Предел и непрерывность функции одного аргумента. Учебное пособие

а)

lim

x2

1 x

;

4 x3

x x

x

б)

lim

5n2

3n 2

.

2n 1

n 6n4

а)

lim

2x 7 5

;

3 x

x 9

б)

lim (3 1 x 3

x).

x

а)

lim

( 2 x 2 5 x

2 ) tg ( x 2 )

;

cos x cos 2

x 2

б)

lim

5x 5x2

.

(1

ex ) sin 3x

x 0

4.

Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :

( x ) 5 1 8 x 1;

( x ) ln ( 3 x 1);

x 0 0.

5.

Дана функция

x 1,

x 0

0 x 1

y ( x ) x 3 ,

x 1.

2 x 4 ,

6. Дана функция

y(x)

x2

.

(x 2)

2

а)

lim

3n8

8n 1

;

8n3 1

n

б)

lim

x2 3x

.

3 x3 2x2

x

2. Найти пределы функций:

а)

x2

x 1 1 x

x2

lim

;

x2 x

x 0

б) lim x(

x2 1 x).

x

а)

lim

(1 cos 5x) arcsin x

;

x 0

1 cos 3x

б)

lim

ln ( 3 x )( 2 sin x

2 sin 2 )

.

x 2 ( x 2 ) ln ( 3 x 2

3 x )

4.

Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :

(x) 5 x 1 5 1 5x;

(x) sin x( 1 2x 1);

x 0.

5.

Дана функция

0

3 x ,

x 1

y ( x )

x 2 1, 1 x 1

x 1.

x ,

1.

Найти пределы:

а)

lim

106 n

;

1

n n2

б)

lim

x 3 x 4 x

.

2x 1

x

2.

Найти пределы функций:

а)

lim

4 x x2

2

;

x 1

x 1

б)

lim (

x3 x 1

x3 x 1).

x

а)

lim

tg x sin x

;

x 0

x

3

б)

3

x 3

2 x

lim

.

3x2 1

x 1

9

и (x) , бесконечно малые в точке x0 :

4. Сравнить две функции (x)

( x ) ( x 3)ln( 2 x );

( x ) 3 3 x 2 1;

x 0 1.

5. Дана функция

x 2,

x 1

x,

1 x 4

y(x)

x 4.

x 6,

Вариант № 8

1.

Найти пределы:

а)

lim

3n2

5

;

2n2 3n 1

n

б)

lim

x 3

6x4

.

3x2

1

2.

x

Найти пределы функций:

а)

1 x x2

7 2x x2

lim

;

x 2

x2 2x

б)

lim ((x 1)2 / 3 (x 1)2 / 3 ).

x

а)

lim

ln(1 3 x sin x )

;

x 0 ( 2 x 1) tg x 2

б)

lim

8x

7x

.

6x

5x

x 0

( x ) 1 2cos x ;

( x ) tg ( x

);

x 0

.

3

3

x 3 ,

x 0

y ( x )

x , 0 x 1

1

,

x 1

x

6. Дана функция y(x)

2

.

x2 4

а)

lim

3n3

2n 1

;

1)2

n (n 1)(n2

б)

lim

2x2

1

.

1

x 3 2x3

4

x 1

а) lim

;

x 1

x 1

б)

lim (x4 / 3 (x2 1)2 / 3 ).

x

а)

lim ln(x 2) ln 2

;

x 0

x

5 1

2 x 1

б) lim

.

x 0 ( e x

1) tg 3 x

4.

Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :

(x) sin x sin 2;

(x) 2x2 5x 2;

x 2.

5.

Дана функция

0

sin x,

x / 2

/ 2 x 4

y(x) 1,

x 4 , x 4.

а)

lim

5n2

10

;

(n 2)(n3

1)

n

б)

lim

3x

1

3 x

4

.

3x2 1

x

2. Найти пределы функций:

а)

lim

3

x

;

3x 2 5

x 9

б)

lim x4 / 3 (3

x2 1 3

x2 1).

x

а) lim

ln cos x

;

x 0 ln (1 x 2 )

б) lim

ex2 x e4x

.

4

1 2x 4

10 x

x 3

4.

Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :

(x) x sin 2x;

(x)

3x 1 1;

x0 0.

5.

Дана функция

cos x,

x 0

y(x) 1 x, 0 x 2

x 2.

1,

а)

lim

5n3 9n2 4

;

(n 1)3 (n 2)

n

б)

lim

4

x4 3x

2

.

3

x

x3 10

2. Найти пределы функций:

а)

lim

x 1

x2 1

;

x 1 1

x 0

б)

lim (

4x2 x 1

x2 x).

x

а) lim

cos ( x 1) cos ( 5 x 1)

;

ln (1 x ) ln ( 2 x 1)

x 0

б) lim

5

3 x 5 2

.

( 3

x ) sin ( x

9 )

x 9

4.

Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :

( x ) tg( x 2 2 x 3);

( x ) ( e x 2

1)(e 7 x 2

e 2 x 5 );

x0 1.

5.

Дана функция

cos x ,

x 0

(1 x ) 2 , 0 x 2

y ( x )

0 ,

x 2.

y(x)

x

6. Дана функция

.

(x 3)(x 8)

а)

lim

(n 4)2 (n 3)

2

;

(2n

1)3 (3n

1)

n

б)

lim

2x2

3x

4

.

x4 1

x

2. Найти пределы функций:

а)

lim

3 3x

2 1 1

;

x3 x2

x 0

б) lim

1 (

6x2 1

5x2 4x).

x x

а) lim

7

x 1

1

;

x 0 ( 2 x

3 ) tg x

б) lim

sin ( e x 1

1)

.

ln x

x 1

( x ) sin ( 3 x 1) sin ( x 2 3 );

( x ) 3 2 x 1

27 ;

x 0 2.

5. Дана функция

x 2

1, x 0

0 x / 2

y ( x ) cos x ,

x / 2.

x ,

Вариант № 13

1. Найти пределы:

а)

lim

5n7

8n6 2n2 1

;

(n

1)4 (2n2

1)

n

б)

lim

5

x5

2x

3 x3 1

.

x 3

x

x

2. Найти пределы функций:

а)

lim

3

2x 1 1

;

2 x

x 1 3 x

б)

lim (x

x2 ax b).

x

а)

lim

1

cos3 x

;

x sin x

x 0

б) lim

ln ( x 2 ) arcsin ( x 3 )

.

x 3

ln cos ( x 3 )

4.

Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :

(x) ex 1 e x 1;

(x) sin x;

x 0.

5.

Дана функция

0

x,

x 0

0 x

y(x) sin x,

x .

x 2,

а)

lim

( n 1) 3 ( n 1)

2

;

n

5 n 4 4 n 3 3 n

б)

lim

x2

.

10

x3 x

x

2. Найти пределы функций:

а)

3 1

3x

1 2x

lim

;

x x2

x 0

б)

lim (

x2 a2

x2

b2 ).

x

а)

lim

ln ( 2 x 2 4 x 15 )

;

x 2 3 x 10

x 2

б)

lim

2 cos x 1

.

x / 4

1 tg 2 x

4.

Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :

(x)

3x 1 1;

(x) sin 3x sin 7x;

x0 0.

5.

Дана функция

0 ,

x 0

0 x / 2

y ( x ) tg x ,

x / 2.

x 1,

6. Дана функция

y(x)

x2

.

x

3