Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Предел и непрерывность функции одного аргумента. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

537 Кб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

С. А. КАРАКАЗЬЯН, О. В. СОЛОВЬЁВА

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2013

УДК 517.5(075.8)

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент Е. К. Ершов (СПбГАСУ); канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Моисеев (СПбГПУ)

Караказьян, С. А.

Предел и непрерывность функции одного аргумента: учеб. пособие / С. А. Караказьян, О. В. Соловьёва; СПбГАСУ. − СПб., 2013. − 80 с.

ISBN 978-5-9227-0422-9

Пособие предназначено для самостоятельного изучения студентами раздела «Предел и непрерывность функции одного аргумента». Приводятся основные определения и теоремы. Рассматривается методика решения типовых задач и приводятся варианты с заданиями для самостоятельной работы.

Рассчитано для студентов всех специальностей и всех форм обучения.

Табл. 1. Ил. 11. Библиогр.: 4 назв.

Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.

ISBN 978-5-9227-0422-9	© С. А. Караказьян, О. В. Соловьёва, 2013
	© Санкт-Петербургский государственный
	архитектурно-строительный университет, 2013

§ 1. ФУНКЦИЯ, БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ В ТОЧКЕ

Определение. Пусть функция y ( x ) определена в некоторой окрестности точки x0 или в некоторых точках этой окрестно-

сти. Функция y ( x ) называется бесконечно малой в точке x0 ,

если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех x ,

отличных от x0 и удовлетворяющих неравенству

x x0

, имеет

место неравенство

(x)

( 0 0 : x :

x x0

, x x0 )

(x)

Если ( x ) − бесконечно малая в точке x0 , то пишут

lim ( x ) 0 или α(x) 0 при x x0.

x x 0

Свойства функций, бесконечно малых в точке

Теорема 1.1. Сумма или разность двух функций, бесконечно малых в точке x0 , есть функция, бесконечно малая в точке x0 .

Доказательство. Пусть (x) 0 при x x0 и (x) 0 при x x0 . Выберем сколь угодно малое 0.

По условию

( 0 0 : x :				x x		,			x x		0	)		(x)
( 0 0 : x :				x x		,			x x			)		(x)
	1			0				1								2
																2
и ( 0		2	0 : x :		x x		0		2	, x x			)		(x)		.
и ( 0			0 : x :		x x					, x x			)		(x)		.
												0					2
																	2

Возьмем , равное наименьшему из 1 и 2 .

Для всех x , отличных от x0 и удовлетворяющих неравенству

x x0

, будут выполняться оба равенства.

Берем

α( x ) ( x )

( x )

Замечание. Свойство распространяется на любое конечное число слагаемых.

Теорема 1.2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую в точке x0 функцию есть функция, бесконечно малая

в точке x0 .

Доказательство. Пусть y f x − ограниченная функция, т. е.

f x

M , y x – бесконечно малая в точке

x0 функция,

т. е.

( 0 0 : x :

x x

, x x

)

(x)

. Тогда

для

всех

x , отличных от x0 и

x x0

удовлетворяющих неравенству

f x ( x )

f x

( x )

Следствие 1. Очевидно, что бесконечно малая функция является ограниченной, следовательно, произведение двух функций, бесконечно малых в точке x0 , есть функция, бесконечно малая

в точке x0 .

Следствие 2. Так как постоянная величина является ограниченной функцией, то произведение постоянной на функцию, бесконечно малую в точке x0 , есть функция, бесконечно малая в точке

x0 .

§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ

Определение. Пусть функция y f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 или в некоторых точках этой окрестности.

Функция y f (x) стремится к пределу A ( y A) при x , стре-

мящемся к x0 (x x0 ) , если для каждого положительного числа ,

как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех x , отличных от x0 и удовлетворяющих неравен-

ству

x x0

, имеет место неравенство

f (x) A

( 0 0 : x :

x x0

, x x0

f (x) A

) lim

f (x) A.

x x0

Если A есть предел функции f (x) при x x0 , то пишут:

lim f (x) A или f (x) A при x x0 .

x x0

Пример 1.

lim(3x 2) 4.

Пример 2.

x 2

lim tg x 1.

Теорема 2.1. Если функция f (x) имеет предел, равный A, то

ее можно представить как сумму числа		A и бесконечно малой
функции (x), т. е. если lim	f (x) A,	то f (x) A (x).
x x0

Доказательство. Пусть lim f (x) A . Следовательно,

x x0

( 0 0 : x : x x0 , x x0 ) f (x) A ,

т. е. f (x) A 0 . Это означает, что функция f (x) A имеет предел, равный нулю, т. е. является бесконечно малой функцией, кото-

рую обозначим через (x) : f (x) A (x) . Отсюда	f (x) A (x).
Теорема 2.2 (обратная). Если функцию f (x)	можно предста-
вить в виде суммы числа A и бесконечно малой функции (б.м.ф.)
(x), то число A является пределом функции	f (x) , т. е. ес-
ли f (x) A (x), то lim f (x) A .
x x0
Доказательство. Пусть f (x) A (x), где (x) − б.м.ф. при
x x0 , т. е. lim (x) 0 . Тогда
x x0

( 0 0 : x : x x0 , x x0 ) (x) .

