Пределы функции одной переменной. Учебное пособие

k

lim t 1 tk 1 tk 2 ... t 1

6.= k 1. k

Теорема 1: Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций (х)~ (х) является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с каждой из них.

Доказательство. Пусть (х) и (х) – эквивалентные бесконечно малые функции при х а. Тогда

( х а).

21

Теорема 3: Сумма конечного числа бесконечно малых функций различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка малости.

Доказательство. Пусть в сумме бесконечно малых функций

Что и требовалось доказать.

Данные теоремы применяются для нахождения пределов.

x a 0

найдется отвечающее ему >0, обеспечивающее при выполнении

О. Функция называется непрерывной на [a, b], если она непрерывна в каждой точке отрезка.

Для того чтобы существовал предел функции в точке х0:

lim f x A, необходимо и достаточно, чтобы одновременно x x0

существовали и были равны предел функции в точке справа и предел функции в точке слева:

Непрерывность функции в точке

Пусть имеются числовое множество Е R, функция f : E R, точка а Е.

О. Функция f(х) называется непрерывной в точке а , если

>0 >0 х Е: х a f (x) f (а) .

Пусть функция у=f(х) определена в точке х0 и ее окрестности. Если аргумент х получит приращение ∆х в точке х0, то есть х=х0+∆х – новое значение, то функция получит приращение ∆у. Новое значение функции будет у0+∆у = f(х0+∆х), а приращение функции

∆у = f(х0+∆х)– f(х0) (рис.1).

y

f( f

x

Рис. 1

О. Функция f(х) называется непрерывной в точке х0, если 1) она определена в точке х0 и ее окрестности;

23

2) lim у 0.

x 0

О. Функция f(х) называется непрерывной в точке х0, если 1) она определена в точке х0 и ее окрестности;

2) lim f (x) f (х0) .

x х0

Непрерывные функции обладают следующими свойствами. Свойство 1: Если функция f(х) непрерывна в точке х0, то она

ограничена в некоторой ее окрестности.

Иначе говоря, что для всех x V(x0 ) справедливо неравенство: a–1<f(x)<a+1.

Это доказывает ограниченность функции f в окрестности т.

V(x0). Доказано.

Свойство 2: Если функция f(х) непрерывна в точке x0 и

окрестности точки x0 .

Свойство 3: Если функции f(х) и g(х) непрерывны в точке а, то функции f ±g , f ∙ g , f / g (g(a) 0) непрерывны в точке а.

24

Доказательство. Если существуют конечные пределы

Непрерывность функции в точке означает существование у нее в этой точке конечного предела, равного значения функции в этой точке.

Свойство 4: Пусть функция f : E R непрерывна в точке а,

функция g : F R ( f (E) F ) непрерывна в точке f(а), тогда функция g◦ f непрерывна в точке а.

О. Функция f(х) называется непрерывной на множестве Х,

если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Множество функций, непрерывных на множестве Х,

объединяют в класс и обозначают С[Х].

Пример: C a,b или Ca,b –множество функций непрерывных на отрезке a,b .

Точки разрыва

О. Точка х0 называется точкой разрыва функции у=f(х), если функция не является непрерывной в точке х0.

Введем определения односторонних пределов.

25

условию f (х0 0) = f (х0 0) = f (х0).

Классификация точек разрыва:

3) точка х0 – точка разрыва 2–го рода: все остальные точки разрыва.

Вычисление пределов

Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.

1. Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, т.к. предел

элементарной функции f(x) при х а, которое входит в область определения, равен частному значению функции при

х=а, т.е. lim f(x)=f(a).

x a

26

2. Если х или аргумент стремится к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.

Ниже приведены простейшие пределы, основанные на свойствах пределов, которые можно использовать как формулы:

отдельности.

В этом разделе будут приведены основные способы раскрытия неопределенностей. Сначала нужно убедиться, что предел функции нельзя найти непосредственной подстановкой.

1. Случай, когда при х а функция f(x) представляет

а) Сначала нужно убедиться, что предел функции при указанном изменении аргумента представляет отношение двух бесконечно малых величин. Делаются преобразования, чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к 0. Согласно определению предела функции аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда с ним не совпадая.

Если ищется предел функции при х а, то необходимо помнить, что х не принимает значения а, т.е. х а.

б) Применяется теорема Безу. Если ищется предел дроби, числитель и знаменатель которой многочлены, обращающиеся в 0 в предельной точке х=а, то согласно вышеназванной теореме оба многочлена делятся без остатка на х-а. Раскладываем многочлены на множители, используя формулы сокращенного умножения, или формулы нахождения корней.

a2 b2 a b a b ;a b 2 a2 2ab b2 ;a b 2 a2 2ab b2;

a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3;a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 ; a3 b3 a b a2 ab b2 ; a3 b3 a b a2 ab b2 .

ax2 bx c 0. Находим корни:

x1,2 b D , где D b2 4ac . Тогда

2a

ax2 bx c a(x x1)(x x2).

в) Уничтожается иррациональность в числителе или в знаменателе путем умножения числителя или знаменателя на сопряженное к иррациональному выражение, затем после упрощения дробь сокращается.

г) Используется 1-й замечательный предел (1).

д) Используется теорема об эквивалентности бесконечно малых и следующие б.м. если х 0:

28

Так как х 3, то числитель дроби стремится к числу 32+5 3+4=28, а знаменатель - к числу 3+11=14. Следовательно,