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Башкирский Государственный Аграрный Университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Пределы. Сборник задач и упражнений. Учебное пособие

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☆

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										lim xn									x					sup{xn}
28.				inf {xn}						lim xn						lim			x		n
28.				inf {xn}						n→∞					n→∞						n
1)					−1					0					1									1.5
2)					−∞					−∞						+∞								+∞
3)					−5					0					0									1.25
4)					−5					0					0									5/6
5)				0						0						+∞								+∞
6)				1						1					1
6)				1						1					1											7
7)				1						1					5									5
8)				−			/ 2			−		/ 2						/ 2								/ 2
8)				−		3	/ 2			−	3	/ 2					3	/ 2							3	/ 2
9)					–1/2					–1/2					1									1
10)					−3					−3					3									3
11)					−3.5					−2					2									5
12)					−2					−2					2									2
13)					−∞					−∞					0									0
14)					−∞					−∞					1									1.5
15)					−∞					−∞					1									1
16)					−∞					−∞						+∞								+∞
17)					−∞					−∞						+∞								+∞
18)					−4					−4					2									2.25
19)				0						0					2									2
20)					−0.5					−0.5					1									1
21)				−19 / 6						−3					3									3.5

29.					1				2	3			4		5					6		7						8
	lim xn				0				0.5	1			−0.5	−∞						0			−e − 1 /					0
	lim xn				0				0.5	1			−0.5	−∞						0			−e − 1 /				2	0
n→∞
			xn
	lim		xn		+∞				+∞	3			0.5	+∞						1				e + 1				1
n→∞
				1										1						2k						1
33.		1) 0		. 2)					. 3) +∞ . 4) 1 . 5)					2	. 6)								. 7) 2 . 8)			3 .
33.		1) 0		. 2)				k +1	. 3) +∞ . 4) 1 . 5)					2	. 6)					k +1			. 7) 2 . 8)			3 .
36.		1) 0 . 2) 0 . 3) 0 . 4) 0 .
													31

37. 1) 1 . 2) 0 . 3) 5 . 4) 1 . 5) 1 .
38. 1) k −1			. 2) 4 . 3) 3 . 4) 2 .
38. 1) k −1		a	. 2) 4 . 3) 3 . 4) 2 .
39. 1) а) – в) −1 , 2) а) – г)													1 .
40. 1) 1 . 2) а) – в) 1 .													3
40. 1) 1 . 2) а) – в) 1 .
							2
41. 1) 3 . 2) −					1 . 3) −2 .
					2																π .
45. 1) +∞ . 2) −∞ . 3) 0 . 4) +∞ . 5) −∞ . 6) +∞ . 7) 1 . 8) 0 . 9)																					π .
10) − π . 11) 0 . 12) 1 .																					2
10) − π . 11) 0 . 12) 1 .
	2
46. 1) а) 1 , б) 0 . 2) а) 0 , б) 0 . 3) а) +∞ , б) 0 .
47. 1) а)	3 , б)					1 . 2) а) 1 , б) −1 . 3) а)										π , б)	− π	. 4) а) 0 , б)			1 .
	2					4										2	2				3
48. 1) 9 . 2) 3 . 3)							1 .
	4						2													÷ö30 .
49. 1) 0 . 2) ∞ . 3)							1 . 4) 0 . 5) 1 . 6) −									1 . 7) 0 . 8)		çæ	3
49. 1) 0 . 2) ∞ . 3)							1 . 4) 0 . 5) 1 . 6) −									1 . 7) 0 . 8)		çæ
						10	2						4			2		è 2		ø
				3		10							1 .
50. 1) 1 . 2) çæ				3		÷ö	. 3) 1 . 4)
50. 1) 1 . 2) çæ						÷ö	. 3) 1 . 4)
	è 2					ø						1	4
51. 1) 7 . 2) 5 . 3)									. 4)					. 5) 0 . 6) 1 .
								5

