Пределы функции одной переменной. Учебное пособие

Министерство образования и науки России Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет»

Н. Н. Газизова, Н. В. Никонова, Г. А. Никонова

ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Учебное пособие

Казань Издательство КНИТУ

2014

1

УДК 517.53(075) ББК 22.16я7

Газизова Н. Н.

Пределы функции одной переменной : учебное пособие / Н. Н. Газизова, Н. В. Никонова, Г. А. Никонова; М-во образ. и науки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. – Казань : Изд-во КНИТУ, 2014. – 96 с.

ISBN 978-5-7882-1703-1

Содержит теоретические сведения по дисциплине «Введение в математический анализ», задачи с разобранными решениями и 30 вариантов индивидуальных заданий с ответами.

Предназначено для бакалавров и магистров всех форм обучения, изучающих дисциплину «Математика».

Подготовлено на кафедре высшей математики.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Казанского национального исследовательского технологического университета

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. каф. высшей математики ИЭУиП Д. В. Шевченко канд. физ.-мат. наук, доц. каф. общей математики ПФУ Н. П. Заботина

ISBN 978-5-7882-1703-1 © Газизова Н.Н., Никонова Н.В.,

Никонова Г.А., 2014

©Казанский национальный исследовательский технологический университет, 2014

2

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Функции одной переменной

О. Функцией y=f(x), определенной на множестве Х и принимающей значения на множестве Y, называется такое соответствие между этими множествами, при котором для каждого х Х существует единственный элемент у Y. х– независимая переменная (аргумент), у–зависимая переменная (функция).

Если каждому значению х Х (элемент х из множества Х) соответствуют несколько или бесконечно много значений у Y, то считают, что задана многозначная функция.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, графический, табличный.

О. Функция у=f(х) называется возрастающей на [a,b], если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

О. Функция у=f(х) называется убывающей на [a,b], если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

О. Функция, только возрастающая или только убывающая на [a,b], называется монотонной.

Основные элементарные функции

Косновным элементарным функциям относятся:

1)постоянная у=с, с=const;

2)степенная y=xn, n R\{0}, n- задано;

3)показательная у=ах, a>0, a 1;

4)логарифмическая y=logax, a>0, a 1, х>0;

5)тригонометрические y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx;

6)обратные тригонометрические y=arcsinx y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx.

3

О. Сложной функцией y=f(g(x)) (суперпозицией) называется такая функция, для которой функция y=f(z) определена для любого у Y, z Z, z=g(x), х Х, z Z.

О. Элементарной функцией называется функция,

записанная одной формулой и составленная из основных элементарных функций с помощью символов четырех арифметических действий ((+), (-),(*),(/)) и операции суперпозиции функций.

ограничивающим сверху множество Х (мажорантой).

Множество Х называется ограниченным снизу, если

ограниченным. Множество, не являющееся ограниченным, называется

неограниченным.

Пусть числовое множество Х ограничено сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху множество X R,

называется его верхней гранью и обозначается sup X (или supx).

x X

Если числовое множество Х ограничено снизу, то наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу множество X R,

называется его нижней гранью и обозначается inf X (или inf x).

x X

Для = sup X выполняются следующие свойства:

1)х Х х , т.е. является мажорантой;

2)является наименьшей из мажорант. Аналогично для = inf X:

1)х Х х , т.е. является минорантой;

2)является наибольшей из минорант.

4

Теорема: Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет верхнюю грань, а ограниченное снизу непустое числовое множество имеет нижнюю грань.

Принцип Архимеда: Каково бы ни было действительное число а, существует такое натуральное число n, что n>a.

Предел последовательности

Пусть — некоторое положительное число.

О. -окрестностью точки x0 называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x0 - , x0 + ), кроме самой точки x0.

О. Упорядоченное множество чисел, каждое из которых имеет свой номер, называется последовательностью: {xn}= x0, x1,…,xn,…. .

О. Последовательностью называется числовая функция an=f(n), определенная на множестве натуральных чисел.

Значения последовательности называются членами последовательности и записываются в виде a1, a2, a3, …, an, … или (an). Число an – общий член последовательности.