А так как по условию f (x) A (x), то (x) f (x) A. Получаем

( 0 0 : x : 0 x x0. , x x0 ) f (x) A .

А это и означает, что				lim	f (x) A .
				x x0
		Напомним основные теоремы о пределах.
		Теорема 2.3. Предел суммы (разности) двух функций равен
сумме		(разности)		их	пределов:		lim	( f 1	( x ) f 2 ( x ))
lim		f1(x) lim	f2 (x).				x x 0

x x0		x x0				f1(x) A,			f2 (x) B. Тогда
		Доказательство. Пусть lim						lim
					x x0			x x0
по теореме 1 о			связи		функции, ее		предела и		б.м.ф. запишем
f1(x) A (x)			и	f2 (x) B (x) .			Тогда	f1(x) f2 (x) A B
( ( x ) ( x ))			(x) (x) − бесконечно малая функция как сум-
ма бесконечно малых. По теореме 2						запишем		f1(x) f2 (x) A B ,
т. е.	lim ( f1(x) f2 (x))				lim f1(x)	lim f2 (x). В случае разности
x x0					x x0	x	x0

функций доказательство аналогично.

Теорема 2.4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

lim ( f1(x) f2 (x))	lim	f1(x) lim	f2 (x) .
x x0	x x0	x x0	lim f1(x) A,	lim f2 (x) B, то
Доказательство.		Так как	lim f1(x) A,	lim f2 (x) B, то
			x x0	x x0
f1(x) A (x) и	f2 (x) B (x) , где (x) и (x) − б.м.ф. Следо-
вательно, f1(x) f2 (x) (A (x)) (B (x)) , т. е.				f1(x) f2 (x) AB

( A (x) B (x) (x) (x)). Выражение в скобках есть б.м.ф. По-

этому

lim ( f (x) f

(x)) A B , т.

е.

lim( f

( x) f

( x)) lim f

(x)

x x0

lim

f 2

( x ) .

x x 0

Теорема 2.5. Постоянный множитель можно выносить за знак

предела: lim (с f (x)) с

lim

f (x) .

x x0

Доказательство.

lim (с f (x))

lim с lim

f (x) c lim f (x).

x x0

Теорема 2.6. Предел дроби равен пределу числителя, делен-

ному на предел знаменателя, предел знаменателя не равен нулю:

f1(x)

lim

(x)

lim

x x0

( lim

f2 (x) 0) .

f2 (x)

x x0

lim f2 (x)

x x0

f1(x) A и

lim f2 (x) B, B 0.

Доказательство. Пусть

lim

x x0

Следовательно,

f1(x) A (x)

и f2 (x) B (x) . Рассмотрим от-

ношение

f (x)

A x

B x AB A x

f2 (x)

B x

B B x

B x

B x A x .

B x

Покажем, что

являетсяограниченной функцией. Будем рас-

B x

сматривать

такие

значения

функции

B x ,

для которых

(так

как

является

бесконечно

малой). Тогда,

B x

Но в этом случае

, а это

значит, что

является ограниченной

B x

функцией.

По свойствам б.м.ф.

B x A x − б.м.ф.

Произведение ограниченной функции на б.м.ф. есть б.м.ф. Обозна-

чим

B x A x x .

x −б.м.ф.

B x

lim f1(x)

f1(x)

x , следовательно,

f1(x)

Тогда

lim

x x0

f2 (x)

x x0

f2 (x)

lim

f2 (x)

x x0

Теорема 2.7 (о трех функциях, связанных неравенствами).

Если три функции f (x) , (x) и (x) связаны неравенствами

f (x) (x) (x) и lim

f (x) lim (x) A,

x x0

то lim (x) A.

Доказательство. Вычтем из всех частей неравенства A.

Тогда f (x) A (x) A (x) A.

По условию:

( 0 1 0 : x : x x0. 1, x x0 ) f (x) A , ( 0 2 0 : x : x x0. 2 , x x0 ) (x) A .

Пусть − наименьшее из 1 и 2 .

Тогда для всех x , отличных от x0 и удовлетворяющих неравенству x x0 , будут выполняться неравенства

f(x) A и (x) A , т. е.

f (x) A и (x) A .

Следовательно, f (x) A (x) A (x) A ,

т. е. (x) A или (x) A .