												2
	a + b											2		5 . б) −	5 .
52. 1) а)	a + b				. б)		+∞ . 2) а)							5 . б) −	5 .
	2												2		2
53. 1) 4	. 2) 5 . 3)						1			. 4)		5 .
53. 1) 4	. 2) 5 . 3)						144			. 4)		5 .
3							144					3
54. 1) 5 . 2) 2 . 3)							1 . 4)				2	. 5) −2 . 6) 3 . 7) 7					. 8) 1 . 9) 1 . 10) e−1 .
							3				3					5				a
11) e−1 . 12) e							. 13)				1 . 14) 5 . 15)				2 .
											n		3		3
													32

55. 1)

(−1)m−n m

. 2)

. 3)

. 4) −1 . 5) −2 . 6)

1 . 7)

. 8) 4 .

9) cos a . 10)

1 . 11)

−lge . 12)

. 13)

3(an − bm)

2nm

56. 1) e2a . 2) eab . 3) e . 4) 0 .

; e(b1−b2 )/a1 , если a = a

5) 0 , если a < a

; +∞,

если a > a

57. 1) e−3 . 2) 1 . 3) а) 1

, б)

. 4) а) 1 , б) 0 , в) e−1

, г) 1 .

№

Порядок малости

а)

б)

в)

г)

58. 1)

1/3

–

4/3

–

7/6

–

59. 1)

–

3/2

–

3/5

–

60. 1)

–

2/5

–

4/3

–

№	а)	б)	в)	г)	д)	е)	ж)	з)
61. 1)	–	–	–	–	–	+	–	+
2)	–	–	+	+	–	–	+	+
3)	+	+	+	+	–	–	+	+
4)	–	–	–	–	+	–	+	–
62. 1)	–	–	–	–	+	–	+	–
2)	–	–	+	+	–	–	+	+
3)	–	–	–	–	+	–	+	–
4)	–	–	–	–	–	–	+	–
63. 1)	–	–	–	–	–	+	–	+
2)	–	–	+	+	–	–	+	+
3)	–	–	–	–	–	–	+	+
4)	+	+	+	+	–	–	+	+
5)	–	–	–	–	–	–	–	–
6)	–	–	–	–	–	–	+	–

64.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

1) а) нет, б) нет, в) да. 2) а) нет, б) нет, в) да. 3) а) да, б) нет, в) нет.

1) k =1. 2) k = 2 . 3) k = 2 . 4) k = 3 . 5) k = 5 . 6) k = 3 . 7) k = 2 . 1) k = 3 . 2) k =1. 3) k = 2 . 4) k = 4 . 5) k =1.

1)	k = 2 . 2) k = 2 . 3) k =1. 4) k = 2 . 5) k =1. 6) k =1.
1) 5x . 2) −5x2 . 3) −													1 x4		. 4) 1 x2 . 5)				1 x . 6)			3 x2			. 7)	1 x3.
												2			2				2			4				2
8) −3x3 . 9) −								7 x	. 10)					1	x7 . 11)		1 x3. 12) 2x2 .
8) −3x3 . 9) −								7 x	. 10)						x7 . 11)		1 x3. 12) 2x2 .
	1				4			5	1			27			1		2		1			2				1
1)	1			. 2)	4			. 3)	1			. 4)			1	. 5) −			1		. 6)	2			. 7)	1	.
1)		x	3	. 2)	x	2		. 3)		x	4	. 4)			1/2	. 5) −		4x		3/2	. 6)		x	4	. 7)	11/63	.
		x			x					x					2x			4x					x			x
8)	1			. 9)	1		.
8)		3x		. 9)			.
		3x			x2					1
1)	3(x − 1)2 . 2) −									1			(x −1)1/3 . 3)				x −1. 4) e(x −1) . 5)									x −1.
	3(x − 1)2 . 2) −
	3 2

