Пределы. Сборник задач и упражнений. Учебное пособие

27. Для

последовательности {xn}

найти все

частичные

пределы,

lim xn ,

xn , если xn

равно:

lim

n→∞

n→∞

1)

(-1)n

;

2)

n2

;

3) (-1)n

;

4) 3(−1)n n ;

5) sin pn

;

n +1

n +

5

(-1)n−1 n

4

6)

n cos

pn

;

7)

1

-

2

+

3

-L+

;

8) cos

pn

;

2

n

n

n

n

3

9) (-1)n 2n +1

;

10) çæ

3

cos

2pn

÷ön

;

11) çæcos pn

÷ön .

n

è 2

3

ø

è

2

ø

28. Для последовательности {xn} найти

lim x

,

x

inf {x } , sup{x

},

n

lim

n

если xn равно:

n→∞

n→∞

n

n

(-1)n

1)

(-1)n

+

1+ (-1)n

; 2)

(-1)n n ; 3)

1

; 4)

;

n

2

n

-10.2

7.2 - n

5) n(−1)n ;

6) n 5(−1)n + 2 ; 7) n 5(−1)n n+ 2 ;

8) sin

pn

;

9) cos

2pn

;

3

3

10) (-1)

n 3n -1

11) (-1)

n−1 æ

3

ö

(-1)

n−1 æ

3

ö

;

ç2

+

÷ ;

12)

ç2

-

÷

;

n + 2

n

n

è

ø

è

ø

13) n((-1)n -1)

;

14)

((-1)n -1)n2 + n +1

;

15) (−n)sin(πn/2) ;

n

pn

n2 sin pn +

1

æ

3cos

ö

pn

ç

2

-1÷n +1

16) 1+ n sin

;

17)

2

;

18)

è

ø

;

2

n +1

n

19) 1+

n

cos pn

;

20)

n -1cos 2pn ;

21)

3n + 4

sin pn .

n

+

1

2

n +1

3

n +1

4

11

29. Найти

lim xn

,

lim xn , если

xn равно:

n→∞

n→∞

1) 2n ((-1)n +1); 2)

n +1

n

7 + 3n(−1)

n

; 3)

;

n +1+ (-1)n n

æ

(-1)n

ö

n2

2pn

n

2pn

ç

÷

cos

; 5)

;

6)

cos

;

4) nlnç1+

2n

÷

1+ n

3

3

è

ø

7) (-1)

n

æ

1

ön

pn

; 8)

n

sin2

pn

.

ç1

+

÷

+ sin

4

n

n +1

4

è

ø

1)

x

n

=

cos1

+

cos2!

+L+

cosn!

; 2)

x =

1

;

3)

x =

n +1

;

3

32

3n

n

n

n

3n - 2

4)

x

= 0. 77...7

;

5)

x = a + aq +... + aqn−1, где

q

< 1 ;

n

{

n

n штук

6)

xn

= sin a +

sin (2a)

+

sin (3a)

+L+

sin (na)

;

n ×(n +1)

1× 2

2 ×3

3× 4

7)* xn = 1+

1

+

1

+L+

1

.

22

32

n2

n

1

3) 0.2(−1)n n ; 4)

ncos(pn) -1

1) (−1)n ; 2) å

;

.

k=1

k

2n

n

32. Используя критерий Коши, доказать, что lim å

1

= +¥ .

n→∞ k =1 k

12

1)

lim

n2

;

2)

lim

1k + 2k +L+ nk

;

3)

lim d n

, d >1

;

nk+1

n→∞ 2n

n→∞

n→∞ n

2

3

n

æ

k

k

+L

+ n

k

n

ö

4)

lim 1+ 2

+ 3 + ...n

; 5)

lim ç

1 + 2

-

÷ ;

n

k

n→∞

n

ç

n

k +

÷

n→∞ è

1ø

1k

+ 3k +L+ (2n +1)k

1 æ

1

1 ö

6)

lim

; 7) lim

ç1+

+L+

÷ .

nk +1

n→∞

n→∞

n è

2

n ø

34. Используя теорему Штольца, доказать, что если последователь-

ность {an}

сходится

и

имеет

предел

a ,

то

последовательность

ìa + a

2

+La

ü

í

1

n ý средних арифметических значений элементов после-

î

n

þ

1)

xn =

10 11L

n + 9

;

2n -1

1

3

2)

x

= p

+

p1

+L+

pn

, где p Î{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9};

n

0

10

10n

i

3) x =

,

x

= 2 +

, …, x

= 2 + +L

;

2

2

2

n

2

1

1442443

n корней

4)

x =

æ1-

1 öæ1- 1

öLæ1-

1

ö ;

n

ç

2

֍

4

÷

ç

÷

è

øè

ø

è

2n ø

5)

x =

æ1+

1 öæ1+ 1

öLæ1+

1

ö .

n

ç

2

֍

4

÷

ç

÷

è

øè

ø

è

2n ø

13

36.

1)

x

=

n3

;

2)

x

=

2n

;

3)

x

=

n!

;

n!

(2n

+1)!!

n

10n

n

n

4)

x

= 8 ,

x

2

=

8 11 ,…,

x

n

= 8 11L

3n + 5

.

1

1 7

1 7

6n - 5

37.

1)

x

=

1

æ x

+

1

ö

,

x

> 0 ;

2)

x

= 2 x

;

n

+1

2

n

x

÷

n+1

n

ç

1

n

è

n

ø

3)

x

= 1

æ

2x

+

125

ö

,

x

> 5 ;

4)

x

= 2 -

1

, x = 2 ;

n+1

ç

n

÷

2

x

3

ç

÷

1

n+1

1

è

xn

ø

n

2)

xn+1 =

12 + xn

, а) x1 = 13 , б) x1 = 3 ;

3)

xn+1 =

, а) x1 = 10 , б) x1 = -2 , в) x1 = 4 ;

6 + xn

4)

x

= 3

,

x = 1.

6 + x

n+1

n

1

39.

1)

x

= x2

+ 3x

n

+1, а)

x = - 5 , б) x = - 7

, в) x

> -1;

n+1

n

1

4

1

4

1

2)

x

n+1

= 4 x

n

- x2

, а)

x =

1

, б)

x =

1 , в)

x <

1

, г) x >

1 .

3

n

1

6

1

2

1

3

1

3

40.

1)

x

= 4 -

3

,

x

= 6

;

n+1

xn

1

7

2)

x

=1-

1

, а) x > 1

, б) x < 0 , в) 0 < x <

1 .

4x

n+1

1

2

1

1

4

n

41.

1)

x

= 1+

6

,

x

= -3 ;

2)

x

=

1+ xn

, x = -

7

;

n+1

xn

1

n+1

2xn

1

13

3)

x

=

1

-

3

, x =

8

.

n+1

x

2

1

17

n

14

№

lim

f

lim

f

lim f

f (x0 )

lim

f

lim

f

lim f

x→−∞

x→x0 −0

x→x0

x→x0 +0

x→+∞

x→∞

1

–2

+∞

0

3

2

+∞

1