Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пределы. Сборник задач и упражнений. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

504 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

С.Х. РОЯК

ПРЕДЕЛЫ

Сборник задач и упражнений

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2017

УДК 517.5(076.1) Р 816

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик канд. техн. наук, доц. Н.Д. Бекарева

Работа подготовлена на кафедре прикладной математики

Рояк С.Х.

Р 816 Пределы. Сборник задач и упражнений: учебное пособие / С.Х. Рояк. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2017. – 52 с.

ISBN 978-5-7782-3128-3

Сборник содержит задачи по разделам математического анализа «Последовательности» и «Предел функции». Для всех задач приводятся ответы. Использовать сборник задач рекомендуется совместно с учебным пособием «Интегральное и дифференциальное исчисление функции одной переменной» того же автора.

Пособие предназначено для студентов I курса всех специальностей фа- культета прикладной математики и информатики.

	УДК 517.5(076.1)
ISBN 978-5-7782-3128-3	© Рояк С.Х., 2017
	© Новосибирский государственный
	технический университет, 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ..................................................	4
1.1. Основные определения...................................................	4
1.2. Вычисление предела последовательности ...................	8
1.3. Подпоследовательности. Частичные пределы
последовательности.....................................................	11
1.4. Фундаментальные последовательности......................	12
1.5. Предел монотонной последовательности...................	13
2. ФУНКЦИИ ............................................................................	15
2.1. Предел функции............................................................	15
2.2. Сравнение функций. Символы Ландау.......................	20
2.3. Применение формулы Тейлора
к вычислению пределов .............................................	26
2.4. Правило Лопиталя ........................................................	29
Ответы...................................................................................	30
3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ............	36
Часть 1...................................................................................	36
Ответы.................................................................................	41
Часть 2...................................................................................	42
Ответы.................................................................................	46
4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ......................	47
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .....................................	52

1.ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ1

1.1.Основные определения

1.Доказать, что последовательность {xn} монотонна или монотонна начиная с некоторого номера n0 , если xn равно:

;

2) (n2 -1)arctgn ;

1- n

;

4) (2n - 5)(2n -11) ;

3n − 2

5) n5 - 27n2 ; 6) n +

; 7)

; 8)

;

n2 + 9

3n2 -14n -17

−

;

10)

n +1

;

11) lg(n2 + 9n)- 2lgn ;

n + 2

n + 1

n2 + 7

12)

log

æ1+

ö + log

æ5 +

1 ö

;

13) log

n +1

- log

n + 5 ;

1/3

1/5

n ø

16) 4n − 2n ;

17) 3n - 2n ;

14)

n ;

15)

n! ;

18)

2. Доказать,

что последовательность {xn}

ограничена снизу. Найти

min xn , если xn

равно:

1) (2n - 5)(2n -11) ;

;

3) 1.4n

; 4) n +

3. Доказать,

что последовательность {xn} ограничена сверху. Найти

max xn , если xn

равно:

;

3) n2 ;

4) 2−n - 3×4−n .

n2 + 9

3n2 -14n -17

1 В этом сборнике буквы n, m, k используются только для обозначения натуральных чисел.

4. Доказать ограниченность последовательности {xn} , если xn равно:

2n2 -1

; 2)

1- n

; 3)

n + (-1)n

; 4) n2 + 4n + 8

;

2 + n

3n -1

(

)

5n6

+ 6

n4 + n3

; 6) n2 +1 - n ;

- n2 -1 ;

(n4 +1)

(n2 - 2)

n2 +1

2n +1

;

9) lg(3n + 5) - lg(n +1);

10)

n + ln n .

