Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пределы. Сборник задач и упражнений. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

504 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

ОТВЕТЫ

1.1715 . 2. 12 . 3. 23 . 4. 1 . 5. 1 . 6. 1 . 7. 8 . 8. 45 . 9. 1 . 10. 0 .

11.0 . 12. 0 . 13. 1 . 14. 0 . 15. 0 . 16. 12 . 17. 121 . 18. 2. 19. 63071 .

20.0 . 21. 12 . 22. 43 . 23. 1 . 24. 0 . 25. e . 26. e−1 . 27. а) 74 , б) 23 .

28.3 . 29. 1649 . 30. 8 . 31. - 25 . 32. −1 . 33. ∞ . 34. 13 . 35. 1 . 36. 3 .

37.3 . 38. 43 . 39. 23 . 40. 274 . 41. 134 . 42. 0 . 43. а) 1 , б) +∞ .

	ì0, n > m;
44.	ï		1, n = m;		45.
	í
	ï
	î¥, n < m.
52.			5	. 53.	25 .

		ln2			16
59.	1		. 60. 1 . 61. e
	3

∞ . 46. 3 .			47.	5 . 48. 1 . 49.	1 . 50. 1 . 51.				1	.

4					2			10ln10
54. -	p2	.	55.	log210 . 56.	ln 3 . 57. e1/e .				58. −1 .

2
−2/3 . 62. e2 . 63. а)0 , б) ∞ .					64. 0 . 65.	1		. 66. e3 .

							e

67.	e	. 68.	1		. 69. e−18 .	70.	1 . 71. 1 . 72.			1 .		73.		0 . 74.				4 . 75. 0 .

				e			2	2		3								3
76.	4	. 77. 3 . 78. 2 . 79. 2 . 80. 2 . 81.							4 .	82.		-		1	.	83. 1 .			84. 1 .
	7
			5						3			12							2
85.	1	. 86.	3 . 87. 2 . 88.			4 .	89.	aa (ln a -1) .				90.		-		1	.	91.	- 17 .
	3															24
			2			3													24
92.	- 21 . 93. −2 . 94. - 81 . 95. 0 . 96. 13 . 97. -										1		. 98. e−1/3 . 99. e1/6 .
											24
100. e−2/π .

Часть 2

Вычислить предел последовательности {xn} , если xn равно (1–20).

1.		(n + 5)4 - (2n - 2)4																								2.				(n + 2)!+ (n +1)!
1.		(n + 5)4 + (2n - 2)4 .																								2.				(n + 3)!- (n +1)! .
		2n/2 +				(	n +1 !																2n					-		lg(5n)														4		n +		n	2	2		n -	1
3.						(				)					4.								2n							lg(5n)										5.				4				n		2			1	sin n .
												.																										.								n4 + (n!)2
				n(	3n + n!)							.									log2 (16n + n)																	.								n4 + (n!)2
	(		-3)n2 −n												5n -1
6.	(		-3)n2 −n									7.			5n -1														8. 3 n3 + n2 + n +1 - 3 n3 - n2 + n -1 .
									.													.
				(n3)!					.						5n +1							.
				2n3 - 5n2 + 3															10. n																	.				11. n					n2 + 7n						.
9. n				2n3 - 5n2 + 3									.															5n + 7n
9. n													.															5n + 7n
					n2 + n7																																								n + 2n
12.		a2 + a3					+ ... + an								, 0 <									a			< 1, 0 <										b		< 1.
		a2 + a3					+ ... + an
		b4 + b5 + ... + bn
		b4 + b5 + ... + bn																																												n
		1- 2 + 3 - 4 +										... + (2n -1)																- 2n																		n							1
13.		1- 2 + 3 - 4 +										... + (2n -1)																- 2n						.						15.				å									1				.
13.																																		.						15.				å													.
											n2 +1																																		k =2 (5k + 3)(5k -12)
		1×2 + 2×3+ 3×4 + ... + n(n +1)																																												n						1
14.																																	.							16.				å								1				.


												n3																																	k =1 k3 + 3k2 +										2k
17.			1				+					1						+								1						+ ... +								1							.
17.							+											+														+ ... +															.
				n2 + 5						n2 + 6														n2				+ 7													n2 + 2n
18. xn =							1					+			2											+ ... +										n						.

						n4 +1										n4 + 2
						n4 +1										n4 + 2																			n4 + n
19.	æ				2		öæ							2	ö					æ															2					ö
	ç1-							÷ç1		-							÷		...ç1						-																		÷ .
	ç1-							÷ç1		-		3					÷		...ç1						-				(n +1)(n +														÷ .
	è				2 ×3 øè							3		× 4 ø						èç									(n +1)(n +											2) ø÷
20.		23 -1 33 -1 43 -1																	L				n3 -1								.
							3
			3				3					3														3		+		1
	2 +1 3 +1 4													+1 n														+		1
																															42

Считая, что {an} – арифметическая прогрессия с разностью d ¹ 0 , вычислить предел (21–22).

