Пределы функции одной переменной. Учебное пособие

lim an sup{an}.

n

Аналогично, если (аn) – убывающая последовательность, то она имеет предел и этот предел конечен, если последовательность ограничена снизу, и бесконечен, если она неограниченна снизу, причем

lim an inf{an}.

n

Доказательство. Пусть существует (аn) – возрастающая последовательность. Тогда Е={ a1, a2, …, an, … } ограничено с верху. Пусть а=sup E (значение а может быть как конечным, так и

Лемма вложенных отрезков. Если [an, bn] – система вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю. Тогда существует точка а, принадлежащая всем отрезкам этой системы, такая, что

а =lim an =limbn .

n n

Доказательство. Так как

a1 a2 ... an ... bm ... b2 b1 ,

то (аn) – возрастающая ограниченная последовательность, (bn) – убывающая ограниченная последовательность. Тогда в силу

неравенство an bm , следовательно bm – является мажорантой для (аn).

Поэтому m : a bm . И тогда точка а, принадлежит всем отрезкам системы [an, bn].

А в силу единственности предела а'=а.

Теорема Больцано–Вейерштрасса: Всякая ограниченная последовательность обладает сходящейся подпоследовательностью.

Доказательство. Пусть существует (хn) – ограниченная последовательность. Тогда a0,b0 R, что для всех номеров n

выполняется неравенство:

a0 хn b0 .

Выберем произвольно какой–либо член последовательности, пусть его номер равен n1:

хn1 a0,b0 .

Разделим отрезок [a0, b0] на два равных отрезка, тогда по крайней мере в одном из них окажется бесконечно много членов рассматриваемой последовательности (хn). Обозначим этот отрезок [a1, b1] и в нем найдется член этой последовательности с номером, большим n1. Обозначим номер этого члена через n2.

Таким образом, будем иметь

Разделим отрезок [a1, b1] снова на два равных отрезка и обозначим через [a2, b2] тот из них, на котором имеется бесконечно много членов последовательности (хn). Среди них выберем член этой последовательности с номером, большим n2. Обозначим этот номер через n3, получим

хn3 a2,b2 a1,b1 a0,b0 , n3> n2,

Продолжая этот процесс получим подпоследовательностьхnk последовательности (хn) такую, что

В результате получилась система вложенных отрезков [ak, bk], k=0, 1, 2, …, длины которых стремятся к нулю. Следовательно, по лемме вложенных отрезков существует единственная точка а, принадлежащая всем этим отрезкам, такая, что

конечный предел, т.е. сходится.

Предел подпоследовательности числовой последовательности называется частичным пределом этой последовательности.

Числовая последовательность называется фундаментальной последовательностью, если

>0 N n,m N : an am (условие Коши)

Критерий Коши: Последовательность сходится тогда только тогда, когда она фундаментальна.

Число е (=2,71828…)

Числом е называется предел

ограничена 2<хn<3, а следовательно имеет конечный предел по тереме Вейерштрасса.

Предел функции в точке

О. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке x0

последовательности значений аргумента х1, х2,…,хn, имеющей предел, равный х0, и состоящей из чисел хn, отличных от х0, соответствующая последовательность значений функции f(x1), f(x2),…, f(xn) сходится к числу А.

Дадим еще одно определение предела.

О. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0

положительного числа найдется соответственное ему число >0 такое, что для всех x из -окрестности точки x0 существует - окрестность точки А, содержащая все значения f(x).

Используя вышеуказанные обозначения, можно сказать, что число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа существует число >0, что при выполнении х-х0 < выполняется неравенство f(x)-A < .

О. Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0 и ее окрестности, если она определена в этой точке и ее окрестности и

14

ее значение в этой точке равно значению предела функции в этой

точке: lim f (x) f (x0).

x x0

О. Приращением функции в точке х0 называется изменение функции при определенном изменении аргумента. Если аргумент получит приращение х=x-x0 в точке х0, то функция получит приращение у или f(x0)=f(x0+ х)-f(x0).