76. 1)	3				. 2)					1				. 3)					1			. 4) -							1			. 5)					1	. 6)				3		.
76. 1)		x5			. 2)									. 3)					x3			. 4) -							x2			. 5)				4x		. 6)			2x3			.
		x5								x6									x3										x2							4x					2x3						x2
				2/3											2									2						1/24								π	2								x2
77. 1)	2x							. 2)					x				. 3) 2x								. 4) x									. 5)				2 x			. 6)			-						.
77. 1)	2x							. 2)					x				. 3) 2x								. 4) x									. 5)				2 x			. 6)			-		ln2				.
			2												-3													1		æ			1				ö1/3							-1							1
			2												-3			2										1		æ			1				ö1/3							-1							1
78. 1)							. 2)															. 3)								ç							÷	. 4)											. 5)				.
78. 1)							. 2)						(x -1)1/3									. 3)								ç							÷	. 4)					p(x -1)						. 5)				.
		x -1											(x -1)1/3															3 2		è x -1							ø						p(x -1)									x -1
79. 1)			1			. 2)						ln2 a . 3)												7		. 4)				−			1		. 5) −2 . 6)									−			1		. 7)		2 . 8) −			8 .
79. 1)	120					. 2)						ln2 a . 3)										12				. 4)				−			20		. 5) −2 . 6)									−	12				. 7)		2 . 8) −			8 .
	120																			1		12											20												12									3
9) 0 . 10) 2 . 11) −																				1			.
9) 0 . 10) 2 . 11) −																							.
																			45																							1 . 7)					11 . 8) 2 . 9)
80. 1) 12 . 2) 10 . 3)																			ln3. 4)										4 . 5) −2 . 6)											−		1 . 7)					11 . 8) 2 . 9)							3 .
10) 7 . 11) 1 . 12) 1 . 13) 0 . 14) −∞ .																																										4					9
10) 7 . 11) 1 . 12) 1 . 13) 0 . 14) −∞ .
81. 1) −1 . 2)									−			11 . 3) 2 . 4) 9 . 5)																					7	.
81. 1) −1 . 2)									−			11 . 3) 2 . 4) 9 . 5)																						.
											12																				45
82. 1) −sin a . 2) −3 . 3)																					1			. 4)				4 . 5) −2 . 6) 1 .
												4									4			1				3			9
83. 1) 12 . 2) −												4				. 3) −								1			. 4)				9		. 5) e−1 6 .
83. 1) 12 . 2) −												45				. 3) −						360					. 4)				2		. 5) e−1 6 .
												45					a					360									2
84. 1)			x					2				. 2)								α−β					. 3) e					−(a+b)							. 4) lna . 5)
	a		x		×ln			2	a										a	α−β										−(a+b)																		ab .
	a				×ln				a								b		a																													ab .
																	b

6) (aabbcc )a+b+c . 7) 1ab .

85. 1) 12 . 2) 0 . 3) e1π . 4) 1 . 5) e−13 . 6) 2 . 7) 0 . 8) 1 . 9) 0 .

86. 1–4) Правило Лопиталя неприменимо. Предел равен: 1) 1 . 2) 0 . 3) 1 . 4) 3 .

5-6) Формальное применение правила Лопиталя дает неверный результат, равный 0. Предел не существует.

3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Часть 1

Вычислить предел последовательности {xn} , если xn равно (1–26).

		(2n +1)4 -							(n -1)4
																						n2		+1 +
																											n
1.																	.		2.								n	.	3. 3 n3 + 2n2 - n .
	(						4		(						4						3
			2n +1					+		n -1												n	3		+ n + n
			2n +1					+		n -1													3
						)								)
	n2								n													2n2 - 5n + 3								n
4.							5.					3								6. n									. 7.				n	n
												3																					n	n
					n	.					n		+ 3n .																		8			+ 3 n .
					n	.					n		+ 3n .												n5 +1						8			+ 3 n .
																									n5 +1
																										4n		+ n2 2n −1
				n2		+ 4n
8. n				n2		+ 4n		.		9.				n		10		-		1		.			10.							.
8. n					n + 5n			.		9.				n			n	-	1.2n			.			10.		n4		+ (n!)2			.
					n + 5n												n		1.2n								n4		+ (n!)2

11. 10n + n! .

2n + (n +1)!

14. log2 (n + 3) . n −1.3

(n + 2)!+ (n +1)!

12. ( ) . n + 3 !

