Пределы. Сборник задач и упражнений. Учебное пособие
.pdf
Доказать утверждения (27–38).
27. Если {xn} и { yn} ограниченные последовательности, то ограни- ченными будут и последовательности { xn yn} , {axn+byn}, a,bΡ .
28. |
Если последовательность {xn} ограничена, а последовательность |
||||||||||
{ yn} |
удовлетворяет условию: |
|
$C > 0 "n |
|
yn |
|
³ C , то последователь- |
||||
|
|
|
|||||||||
ность {xn / yn } ограничена. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
29. |
Если lim x |
= a , то: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n→∞ n |
|
|
2) {x |
} |
|
|
|
|
|
|
|
1) lim x |
= a ; |
ограничена. |
||||||||
|
n→∞ n+k |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
30. |
Если lim x |
= ¥ , то, начиная с некоторого номера n , определе- |
|||||||||
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на последовательность {1/ xn} , причем lim (1 xn ) = 0 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
||||
31. |
Если n x |
³ y |
n |
и lim |
y |
n |
= +¥ , то lim x = +¥ . |
||||
|
n |
|
n→∞ |
|
n→∞ n |
||||||
32.У каждой ограниченной последовательности верхний и нижний пределы конечны.
33.Любая подпоследовательность бесконечно большой последова- тельности является бесконечно большой.
34.Из любой неограниченной последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность.
35.Всякая монотонная последовательность имеет только один ча- стичный предел, причем конечный, если последовательность ограниче- на и бесконечный в противном случае.
36.У фундаментальной последовательности любая подпоследова- тельность фундаментальна.
37.Всякая фундаментальная последовательность ограничена.
38.Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна.
51
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1972.
2.Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерыв- ность. Дифференцируемость: учеб. пособие / под ред. Л. Д. Кудряв- цева. – М.: Наука, 1984.
3.Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 1. Диффе- ренциальное и интегральное исчисление функций одной перемен- ной: учеб. пособие для ун-тов, пед. вузов / под ред. В. А. Садов- ничего. – М.: Высшая школа, 2000.
4.Математический анализ в вопросах и задачах: учеб. пособие / В. Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, Г. Н. Медведев, А. А. Шишкин; под ред. В.Ф. Бутузова. – 4-е изд. – М.: Физматлит, 2001.
Рояк Светлана Хаимовна
ПРЕДЕЛЫ Сборник задач и упражнений
Учебное пособие
Редактор И.П. Кескевич
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор И.Е. Семенова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская Компьютерная верстка С.Х. Рояк
Подписано в печать 20.01.2017. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 250 экз.
Уч.-изд. л. 3,02. Печ. л. 3,25. Изд. № 393/16.
Заказ № 235. Цена договорная.
Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20