Получили ( 0 0 : x : x x0. , x x0 ) (x) A ,

а это и означает, что lim (x) A.

x x0

§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ И ОБЛАСТИ

Определение 1. Пусть функция y f (x) определена в точке x0 и в некоторой окрестности этой точки. Функция y f (x) называет-

ся непрерывной в точке x0 , если существует lim f (x) f (x0 ) .
	x x0
Замечание. Из определения непрерывности функции, т. е. из
равенства lim	f (x) f (x0 ) f ( lim x) (предел функции равен
x x0	x x0

функции предела аргумента) следует, что в случае непрерывной функции знак функции и знак предела можно переставлять. Этот результат имеет большое практическое значение, он используется при нахождении пределов непрерывных функций.

Рассмотрим непрерывную функцию y f (x).

Закрепим произвольное значение x0 (рис. 1) и найдем соответствующее ему значение функции y f (x0 ) . Дадим аргументу x0

произвольное приращение x , в результате чего получим новое значение аргумента x x0 x , которому соответствует новое зна-

чение функции f (x) f (x0 x) . Разность между новым значением функции f (x) и старым ее значением f (x0 ) называется приращением функции, соответствующим приращению аргумента x , и обо-

значается y , т. е. y f ( x0	x ) f ( x0	).
y		y f (x)
f (x)
y
f (x0 )

		x
0	x0	x x0 x x

Рис. 1

Определение 2. Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому приращению аргумента x со-

ответствует бесконечно малое приращение функции y , т. е. если

lim y 0.
x 0
Покажем, что это определение эквивалентно определению 1.
Действительно,	lim y lim ( f (x) f (x0 )) lim			f (x) f (x0 ) 0,
	x 0	x x0 0	x x0
т. е. lim f (x) f (x0 ) .
x x0	y f (x)		непрерывной	в интервале
Функция	y f (x)	называется	непрерывной	в интервале

(a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция y f (x) называется непрерывной на отрезке [a,b],

если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке x a непрерывна

справа (т. е.		lim f (x) f (a) ), а в точке	x b непрерывна слева
		x a 0
(т. е.	lim f (x) f (b)).
	x b 0
	Определение 3. Пусть функция y f (x) определена в некото-

рой окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0 . То-

гда x0 называется точкой разрыва функции							y f (x), либо если
функция	y f (x)		не определена в самой точке x0 , либо если она
определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.
Если	в	точке		разрыва существуют			конечные	пределы
lim f (x) a1		и	lim f (x) a2 , то она называется точкой разры-
x x0 0			x x0	0
ва первого рода,			а величина		a1 a2	− скачком функции		y f (x)

в точке x0 .
Если скачок функции y f (x) в точке x0							равен нулю, то точка

x0 называется точкой устранимого разрыва.

Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Теоремы о непрерывности функций следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.

Теорема 3.1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю).

	Доказательство. Пусть функции	f1(x) и	f2 (x) непрерывны
в	точке x0 , а (x) f1(x) f2 (x) ,	тогда	lim f1(x) f1(x0 )
			x x0
и	lim f2 (x) f2 (x0 ) . На основании теоремы 2.3 о пределах имеем
	x x0

lim ( x)	lim [ f1 ( x) f2 ( x)]	lim f1	( x) lim f2 ( x) f1 ( x0 ) f2 ( x0 )
x x0	x x0	x x0	x x0

. Итак, сумма (x) f1(x) f2 (x) есть непрерывная функция. Ана-

логично доказывается непрерывность произведения и частного непрерывных функций.

Теорема 3.2. Пусть функция u (x)	непрерывна в точке x0 ,
а функция y f (u) непрерывна в точке u0	(x0 ) . Тогда сложная

функция f ( (x)), состоящая из непрерывных функций, непрерывна

в точке x0 .

Доказательство. В силу непрерывности функции u (x),

lim (x) (x0 ) u0 , т.	е. при x x0 имеем	u u0 . Поэтому из
x x0	y f (u) имеем: lim
непрерывности функции	y f (u) имеем: lim	f ( (x)) lim f (u)
f (u0 ) f ( (x0 )) .	x x0	u u0
f (u0 ) f ( (x0 )) .
Это и доказывает,	что сложная функция	y f ( (x)) непре-

рывна в точке x0 .

Теорема 3.3. Если функция y f (x) непрерывна и строго монотонна на [a,b] оси Ox , то обратная функция y (x) также непрерывна и монотонна на соответствующем [c; d]отрезке оси Oy .

Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях x , для которых они определены.

Как известно, элементарной называется такая функция, которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия функции от функции) основных элементарных функций. Поэтому из приведенных выше теорем вытекает: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств. Теорема 3.4 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на

отрезке, то она достигает на	этом отрезке своего наибольшего
и наименьшего значений.
Функция y f (x) на рис.	2 непрерывна на [a;b], принимает

свое наибольшее значение M в точке x1, а наименьшее m − в точке x2 . Для любого x [a;b] имеет место неравенство m f ( x ) M .

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]