21.

lim

+L+

÷ .

n→∞ n

a +

a + a

a +

n+1 ø

22.

lim

+ ... +

÷ .

n→∞ è a1a2

a2 a3

an an+1 ø

Вычислить предел (23–51).

23. а)

lim

4x9

+ 8x8 + 5x7 + 9x4

б)

lim

4x9 + 8x8

+ 5x7 + 9x4

5x9 + 6x6 + 7x4

5x9 + 6x6

+ 7x4

x→0

x→∞

24.

25.

x4 - x3

+ x2 - 3x + 2

lim

÷ .

lim

- x2

x2 - 3x

x3 - x2

- x +1

x→2

è 2x

+ 2 ø

x→1

26.

lim

(x +1)10 + (x + 2)10 + ... + (x +100)10 .

x→∞

x10 +1010

x101

-101x +100

27.

28.

lim

25x

+ 20x

7 - 5x

÷ .

x2 - 2x +

x→1

x→∞

- 3

29.

lim

192 + 8x

240 - 8x

x→3

x -

30. а)

lim

1+ 2x + x

- 4x

x→+∞

б)

lim

1+ 2x + x

- 4x +1

÷ .

x→−∞

xm -1

-1

31.

lim

32.

lim

33.

lim

-1

x→1 xn -1

x→1 n x -1

→∞ n 3

34.

lim

1- cos3 x

35.

lim

(1- cos x)2

2x2 )

x→0 arctg(

→0 tg3x - sin3x

36. а)		lim		æ	2x +1			öx	, б)
				ç				÷
						x	-1
	x	→+∞ è						ø
37.		æ x2 +1					öx2		38.
	lim ç						÷ .
			2
		ç		- 2			÷
	x→∞ è x						ø
39.	lim	7x	-1			.	40.		lim
			-1
	x→0 5x								x→0

	æ	2x +1	öx
lim	ç		÷ .
		x -1
x→−∞ è			ø

lim æç x2 - x +1ö÷x . x→∞ çè x2 + x +1÷ø

esin(8x) - esin(5x)

ln(1- 3x)

41. lim	xlog5	25 + x	.

x→∞		5 + x

lncos(3x) 43. lim ( ) .

x→0 lncos 5x

42. lim ln(tg (p / 4 + 4x)) .

x→0 x

1- ctg(px)

44. lim ( ) . x→1/4 ln tg(px)

45.	lim x(p - arcctg x) . 46.		lim	(1+ ctg x)sec x .
	x→−∞		x→π/2
47.	lim	(cos(6x) + x2 )cosec(x2 ).	48.	lim		ex2 - cos x	.

	x→0			x→0 sin2 x
49.	lim	(ln (e + x + x2 ))1/(tg x+ x2 ) . 50.			lim (sin x)4tg2x .
	x→0			x	→π/2

Вычислить предел, используя асимптотические разложения (52–71).

çæ 3

- 3

÷ö .

51.

lim

(x + 2)2

(x -1)2

x→∞

52.

lim

+ x

27x

+ 8

÷ cos x .

x→∞ è

32x5+3

7 x

3+7

53.

54. lim

lim

+2x

÷ .

x→+∞ è

x→∞

3 x3+7 - 5 x4-1

55.

lim

- xa

, a > 0 .

56.

lim

- aa

a > 0 .

- a

x→a

57.

59.

61.

lim	æ	a	-	b ö		, ab ¹ 0 .	58. lim x2	(41/ x - 41/(x+1) ).
	ç				÷
		- xa
x→1	è1		1	- xb ø			x→∞

lim		(tg x)cos x . 60.			lim	(cos x + sin2 x)1/arcsin2x .
x→π/2		−0			x→0
	ex - 5 1+ x +		25 x2
							e2x - 4 1+ 8x
lim			2	.	62. lim			.
		arcsin(x3)					lncos x
x→0						x→0

63.

64.

65.

66.

68.

70.

lim

ç x

ln ç1+

- 3x

x ÷ .

x→+∞

öö

lim

ç x

- (x3

+ x +1)lnç1

÷÷ .

x→+∞

øø

lim

-1

÷ .

x→+∞

lim	ex + ln(1- sin x) -1			.

x→0	3 8 - x4 - 2
lim	x ((2e)1/ x+ e1/ x− 2).
x→+∞
	cossin x -
lim			1- x2+ x4
		arctg4 x
x→0

67. lim	x			+ ln (1- x)			.
			1+ sin x

x→0			tgx - sin x
		lncos2x+x2 6
69. lim					1+x2-x 4
			tg6 x
x→0
			(cos x)sin x -
. 71.* lim						1- x3
			sin(x6 )
x→0

Используя формулу Тейлора, выписать необходимое количество слагаемых асимптотической формулы и вычислить предел (72–75).

