Пределы функции одной переменной. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, то можно снова и снова применять правило

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Пример 40. Вычислить lim sin7x , используя

x 0 tg2x

эквивалентные бесконечно малые величины.

Согласно п.5, так как sin7x 7x при х 0, а tg2x 2x при х 0, то

lim sin7x 7х 7 . x 0 tg2x 2х 2

Пример 41.

lim

arcsin 3x

lim

x 0 tg5x

x 0 5x

3. Неопределенность вида .

Пример 42.

lim

x 3 x 3

Приведем обе дроби к общему знаменателю:

x 3 6

x 3

lim

x 3 x2 9

x 3 x2

lim

x 3 (x 3)(x 3)

= lim

x 3 x 3

Пример 43.

x 1

lim

2 1

x 1

x 1 x 1 x 1

x 1 x 1 2

lim

1 cos x

Пример 44.

lim

tgx

x 0

sin x

x 0 sin

2sin

2 x

sin

lim

x 0

2sin

cos

x 0

cos

lim

Пример 45.

x2 3x 1

x2 3x 4

x2 3x 1

x2 3x 4

x2 3x 1

x2 3x 4

lim

x2 3x 1

x2 3x 4

lim

6x 5

x2 3x 3

x2 3x 4

lim

4. Неопределённость вида 0 .

Пример 46.

lim xCtg5x 0

x 0

{представим функцию xCtg5x в виде дроби, которая в точке

x Cos5x

х=0 дает неопределенность вида

}= lim

x 0

sin 5x

lim

lim cos5x = lim

x 0 sin 5x

x 0

x 0 sin 5x

= lim

x 0 5sin 5x

Пример 47.

lim

x tgx 0

t x

					tcost
= x		t	lim tctgt lim			1.
= x	2	t	lim tctgt lim			1.
	2		t 0	t 0	sin t
t 0


				42

5. Неопределённость вида 1 .
		3	x
Пример 48.	lim 1			= 1

	x	x

Данная функция представляет собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель - к бесконечности. Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел (2).

lim 1

lim

x =3, то

Так как

lim 1

=е,

lim

x x

lim 1

=е .

x2 1

Пример 49.

lim

= 1

x x

В числителе добавим и вычтем 2, для того чтобы можно было выделить целую часть

		x	2	x2	1				x2			2 2				x2	1
		x	2						x2			2 2
lim																		=
lim		2	2					lim		x		2	2					=
x x			2					x		x			2
																			2 2
																					(x	2)
																		x2 2 x2			(x	2)
			2 x			2	1											x2 2 x2		2
															2
															2			2
lim	1								lim		1											=
	1										1											=
			x2 2											x	2 2
x			x2 2						x					x	2 2


									43

lim

2x2

e 2.

= ex x2 2

Пример 50.

2n 3

3n 1

2n 3

3n 1

lim

lim 1

n 3n 1

3n 1

{В скобках к дроби добавили и вычли единицу, для того чтобы привести к виду (2).}

3n 1 3n 1 2n 3

2n 3

lim 1

lim

3n 1

2 2n 3

2 2

3n 1

lim

3n 1

lim 1

3n 1

			3
	n	2
	n	2
2lim			n
2lim			1		2		4
n			1
	n	3		2
	n	3		2
e			n	e 3		e3 .

		6n 7		3n 2
Пример 51.		lim

		n 6n 4
	6n 7 6n 4		3n 2
lim 1
		6n 4
n

	11	3n 2
lim 1

n	6n 4

6n 4

( 11)(3n 2)

11 3n 2

11 11

6n 4

lim

6n 4

lim 1

6n 4

11lim

6 e 2 .

Решим этот же пример, используя другой способ преобразования дроби, а именно добавим и вычтем единицу в скобках.

	6n 7	3n 2		11 3n 2		11

lim 1		1	1		e 2
	6n 4
n				6n 4
			44

x 2 x 1

2 x 1

Пример

52.

lim

lim 1

2(x 1)

2 x 1

2 2

lim

e 2 .

lim

Пример 53.

lim

lim 1

2 2

lim

e 6 .

lim

Пример 54.

a x

ln a x ln a

lim

lim ln 1

x 0

2x 1

e2x 1 2

Пример 55.

lim

x 0

3 x 0

esin2x esinx

Пример 56.

lim

x 0

lim

esin 2x esin x

1 1

lim

esin 2x 1

lim

esin x 1

x 0

lim

esin 2x 1

sin 2x lim

esin x 1

sin x

x sin 2x

x sin x

x 0

lim

2sin 2x

lim

sin x

2 1 1.

x 0

x(ln(x 1)

ln x)

Пример 57.

lim

x 1 x

ln lim

lne 1

Пример 58.

t x 3

lim 7 2x x 3

x t 3

x 3

t 0

	3		1	3	( 2t)
	t
			2t
lim 1 2t				t
		lim (1 2t)			e 6 .
t 0		t 0

x2 1 x2

Пример 59. lim . x x2 2

Используем формулу (4) п.5.