3n - 2

n +1

5. Доказать неограниченность последовательности {xn}, если xn равно:

(−1)n n ;

n2 - n ;

1- n

;

4) (1− n)sin(πn/2) ;

n - n4

; 7)

;

; 6)

+ n3 +1

n4 - n3 +1

(n + 2)3

n2 +1

;

9) n + (−1)

n ;

10)

(−1)n

5 - 4

6. Доказать по определению, что {xn} – бесконечно большая после-

довательность, если xn равно:
1)	n2		; 2)	1	;	3)	2	.
1)			; 2)		;	3)		.
	n +	8		n 2 -1		1	- n n

7. Доказать, что последовательность {xn} не ограничена и не явля- ется бесконечно большой, если xn равно:

	æ pn ö			2) n(−1)	n	n
1)	n2 cosç	÷	;		; 3)			.
1)	n2 cosç	÷	;		; 3)		pn	.
	è	2 ø			1	+ nsin	pn
					1	+ nsin	2
					5

8. Указать какой-либо номер n0 , начиная с которого члены после- довательности {xn} удовлетворяют заданному неравенству:

x =

(-1)n - 3

£ 0.1;

2) x

= n + 3 ,

-1

£ 0.01 ;

n +1

x = 1- 2n+1

+ 2

£ 0.001;

4) x

= n

-1

£ 0.1.

1.5,

1+ 2n

9. Доказать по определению, что:

lim

;

lim

n2 + 2

= 1 ;

lim

3n + 4

= 0 ;

3n +

n→∞

n→∞ n2 + 5

n→∞

lim

= 0,

где

p ³ 0 ; 5)

lim

= 0,

£ 1

;

n→∞ n p

n→∞ n

lim

sin n

= 0 ;

lim

= 1;

lim

= 0 .

n→∞

n→∞ n2 + n

n→∞

4 5n -

10. Доказать по определению, что:

lim

(-1)n ¹ -1;

lim cos pn

;

n→∞

lim 2(−1)n n ¹ 0 ;

lim 2(−1)n n ¹ ¥ .

n→∞

11. Доказать по определению, что последовательность {xn} расхо- дится:

1)	xn = (-1)n ; 2) xn = n ; 3) xn = (-1)n n ; 4) xn = n(−1)n ;
5)	x = 2(−1)n n ;	6) x	n	= sin	pn	;	7) x	n	= n cos	pn	.

	n			2					3

12. Определить, какие из последовательностей задания 11 являются: а) ограниченными, б) неограниченными, в) бесконечно большими.

13. Доказать по определению:

lim n = +∞ ;

2) lim

(-1)n n = ¥ ;

n→∞

lim

(5− 0.5n) = −∞ ;

lim 3

= +¥ ;

n -100

n→∞

ì¥,

> 1,

ì+¥,

a > 1,

lim an = í

lim loga n =

< a < 1;

n→∞

î 0,

< 1;

n→∞

î-¥, 0

lim nk = +¥ ;

8) lim n1/k = +¥ .

n→∞

14. Используя свойства бесконечно больших последовательностей, доказать:

lim

(an + b) = íì+¥,

a > 0,

lim

(loga n)k

= +¥, a > 1;

n→∞

î-¥, a < 0;

n→∞

lim

(-n)n = ¥ ;

lim (4

- n) = -¥ ;

n→∞

lim

n4 +100n2

= +¥ ; 6)

lim

(0.5 − (−1)n 3

) = ∞ ;

n→∞ n2 -100

n→∞

lim

= +¥ ;

-1 -

lim ç

÷ = +¥ ;

n→∞ n +1

n→∞ è

lim

(

lgn + 2cos

(

))

= +¥ .

n→∞

ì1

ì 1

(-1)

n ü

ì 1

15. Даны последовательности

ý,

ý .

în

în2 þ

în +10

Выбрать из этих бесконечно малых последовательностей такие, что:

1) lim	xn	= ¥ ;	2) lim	xn	= 0 ;	3) lim	xn	= 1 ;

n→∞ yn			n→∞ yn			n→∞ yn

4)последовательность ìí xn üý расходится, но ограничена.

îyn þ

1.2. Вычисление предела последовательности

Вычислить

lim

xn , если xn

равно (16–23).

n→∞

(n +5)3− n(n +7)2

16.

;

n3+27

; 3)

;

n2+1

−

3n2+1

;

6n +1

3n + 2

n4−15

2n +1

(2n +1)(4n + 3)(5n2+ 7)

cos(n!)