72.

öx

. 73.

lim

arctg x ÷

lim

÷ .

arcsinx

x→+∞ è p

x→0

è arctgx

74.

lim

tgx

- sin

- x

75. lim

x2ex-ln(1+x2 )

-arcsin x3

xsin x - x2

x→0

x + x3 - tgx

x→0

ОТВЕТЫ

		1. −15 .2.				0 . 3. 1 .					4. 1	.	5.			0 .		6. 0 . 7. 1 . 8.						2 .		9. 1 .		10.			7 .
			17								2													3
11.	7	. 12.		a2 (1− b)				. 13.			−1 .		14.			1	.	15. −	1	.	16.			1	. 17. 2 .			18.			1		.
11.	2	. 12.		b4 (1− a)				. 13.			−1 .		14.			3	.	15. −	360	.	16.			4	. 17. 2 .			18.			2		.
	2			b4 (1− a)												3			360					4							2
19.	1 .		20.	2 .			21.	1		.	22.		1			.		23. а)	9 , б)		4 .			24.		− 1 .		25.			2 .
19.	1 .		20.	2 .			21.			.	22.		a d			.		23. а)	9 , б)		4 .			24.		− 1 .		25.			2 .
	3			3					d				a d						7		5					2
													1
26.	100 . 27. 5050 . 28. 2 . 29.													8		.	30. а) 3 , б)				−3 .			31.		m	. 32.			n		.
26.	100 . 27. 5050 . 28. 2 . 29.												27			.	30. а) 3 , б)				−3 .			31.		n	. 32.					.
													27													n			m
33.	log 5 . 34. 3 . 35. ∞ . 36. а) ∞															, б) 0 . 37. e3 .						38. e−2 .					39.	log			7.
		3		4																								5
				4
40.	−1 .		41.		20		. 42. 8 .				43.		9		.		44. 1 .		45. −1 .					46.		e .	47. e−17 .
40.	−1 .		41.		ln5		. 42. 8 .				43.	25			.		44. 1 .		45. −1 .					46.		e .	47. e−17 .
					ln5							25
48.	3	. 49. e1/e . 50. e2 . 51. 2 . 52. 0 . 53. 31 . 54. 2 .																						55. aa (ln a −1) .
	2																	15
56.	aa (1+ ln a) .						57.	a − b			. 58. ln4 .						59. 1 .		60.				.	61. ∞ . 62. −16 .
56.	aa (1+ ln a) .						57.	a − b			. 58. ln4 .						59. 1 .		60.			e	.	61. ∞ . 62. −16 .
								2
63.	9 .		64. − 4 .				65.	1 .			66.	1 .				67.		−11 .	68.			2 + ln 2 .				69.		− 101 .
				3								2						12										360
70.	−	1	. 71.	1 . 72. e−2/π .							73. 0 . 74.							3 . 75. −6 .
		6		4														4

4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1.Сформулировать определение последовательности и подпоследова- тельности.

2.Сформулировать, используя кванторы, определение последователь- ности:

1) ограниченной;		2)	неограниченной;
3) сходящейся;		4)	расходящейся;
5)	бесконечно малой;	6)	бесконечно большой;
7)	фундаментальной;	8)	нефундаментальной;
9)	возрастающей,	10)	невозрастающей;
11)	убывающей,	12)	неубывающей;

13)монотонной.

3.Сформулировать, используя кванторы, определение:

1)предела последовательности;

2)супремума последовательности;

3)инфимума последовательности.

4.Сформулировать определения, соответствующие символическим записям:

1) lim xn = ∞ ;	2) lim xn = +∞ ; 3)	lim xn = −∞ .
n→∞	n→∞	n→∞

5.Сформулировать, используя кванторы, определения:

1)предельной точки (частичного предела);

2)верхнего и нижнего пределов последовательности.

6.Сформулировать:

1)теорему Вейерштрасса о пределе монотонной последователь-

ности;

2)лемму Больцано–Вейерштрасса об ограниченной последова- тельности;

3)лемму о неограниченной последовательности;

4)критерий Коши сходимости последовательности.