Пример: Последовательность (2n). Придавая значению n – натуральные числа, получим члены последовательности: 2, 4, 8, … . Общий член – 2n.

К последовательностям, как и к функциям, применимы такие понятия как монотонность и ограниченность.

О. Последовательность (an) называется ограниченной, если

m,M R (m<M) n N m an M .

Последовательность (an) называется возрастающей, если

n N an an 1, и убывающей, если n N an an 1 .

О. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

О. Число А называется пределом последовательности {хn},

если для любого числа >0 найдется такой номер N, обеспечивающий справедливость неравенства xn-А < при n N. Или символьная

запись: lim xn A.

n

5

Можно дать еще одно определение предела последовательности:

О. Число А называется пределом последовательности {хn},

если начиная с некоторого номера N все элементы этой последовательности оказываются в -окрестности точки А.

Аналогично можно определить предел с помощью окрестности

точки.

О. Число а называется пределом последовательности (an),

если, какова бы ни была окрестность точки а, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера:

О. Последовательность (an) называется сходящейся, если

существует конечный предел a lim an . В противном случае

n

последовательность называется расходящейся.

Пример: Найдите предел lim 1 . n n

Решение. Покажем, что lim 1 0. По определению предела n n

0 возьмем N 1 , тогда для любого n>N= 1 выполняется

неравенство 1 0 1 . Что и требовалось показать. n

О. Последовательность (an) называется бесконечно малой,

если lim an 0 .

n

О. Последовательность (an) называется бесконечно большой, если любого положительного числа Е>0 существует такой номер N(Е), зависящий от этого числа, что начиная с этого номера все члены этой последовательности больше этого числа, т.е. для любого n N(Е)

выполняется неравенство an E .

При этом пишут lim an .

n

Примеры:

6

1. Последовательность аn=1/n, n=1, 2, … бесконечно малая и

lim an 0 .

n

2. Последовательность аn=n2, n=1, 2, … бесконечно большая и

lim an .

n

Свойства пределов функции

Свойство 1: Изменение конечного числа членов последовательности не влияет на ее сходимость (доказательство следует из определения пределов).

Пусть (аn )– последовательность и из некоторых ее членов ank

взятых в порядке возрастания номера nk , составлена новая последовательность (ank ), то она называется подпоследовательностью последовательности (аn).

Пример: an ( 1)k : 1;1; 1;1; 1;1...

ank 1; 1; 1; 1(подпоследовательность последовательности an )

Теорема: Если последовательность (аn ) сходится, то любая ее подпоследовательность сходится к тому же пределу.

Доказательство. Пусть существует такая последовательность

{аn}, что lim an а . Следовательно для нее выполняется условие

n

(11.2). Пусть (ank ) – подпоследовательность последовательности {аn}.

Тогда произвольного >0 N из условия (11.2), что k N nk N : | ank a | .

Теорема единственности: Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.

Доказательство. Пусть существует такая последовательность

a,b R . Тогда согласно определению предела существуют такие окрестности точек a и b, содержащие все члены рассматриваемой последовательности начиная с некоторого номера, что

V(a) V(b) Ø.

Тогда N1 N n N 1 : an V(a) и

N2 N n N 2: an V(b) .

Возьмем n max(N1,N2). В этом случае an V(a) V(b), что противоречит нашему предположению.

Доказательство. Следует из определения предела.

то по свойству двух милиционеров

ограниченной последовательности в виде: последовательность (an) называется ограниченной, если

M R n N an M .

Свойство 5: Всякая сходящаяся последовательность

n N : аn a 1. Тогда обозначим через М наибольшее из чисел:

М=max{|x1|, |x2|, …, |xN|, |a|+1}.

Рассмотрим 2 случая.

1. Если n N выполняется условие an M .

2. Если n N , тогда

an an a a an a a 1 a M .

Следовательно (an )–ограниченна. Чтд.

Положим N max N1,N2 , тогда >0 N( ) n N( )

an bn a b an a bn b

ограничивающее по свойству 5 сходящую последовательность (an) . Тогда

anbn ab anbb anb anb ab an (bn b) b(an a)

последовательность (аn) имеет предел: конечный, если она ограничена сверху, и бесконечный, если она неограниченна сверху, причем

10