;

narctg n .

n + 7

3 − n2

n +1

+ n

17.

9 +

;

4) 3

n + 0.25

;

n +

8n +1

n2 + 2n

n2− 1

− n − 1 ; 6)

n2+ n

−

n2− n

;

n2 +1

7) 3 n3+2n2 − n ;

8) 3 n3+5n + 3 8 − n3 ; 9)

3 n3 + n + n

+ n

;

− 2

18.

;

2) 3n

;

3) 2n

;

0.5

1+ n 0.01

n n2 + n

10n2 +1

; 8) n

; 9) 2n+3

;

n 7 +

; 7) n

3n + 2n

9n n3 + 7n − 8

n2 + 5n

−1

10) n 2n5 + 5n ; 11)

−

;

12)

;

13)

n 3 −1

2 −1

3+ 0.5n

2 − n

2−n n

19.

;

3) n +1

+ n + 2

;

0.3n+1 + 5

5 + 3n+1

2n+2 + 3n+3

; 5)

+ 3n

; 6)

n10

−1

; 7) 9(8−3n)/(6n+7) ;

n +

n+1

1+1.1 n

20.

(−2)n

3n n +1

;

(n + 2)!

(0.3)n n!

n!+1

21.

nlgn

;

5n + lgn

;

lg(n + 3)

;

log3 (n3 + 27)

;

n2 -1

n - 3.5

n -1.3

n + 2

5) ln (2n +1) - ln(n + 7) ;

6) ln(5n2 + 3)- 2ln(n + 4) .

22.

æ n -1 ö5

æ 2n + 3ön

æ n +10

ön

;

è n2

2n -1

ön

1 ö2n

ön

÷ ; 5)

÷ ; 6)

; 7)

÷ ;

+ 3

+ 5 ø

è n

2n +1ö2n

æ 2n +1ö4n

1 ön!

2n + 3

ön

8) ç

;

9) ç

;

10)

;

11) ç

;

ön

ön2

n2 + n

ön

12)

;

13’)

;

14) ç

;

n(n + 2)

+ 2n + 2

n(n + 2) ø

è n

n−1

n −1

−

n2 ön+1

−1

15)

;

16)

n−1

;

17)

è n + 2 ø

è n

23.

+L+

;

n ×

(n +1)

(3n - 4)(3n + 2)

1×2 2×3

k=1

;

(2k -1)(2k +1)(2k + 3)

k =1

+L+

÷ ;

n è

1 + 3

3 + 5

2n -1 +

2n +1 ø

1 ö

ç1

×××ç1

;

öæ

ç1

÷ç1-

×××ç1

÷ .

(n +1) / 2

øè

24. Найти предел

lim

xn , используя теорему о трех последователь-

ностях:

n→∞

xn =

+ ... +

;

n2 +1

+ 2

+ n +1

= n

;

+ ... +

;

2n + 7n

4n2 - 3

4n2 - 4

4n2 - n

= k

, если

= 0 и

"n y

³ -1;

1+ y

lim y

2n -1

n→∞

5)* x

2 4

Вычислить

lim

xn , если xn

равно (25–26).

n→∞

+ x

+ nx

;

25. 1) sinç p

÷ ;

2) cosç p

3) cos

+ x

;

4) cosç

2n +

3 ÷

;

2 æ

(x + n)

+ 2n

+ xn

sin

5) sinç p n

÷ ;

ç p

÷ .

													G55H
													n единиц
26.* 1)					1+11+111+1111+ 111..1													;
26.* 1)																		;
											10n
2)	tg1tg2 + tg2tg3+ tg3tg4 + tg(n -1)tgn																							;
2)																								;
											tgn - n tg1
	12				22						(n -1)2		1						3			5
3)			+						+L+			n3	; 4)				+					+
3)	n3		+				n3		+L+			n3	; 4)			2	+			22		+	23
5)				4				8		L2n		; 6)	cos	x	cos				x		Lcos
		2				2			2		2			x					x
		2				2			2		2
													2				22

+L+ 2n -1 ; 2n

x . 2n

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]