7. Может ли удаление, добавление или изменение конечного коли- чества элементов последовательности повлиять на какое-нибудь из сле-

дующих свойств последовательности:		2)
1)	«сходиться»;	2)	«расходиться»;
3)	«быть бесконечно малой»;	4)	«быть бесконечно большой»;
5)	«быть ограниченной»;	6)	«быть неограниченной»?
8. Пусть последовательность {xn}		и число a удовлетворяют условию:

$n0 такой, что ε > 0 и n > n0 xn − a < ε . Всякая ли сходящаяся к a последовательность удовлетворяет этому условию?

9. Пусть последовательность {xn} является:

1) ограниченной; 2) неограниченной. Следует ли из этого, что она: а) сходится; б) расходится?

10. Является ли ограниченность необходимым и достаточным условием сходимости:

1) монотонной последовательности;

2) произвольной последовательности?

11. Пусть lim xn = a , a > 0 . Может ли последовательность иметь бес-

n→∞

конечно много отрицательных (равных нулю) членов?

12. Пусть	lim x2	= 4 . Может ли	{x }	быть:
	n→∞ n		n
а) сходящейся; б) расходящейся?
13.Известно, что "n yn ¹ 0 и
1)	lim xn = lim yn = 0 ;		2)	lim xn = lim yn = ∞ .
	n→∞	n→∞		n→∞	n→∞

Может ли {xn yn} быть:

а) ББП, б) БМП,	в) сходящейся,
г) расходящейся,	д) расходящейся, но не ББП?

14.Является ли предел последовательности ее частичным пределом?

15.Является ли БМП: а) ограниченной, б) сходящейся?

16.Является ли ББП: а) неограниченной, б) расходящейся?

17. Определить, какие из следующих утверждений являются верными:

1)а) Если б) Если

2)а) Если б) Если

3)а) Если б) Если

4)а) Если б) Если

5)а) Если б) Если

6)а) Если б) Если

{xn}	и { yn}	– сходятся, то {xn + yn}	– сходится.
{xn + yn} – сходятся, то {xn} и { yn}			– сходятся.
{xn}	и { yn}	– БМП, то {xn + yn} – БМП.

{xn + yn} – БМП, то {xn} – БМП и { yn} – БМП.

{xn} и { yn}	– ББП, то {xn + yn} – ББП.
{xn + yn} – ББП, то {xn} – ББП и { yn} – ББП.
{xn} и { yn}	– БМП, то {xn yn} – БМП.


{xn yn}		– БМП, то {xn} – БМП или { yn} – БМП.
{xn}	и { yn} – ББП, то {xn yn} – ББП.
{xn yn}		– ББП, то {xn} – ББП или { yn} – ББП.
{xn}	– БМП и "n xn ¹ 0 , то {1 xn} – ББП.
{xn}	– ББП и "n xn ¹ 0 , то {1 xn} – БМП.

Для всех неверных утверждений приведите примеры.

18. Пусть бесконечно много членов последовательности {xn} лежит

1) в некоторой; 2) в любой окрестности точки a. Следует ли из этого, что:

а) lim x	n	= a ,	б) {x	} ограничена;
n→∞	n		n

в) все точки вне этой окрестности не являются пределом {xn} ?

19. Пусть бесконечное число членов последовательности находится: 1) в любой; 2) вне любой; 3) в некоторой

окрестности нуля. Следует ли из этого, что последовательность:

а) бесконечно малая,	б) бесконечно большая,
в) ограниченная,	г) неограниченная,

д) не является бесконечно малой, е) не является бесконечно большой?

20. Привести пример ограниченных последовательностей {xn} и { yn} ,

для которых последовательность ìí xn üý неограниченная.

î yn þ

21. Привести пример расходящейся последовательности {xn} , для ко- торой последовательность { xn } сходится.

22. Привести пример последовательности, которая:

1) имеет один частичный предел;

2) имеет только один частичный предел;

3) не имеет ни одного частичного предела;

4) имеет два частичных предела.

Есть ли среди этих последовательностей сходящаяся?

23. Известно, что последовательности {xn} и {yn} имеют по одному частичному пределу. Показать на примерах, что последовательности

{xn + yn} и {xn yn} могут:

1)не иметь ни одного частичного предела;

2)иметь один частичный предел;

3)иметь два частичных предела.

24.Привести пример последовательности, у которой:

1)нет ограниченной подпоследовательности;

2)нет ни одной сходящейся подпоследовательности.

25.Привести пример неограниченной последовательности:

1)не являющейся бесконечно большой;

2)содержащей ограниченную подпоследовательность;

3)содержащей сходящуюся (к числу) подпоследовательность.

26.Привести примеры последовательностей, удовлетворяющих соот- ношениям:

inf x

< lim x

;

2) inf x

lim

;

lim

= sup x .

n→∞

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]