15.	log5 (n2 + 1)	. 16.
	n

(n + 2)!+ (n +1)! 13. (n + 2)!- (n +1)! .

n - lg n log2 (4n +1) .

17.	1				+				1		+L+									1						.
17.		4×7			+			7×10			+L+				(3n +1)(3n + 4)											.
	æ			1			öæ				1	ö	æ							1		ö
18.	ç1+						÷ç1			+		÷	×××ç1				+					÷ .
18.	ç1+			3			÷ç1			+	8	÷	×××ç1				+	n2 + 2n				÷ .
	è			3			øè				8	ø	è					n2 + 2n				ø
																									sinn 5
		n								1															sinn 5					n5 + n
19.	å																.			20.																.
19.	å			(2k −1)(2k + 5)													.			20.	3		8n4 + 7n - 3								27n3 + 5n					.
	k =2			(2k −1)(2k + 5)																	3		8n4 + 7n - 3								27n3 + 5n
																					1+			1	+		1	+... +				1
21.		1	+			2			+L+					n -1		.				22.	1+			2	+		4	+... +				2n	.
		1				2								n -1										2			4					2n
						n2																		1			1
		n2				n2								n2							1	+		1	+		1	+... +			1
		2n -1 .											21/n -1								1	+		3	+		9	+... +				3n
23.										24.			21/n -1						.	25.		çæ1+					1		÷ön .		26. çæ			1-	1		÷ön .
23.										24.									.	25.		çæ1+							÷ön .		26. çæ			1-		n	÷ön .
		2n +1											21/n +1									è					2n ø				è					n	ø
																					36

Вычислить предел функции (27–69).

27. а) lim	2x7 + 5x6 + 7x3	, б) lim	2x7 + 5x6 + 7x3		.
	3x7 + 4x3		3x7	+ 4x3
x→0		x→∞

28.

lim

(x + 5)5 + (x + 6)5 + (x + 7)5 .

x→∞

x5 + 55

(2x3 + 7x -1)6

29.

(x +1)

(3 - 7x)

30.

lim

(2x -1)4

(2x6 -13x2 + x)3

x→∞

31.

x3 + 3x2 + 2x

32.

3 ö

lim

÷ .

x2 - x - 6

- x

x→−2

x→1è

1- x3

33.

34.

- 2x +1

lim

÷ .

lim

x→2

3x + 2

x→1 x

- 2x +1

è x (x -

35.

æ x2 - 4x + 6

x - 4

36.

lim

÷ .

- 5x + 4 3x

x→0

+ x -1

x→1è x

- 9x + 6 ø

- 2 - x

-1

x2 + x +1

37.

lim

6 - x

38.

lim

3 -

4 + x

x→5

x→0

4 -

- 3

39.

lim

21- x

40. lim

25+ x

29 - x

x→5

3 x

-13 +

→2

x - 2x

41.

lim

+13x

- 7

- 2x

÷ .

x→∞è

æ 3

42.

lim

- 5x -

+ 7

÷ cos x .

x→∞è

43. а)

lim

б)

lim

+ 2x - x÷ ,

+ 2x - x÷ .

→+∞è

x→−∞è

44.

lim

sin(xn )

45.

lim

tg x

46.

lim

1− cos

x .

(sin x)m

x→0

x→0 3

(1- cos x)2

x→0 x sin(2x)

47.

lim e7x - e2x .

48.

lim

x(p / 2 - arctg x).

x→0

tg x

x→+∞

49.

lim

1- sin x

50.

lim

(π / 2 − x)tg x .

x→π/2 (p / 2 - x)2

x→π/2

51.

lim

lg x -1

52. lim

xlog2

10 + x

x→10 x -10

x→∞

5 + x

53.

lim

lncos(5x)

54.

lim

x2 lncos p .

x→0 lncos(4x)

x→∞

55.

lim

10x -1

56. lim

(

1/ x

1 .

57.

lim

(

ln (e

)

ctg x

x→0 2x -1

x→∞

)

x→0

58.

lim

x(π − arcctg x) .