Решение. В этом случае u= x2 1 , v=x2. (u-1)v=

x2 2

3x2

lim

Следовательно, lim

=е .

x x

2n 3

Пример 60.

lim

2 1

n2 1

3n 2n 3

n2 1

lim

lim 1

n2 1

3x2

x2 2

6n2

6n2 9n

lim

n n2

lim

n2 1

n2 n2

e 1 e 6.

Рассмотрим примеры на использование всех изученных

методов.

1 cos2x tg2x

Пример 61.

lim

xsin x

x 0

1 cos2x

tg2x

2sin2

sin2 x

lim

cos2 x

x 0

xsin x

x 0 xsin x

x 0

xsin x

x 0

xsin x

2 lim

sin x

lim

sin x

2+1=3.

x 0

x 0 xcos2

Пример 62.

lim

sin x 2

x 2 2

x 2 x 2 2

lim

x2 4

x 2

x 2 x 2

cos x h cos x h

Пример 63.

lim

h 0

2sin

x h x h

sin

x h x h

lim

h 0

2sin

x x

sin

2sin x sinh

lim

2sin х .

h 0

sin 4x

Пример 64. lim

lim

x 0

x 1 1

x 0

x 1 1

lim

x 1

x 0

x 1 1

2 1

x 1

4 lim

x 1

x 1 1

x 0

Пример 65.

arcsin x 2

lim

x2 2x

x x 2

x 2

x 2 x

Пример 66.

sin x

sin x x x

lim

x 0 sin

x 0 sin x x x

x 0 x

Правило Лопиталя.

В предыдущих разделах были разъяснены основные способы нахождения предела функции в тех случаях, когда аргумент неограниченно возрастает или стремится к значению, которое не входит в область определения функции. Кроме этих основных способов, весьма эффективным средством для нахождения предела в указанных особых случаях является правило Лопиталя.

Правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных, если он существует

	f(x)	0
						f (x)
lim			или		= lim		.	(5)

x a g(x)		0		x a g (x)
Если же отношение производных вновь будет представлять

Лопиталя до получения результата.

lim	f (x)	0					f (x)
lim		=		или		= lim		.
x a g (x)			0	x a g (x)
					48

Пример 67. Найти предел функции с помощью правила

Лопиталя lim x 1 . x 1 x2 1

Так как и числитель и знаменатель дроби стремятся к 0, то можно применить правило Лопиталя:

	x 1			0		x		1	1
	x 1			0		x	1	1	1
lim					lim			=lim		.
x 1 x		2	1	0	x 1	x2		x 1 2x	2
x 1 x			1	0	x 1	x2	1	x 1 2x	2

Пример 68. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя

lim x3 4x2 4x . x 2 x3 12x 16

Так как и числитель и знаменатель дроби стремятся к 0, то можно применить правило Лопиталя:

4x2 4x

lim

12x 16

x 2 x3

4x2

lim

x 2 x3 12x 16

3x2 8x 4

= lim

3x2 12

x 2

Числитель и знаменатель дроби вновь стремятся к 0, применяем правило Лопиталя еще раз:

3x2 8x 4

6x 8 1

lim

= lim

3x2 12

x 2

0 x 2 6x

2 7x 8 /

2 7x 8

Пример 69.

lim

x 1 x

2 8x 9

x 1

x2 8x 9 /

lim

2x 7

0,9 .

x 1 2x 8

Пример 70.
				x2		2x 3								0																											2x 2				4
				x2		2x 3								0										x2 2x 3																	2x 2				4
lim																		lim																		lim
lim					2													lim																		lim
x 1 2x					2			x 3						0																									x 1		4x 1 5
x 1 2x								x 3						0					x 1 2x2 x 3																				x 1		4x 1 5
Пример 71.											lim		e4x 5x 1													0							lim		e4x 4 5								9.

																	x2 x																				2x 1
												x 0					x2 x											0						x 0			2x 1
																	x2 1									0											2x						2
Пример 72. lim																																	lim											.
Пример 72. lim																																	lim											.
Пример 73.											x 1 2x3 x 1																	0						x 1 6x2 1 5
Пример 73.																											3								2 /
			3									2					0
			3		10 2x							2					0															10 2x
lim																				lim
lim																				lim
x 1 3x2 5x 8																	0					x 1 3x2 5x 8 /
											1							/

								10 2x 3																														2
															2													1										2
															2
																															10 2x						3			2
																															10 2x									2
lim																				lim								3
lim									3x2 5x 8 /											lim														6х 5
	x 1								3x2 5x 8 /													x 1												6х 5
2							2				2
											2
				8	3

										33 82								2												1
	3																																	.
	3
			11
			11								11								3			8	2					66
																		33				8																		1
																																								1
														3																					33							2
																			2						0														x 1
																	x 1		2						0														x 1
Пример 74.											lim																		lim
Пример 74.											lim					2x 18													lim											2
											x 9					2x 18									0									x 9						2
lim								1							1						1			.
lim																								.
	x 9 63 x 1 2															6 4 24
Пример 75. Найти предел функции с помощью правила
Лопиталя lim						tg3x					.
Лопиталя lim											.
		x 0 sin 6x
																			50

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]