчетному заданию 3

Номер задания	Ответ	Номер задания	Ответ
3.1	3	3.2	0
3.3		3.4	7
3.5	5	3.6	–3
3.7	0	3.8
3.9	3	3.10	2
3.11	9	3.12	0
3.13		3.14	3 3
3.15	0	3.16	–3
3.17	0	3.18
3.19	4	3.20	2
3.21	5	3.22
3.23		3.24	5
3.25	1	3.26	–4

3. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

И ИМЕЮЩИХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ( – )

Пример 4. Вычислить предел

lim

n 2 n 3

n 4 .

Решение.

Для раскрытия неопределенности

lim n 2

n 3

n 4 ( ) умножим и разделим исходное выражение

на величину, сопряженную выражению в скобках:

lim

n 2

n 3

n 4

lim

n 2

n 3

n 4

n 3

n 4

n 3

n 4

7 lim

n 2

lim

1 2 / n

7 .

n 3 n 4

3 / n 1 4 / n

Расчетное задание 4

Вычислить пределы числовых последовательностей.

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

4.1

lim n

n2 1

4.2

lim n

n(n 2)

n2 3

4.3

lim n 3 n3

5 n

4.4

lim

(n2

1)(n2

n4 9

4.5

lim

n5 8 n n(n2

4.6

lim

n2 3n 2 n

4.7

lim n 3

4 n3

4.8

lim

n(n 2)

2n 3

4.9

lim

(n 2)(n 1)

(n 1)(n 3)

4.10

lim n2

n(n4 1)

n5 8

4.11

lim n 3 5 8n3

4.12

lim n2 3 5 n3 3 3 n3

4.13

lim 3

(n 2)2

(n 3)2

4.14

lim

(n 1)3

n(n 1)(n 3)

4.15

lim

n2 3n 2

n2 3

4.16

lim

n 2

n 3

4.17

lim

n(n5

(n4 1)(n2 5)

4.18

lim

n(n 5)

4.19

lim

n3 1

4.20

lim

(n3 1)(n2 3)

n(n4 2)

2 n

4.21

lim

2)(n

1)(n

4.22

lim

(n5 1)(n2 1) n

n(n4 1)

4.23

lim

(n4

1)(n2

n6 1

4.24

lim n

n(n 1)

4.25

lim n3 3 n2 (n6 4)

3 n8 1)

4.26

lim

n(n 1)(n 2)

Ответы к расчетному заданию 4


Номер задания	Условие	Номер задания	Условие
4.1		4.2
4.3	0	4.4	3 / 2
4.5	5 / 2	4.6	3 / 2
4.7	0	4.8	2
4.9	1/ 2	4.10
4.11	0	4.12	2 / 3
4.13	0	4.14	7 / 2
4.15	3 / 2	4.16	5 / 2
4.17	5 / 2	4.18	5 / 2
4.19	3 / 2	4.20	3 / 4
4.21	3	4.22
4.23	1/ 2	4.24	1/ 2
4.25	0	4.26

4. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ ВЫРАЖЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ КО ВТОРОМУ ЗАМЕЧАТЕЛЬНОМУ ПРЕДЕЛУ

Пример 5. Вычислить предел

n 1 n

lim

n n 1

Решение. Имеем неопределенность вида (1 ) . Проведем преоб-

разование

общего

члена

последовательности

n 1

n 1 n 1

. Тогда будем иметь

n 1

n 1 nlim n 1

(1 )

e 2 .

lim

n n 1

n 1

Расчетное задание 5

Вычислить пределы числовых последовательностей.

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

5.1

lim

n 1 n

5.2

lim

2n 3 n 1

n 1 n 2

5.3

lim

5.4

lim

n n 3

5.5

5.6

6n 7

n 1

lim

20n 1

5.7

n 2

5.8

n 10 3n 1

lim

n n

n 1

5.9

6n 7

3n 2

5.10

3n2

4n 1

2n 5

lim

6n 4

2n 7

5.11

n 1

5.12

lim

n 7

n n

5.13

lim

n 1 n2

5.14

lim

5n2 3n 1

3n 3

n n

5.15

lim

3n 1

2n 3

5.16

lim

7n 1

n 3n 1

3n 1

5.17

lim

n 3

n 4

5.18

lim

2n n3

n n 5

Окончание задания 5

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

5.19

2n2

21n 7

2n 1

5.20

lim

10n 3 5n

lim

18n 9

10n 1

5.21

lim

3n2 5n

n 1

5.22

n 3

lim

5n 7

n n 1

5.23

lim

6n 5

3n 2

5.24

lim

n 4 n

5n 5

n n 2

5.25

7n2

18n 15

n 2

5.26

lim

2n 1 n 1

lim

11n 15

2n 1

Ответы к расчетному заданию 5


Номер задания	Ответ		Номер задания	Ответ
5.1	e2		5.2	e
5.3	0		5.4	e 4
5.5	e		5.6	e26/3
5.7	e 4		5.8	e 33
5.9	e 11 2		5.10	e4/3
5.11	e 2		5.12	1
5.13	0		5.14	0
5.15	e4 3		5.16	0
5.17	e 2		5.18	e 2
5.19	e 6		5.20	e 1
5.21	1		5.22	0
5.23	e 3		5.24	e2
5.25	e		5.26	e 1
		30

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]