Пределы. Сборник задач и упражнений. Учебное пособие

функций f (x)

и g(x) при x → 0 :

a) f : g ,

в) f = O* (g ) ,

д) f = o(g ) ,

ж) f = O (g) ,

б) g : f , г) g = O* ( f ) ,

е) g= o( f ) ,

з) g= O ( f ) ,

если:

1) f (x) = x2 , g(x) = x3 ;

3) f (x) = xsin(3x) , g(x) = 3x2 ;

a) f : g , в) f = O* (g ) ,

д) f = o(g ) ,

ж) f = O (g) ,

б) g : f , г) g = O* ( f ) ,

е) g= o( f ) ,

з) g= O ( f ) ,

если:

1) f (x) = x2 , g(x) = x3 ;

3) f (x) = xsin(3x) , g(x) = 3x2 ;

a) xn : yn ,

в) xn = O* ( yn ) , д) xn = o( yn ) , ж) xn = O ( yn ) ,

б) y

n

: x , г) y

n

= O* (x

) , е) y

n

= o(x

n

)

, з) y

n

= O (x

) ,

если:

n

n

n

y = 5+ 3n2 ;

1)

x

n

= 1 , y

n

=

1

;

4) x =

3n + 2

,

n

n2

n

n2 + 7

n

n3 + 8

πn

2)

xn

=

5

,

yn

=

1

;

5) xn

=

cos

4

,

yn

=

1

;

n2

n2

n

n2

= (−1)n ,

5

cos

πn

= 1 .

3)

x

y

n

=

;

6) x

n

=

4

,

y

n

n

n

n

n

n

21

65.

1)

o (o ( f )) = o( f ) ; 3) o(O ( f )) = o( f ) ; 5) C (o( f )) = o( f ) ;

2) O (O ( f )) = O ( f ) ; 4) O (o( f )) = o( f ) ; 6) C (O ( f )) = O ( f ) .

66.

1)

o( f ) ± o( f ) = o( f ) ;

4) o( f ) × o(g ) = o( f ×g) ;

2)

f : g

Þ

f = O* (g ) Þ f = O(g) ;

3)

f : g

Þ o( f ) = o(g) ; 4) f = o(g) Þ f = O(g) .

68. Если f : f

и g : g , то f × g : f

× g и

f

:

f1

при условии, что

1

1

1

1

g

g1

функции не обращаются в нуль в некоторой окрестности S .

69. Пусть n > 0 и k > 0 . Доказать, что;

1) при x → 0

2) при x → ∞

а) o(xn+k )± o(xn )= o(xn ),

а) o(xn+k )± o(xn )= o(xn+k ),

б) O (xn+k )± O (xn )= O (xn );

б) O (xn+k )± O (xn )= O (xn+k ).

22

4) a(x) = o(-5 o(x3)+ o(7x3)) ; 5) a(x) = x2o( o(x3));

6) a(x) = o(xo(x2 )+ o(x4 )) ;

7) a(x) = o(sin3 x + o(1- cos x)) .

æ

1

ö

71. a(x) = oç

÷

при

x → ∞ , если:

è xk

ø

æ 1 öö3

æ 1

ö

æ 1

ö

æ

æ 1

1

ö

1) a(x) = oç

÷ oç

÷

- çoç

÷÷ ; 2)

a(x) = oç

-

x

÷

;

è x2 ø

è x

ø

è

è x øø

è x2

ø

æ

1

æ 1 öö

æ

1

æ 1 öö

3) a(x) = o ç

- oç

÷÷

; 4)

a(x) = o ç

- oç

÷÷

;

2

2

5

4

è x

è x

øø

è x

è x

øø

æ

æ

1

ö

æ 1

ö

æ 6

öö

5) a(x) = oçln

ç1

+

x

÷

- sin ç

÷

+ oç

÷÷ .

è

è

ø

è x

ø

è x2

øø

73. Для бесконечно малой функции

f (x) найти функцию вида Cxn

такую, что f (x) : Cxn при x → 0 :

1)

f (x) = 5x - 6x5 + 7x8 ;

2)

f (x) = 3sin2 x2 - 5x2 ;

3)

f (x) = 1- x4 - cos x2 ;

4)

f (x) =

- 3

;

1- 2x

1- 3x

f (x) =

6) f (x) =

+ x2 - 2 ;

5)

−

;

4 - x2

4 + x

4 − x

7)

f (x) = tg x − sin x ;

8)

f (x) = 2sin x − tg2x ;

æ

x ö7

f (x) =

3

7

9)

f (x) = ç1-

÷ -1;

10)

27 + x

- 3 ;

è

5 ø

11)

f (x) = 3(sh x - x) ;

12)

f (x) = ch(2x) -1.

такую, что f (x) :

C

при

x → +∞ :

xn

4x3

1)

f (x) =

x +1

;

2)

f (x)

=

;

3) f (x) =

1

sin3 1 ;

x4 +1

1+ 5x + x5

x

x

4)

f (x) =

−

;

5) f (x) =

− 2

+

;

1 + x

x

x + 2

x + 1

x

6)

f (x) = 5x4 + 2x5 ;

7)

f (x) =

x2/3 + x5/7

;

x6 + x9

x7/8 + x8/9

f (x ) = 3

− 3

;

9) f (x ) = 7

− 5

.

8)

x3 + 5

x3 − x

x7 + x2

x5 − 5x2

75. Для

бесконечно

малой функции

f (x)

найти функцию

вида

C (x −1)n

такую, что

f (x) : C (x −1)n

при x→1 :

f (x) = x3 - 3x + 2 ;

2) f (x) = 3

1)

1-

;

x

3)

f (x) = ln x ;

4) f (x) = ex - e ;

5) f (x) = xx -1.

24

sin x − x +

x3

lim ax + a−x - 2

79.

1)

lim

6

;

2)

, a > 0 ;

x

→0

x5

x→0

x2

4

3

3 1+

- 4 1+

;

x4/3 arctg (x3 ) (cos 3 x−1)

3)

lim

x

x

4)

lim

;

x→∞

1- 5 1-

5

x→0 tg(5x2 ) ln (1+ 2x3 + 4x5 )

x

x310

cos x+ sin3x

- 3

5)

lim

x

;

6)

lim

cos x

cos x

;

sin2 x

x→0

1-

1+ x3

x→0

æ 3

3

ö

7)

lim

x

3

+

3x

2

+

4x -

x

3

- 3x

2

+

ç

4 ÷ ;

x→∞ è

ø

−2x2 + 4 x4

−2x2 −4 x4

8)

lim

cos2x - e

3

;

9)

lim

cos2x - e

3

;

tg x4

x→0

tg x4

x→0

x3

x2 +

+ ln(1+ x)

- sin x

2sin

x3

10)

lim

;

11)

lim

cos x

.

x5

x→0+

x + x

x

x→0

80.

1)

lim

cos5x - cos7x

;

2)

lim

sin3x + e7x -1

;

tg2 x

arctg x

x

→0

x→0

6x