Приращение функции зависит от приращения самого аргумента. Если функция непрерывна в каждой точке области, то она называется непрерывной в этой области. Если в точке х=а нарушается условие непрерывности функции, то такая точка называется точкой разрыва.

Свойства предела функции в точке

Свойство 1: Предел функции в точке единственен.

Доказательство.

Пусть при xn x0 , f (xn ) (не единственный предел) и

f (xn ) β.

Пусть условия выполняются, но f (xn)– последовательность, а

у последовательности предел единственен, следовательно, предел функции также единственен. Чтд.

Свойство 2 (свойство двух милиционеров): Пусть даны три функции f ,g,h: E R, а – предельная точка множества Е. Для всех

точек х V (a) выполняется неравенство

>0 1 >0 х Е: 0 х a 1 f (x)f (x) ,

15

2 >0 х Е: 0 х a 2 h(x)h(x) .

Тогда >0 3 =min( 1 , 2) х Е:

0 х a 3 f (x) g(x) h(x)g(x) g(x) , что и требовалось

доказать.

Свойство 3: Если предел lim f (х)существует, то функция

х а

ограничена в некоторой окрестности точки а.

Доказательство. Необходимо показать, что >0 х Е:

х a

выполняется условие: f (x) M .

Пустьlim f (x)

x a

По определению предела для ε=1 >0, что для

х a а х а .

Окрестностью точки а является множество V(a) а ,а и для любой точки х V(a) должно выполняться неравенство

f (x) M .

f (x) f (x) f (x) 1 M

f (x) M , что и требовалось доказать.

в) lim f (х) g(x) ;

х а

Критерий Коши: Пусть функция f : E R, а – предельная

точка множества Е. Предел lim f (х) существует тогда и только тогда,

х а

когда

Замечание: Элементарные функции обладают свойством

lim f (х) f (a).

х а

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Пусть функции f(x) и g(x) определены в проколотой окрестности точки а.

О. Будем говорить, что функция f(x) бесконечно мала относительно функции g(x), если

lim f (х) 0.

x a g(x)

Обозначение: f(x) =о( g(x)) ( х а).

О. Будем говорить, что функция f(x) есть О–большое от g(x),

если найдется такая постоянная С>0, что для всех точек х V (a) выполняется неравенство

f (x) C g(x) .

Обозначение: f(x) =О( g(x)) ( х а).

О. Функции f(x) и g(x) являются эквивалентными, если

lim f (х) 1.

x a g(x)

Обозначение: f(x) ~ g(x) (х а).

Пример: Покажем эквивалентность функций f(x)=x+1 , g(x) ex (х 0 ).

17

Решение. lim х 1 1 1 x 0 ех 1

f(x) ~ g(x) (х 0).

Свойство: f(x) ~ g(x) (х а) f(x) = g(x)+о(g(x)) ( х а).

Функция у= (х) называется бесконечно малой при

если lim (х)=0.

x a

Функция у= f (х) называется бесконечно большой при х а,

если для любого числа М>0 существует такое число >0, зависящее

Теорема: Функция, обратная к бесконечно малой, является бесконечно большой и наоборот.

Доказательство. Пусть (х) является бесконечно малой при

ха, то есть lim (х)=0. Тогда

xa

>0 >0: 0 х a (x) .

Следовательно в той же –окрестности точки а будет выполняться неравенство:

(x)

выполняется определение бесконечно большой функции.

18

Примеры:

1. f(x)=sin x, g(x)=x2+1, х 0

2.f (x) x2 , g(x) ex (x 1 )

x a (x)

существует.

19

Примеры эквивалентных бесконечно малых функций при

х0:

1)sinx ~ x;

2)tgx ~ x;

3)ln(1+x) ~ x;

4)1–cosx ~ x2/2;

5)ax–1~ xlna;

6)k1 x 1~ x/k.

Доказательство:

1. sinx ~ x при х 0

первый замечательный предел

где e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.

t ax 1