59. lim

2x - arcsin x .

x→−∞

x→0

2x + arctg x

x+1

60.

61.

lim

lim ç1

x→∞ è

x→∞

63.

а) lim

x +1

öx

, б)

lim

x→+∞

è 2x -1

x→−∞

3x -4		ö	x+1
			3	.
3x + 2		÷
		ø
æ	x +1		öx
ç			÷ .
	2x -1
è			ø

æ x2+1öx2

62. lim ç ÷ . x→∞ çè x2-1÷ø

64.	æ	1 öx/(2x+1)			.
	lim ç			÷
			2
	x→∞ è x			ø
66.	xlim→0(1+ 3x2 )1/sin2 x .

68. lim (sin x)tg 2x .

x→π/2

	x→0(	)
65.	lim		1+ x	- x 1/ x .
67.	lim	(1+ ctg x)tg x .
	x→π/2
69.	lim (cos6x)ctg2x .
	x→0

Вычислить предел, используя асимптотические разложения (70–94).

70. lim x→0

72. lim x→0

æ	1	-	1 ö
ç				÷ .

è x			ex -1ø
1	æ 1		ö
	ç		- ctg x ÷ .

x è x			ø

71.	lim	æ	1	-			1	ö
		ç						÷ .
						x -1
	x→1è ln x							ø
73.	lim	æ	1		-		1	ö
		ç						÷ .
							tgx
	x→0è sin x							ø

+ 3

- 24

- 44

74. lim

1+ x

1- x

. 75. lim

1+ x

x→0

2 - 2 1- x

2x2

+10x +1 - 7 x2 +10x +1

76.

lim

x→0

- 3

9x2 +1

x2 -1

lim

77.

lim

78.

-x

÷ .

x→∞

+1 -

-1

x→+∞è

+ x + 7

9 + x

79.

lim

2x ÷ .

80.

lim

x→+∞è

x→−8 3 15+ 2x

81.lim x1/3 ((x +1)2/3 − (x −1)2/3).

x→+∞

	cos x − e− x2 /2			ex2	−
82. lim		. 83.	lim			1+ 2x2
	x4				.
x→0			x→0		tg4x

84.	lim		æ	2	æ		1	ö	ö
			ç x-x		lnç1+		x	÷÷ .
	x→+∞è				è			ø	ø

		ex− 3 1+ 3x +				9x2
86.	lim						2			.
				x3
	x→0

85. lim	æ	3	æ	+	1	ö	-
85. lim	ç x		lnç1	+	x	÷	-
x→+∞è			è		x	ø

esin(5x) - esin x

87. lim ( ) . x→0 ln 1+ 2x

x2+ x ö .

2 ÷ø

88.

lim

ln(1+ x3)- 2sin x + 2xcos x2

89. lim

ax - xa .

x→0

arctg x3

x→a

x - a

lncos(x2 )+ 6

-1

−x2

1+ 3x4

90.

lim

cos x -

91.

lim

x→0

+ x3 −1

1+ x2

ex -

1+ 2x

92.

lim

93.

lim

lncos x

x→0

ln (1+ x2 )

- x

1+ sin x

94.

lim

tg3x

x→0

Используя формулу Тейлора, выписать необходимое количество слагаемых асимптотической формулы и вычислить предел (95–100).

		æ			1	ö
95.	lim	ç 1	-				÷ .

	x→0è x			arcsin x ø
97.	lim	arcsin (2−x) + arctg(x−2)						.

	x→2		(x8− 8)			tg(x−2)2
					1/ x2
99.	lim	æ arcsin x ö				.
		ç	x		÷
	x→0	è			ø

96.		æ			1			1		ö
	lim	ç			1		-	1		÷ .
	lim	ç					-		x2	÷ .
	x→0è xarctg x								x2	ø
						1/ x2
98.	lim	æ arctgx ö						.
98.	lim	ç		x		÷		.
	x→0	è		x		ø
100.			æ	2				öx
	lim		ç		arctg x			÷ .
	lim		ç		arctg x			÷ .
	x→+∞ è p							ø

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