Предел и непрерывность функции одного аргумента. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

x2 4x 3 3 x 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

537 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Вариант № 35

Найти пределы:

а)

lim

(2n 1)3 (n2 1)2

;

n7 5n6 n

б)

lim

8x9 1 3x2

x12 x x4

Найти пределы функций:

а)

lim

2x2 32

;

x 4 3 5 x 3 x 3

б)

lim (

x2 4x 1 x).

Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно

малых:

а)

lim

( 8

1 2 x 2 1)(

x 1)

cos 4 x cos x

x 0

cos 3 x arcsin ( x 1)

б) lim

( tg x tg 1) ln x

x 1

4. Сравнить две функции (x)

и (x) , бесконечно малые в точке

x0 :

( x) sinx( 2 x

32);

( x) 1 cos( x 5);

x0 5.

5. Дана функция

x 0

y ( x ) 2

x , 0 x 1

, x 1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их ха-

рактер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x)

Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы функции на концах каждого промежутка.

Вариант № 36

1. Найти пределы:

а)	lim	5n2	1	;
			n)
	n 4n(3
б)	lim	x	x 1		.

	x 4 x2		x 1

2. Найти пределы функций:

а)	lim	x3 x2 4x 4		;
		3	x2 x 3 x 4
	x 2
б)	lim (3		x2 3x 1 3 x2 ) .
	x

3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно малых:

а) lim	cos 3x 1		.
а) lim	(2x 1) sin x		.
x 0	(2x 1) sin x
	cos x
б) lim	2	.
б) lim	esin x esin1	.
x 1	esin x esin1

4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке

x0 :

( x) ctgxln (4 x); ( x) 5tgx 5tg3 ; x0 3. 5. Дана функция

	1	,		x 0
	x	,		x 0
	x
	2 x ,			0 x 1
y ( x )	2 x ,			0 x 1
	( x 3 ) 2
	( x 3 ) 2
					, x 1.
			2		, x 1.
			2

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x) 2 x .

Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы функции на концах каждого промежутка.

Вариант № 37

1. Найти пределы:

а)	lim		(n 3)2 (2n 5)3					;
					3n2 2n	7
	n n5
б)	lim	4		x8 1 3x 2			.
				4	x2 x x
	x

2. Найти пределы функций:

3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно малых:

а)	lim	(ln(x 2) ln 2)(4				x 1	1)	.
а)	lim			arcsin x2				.
	x 0			arcsin x2
б)	lim	5	x 5 2 x		.
б)	lim				.
	x 1 ( e x 2			e ) tg x

4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :

( x) tg4 x;

( x)

x (1 cosx);

x0 0.

5. Дана функция

x 1,		x 0
	1 x 2 , 0 x 1
y ( x )
	1,	x 1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x)	x	.
	x2 1

Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы функции на концах каждого промежутка.

Вариант № 38

1. Найти пределы:

а)	lim	(3n 1)2 (n2 1)					;
			n4 n		2
	n
б)		3	x 1	4 x2
	lim					.
			4 x 2	x
	x

2. Найти пределы функций:

а)	lim		x 3 1		;
		3	x 2 2 3
	x 1			x 1
б)	lim (		x2 1	x2 x) .
	x

3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно малых:

а)	lim	2 sin x	1	.
а)	lim	tg x tg		.
	x	tg x tg
б) lim		cos x cos 2				.
б) lim						.
	x 2 ln ( x 2		5 x 7 )
4. Сравнить две функции (x)							и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :	( x ) lnx ( 4 ctg x				4 ctg1 );		( x ) cos( x 1) 1;		x0 1.
	( x ) lnx ( 4 ctg x				4 ctg1 );		( x ) cos( x 1) 1;		x0 1.
5. Дана функция						x ,		x 0
						x ,		x 0

				y ( x ) 1 x 2 , 0 x 1
								x 1.
						x 1,		x 1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.

6.Дана функция y(x) x2 1 .

x2 4

Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы функции на концах каждого промежутка.

( x 1) 2

Вариант № 39

1. Найти пределы:

а)

lim

(n 1)(n 1)

;

n6 n 1

б)

lim

x2 x x

2x 1

Найти пределы функций:

а)

lim

;

x2 x 1

x 1

б)

lim (x

(x 2)(x 3)).

Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно

малых:

(ex2 1)( 3x 2 1)

а)

lim

cos 2x cos x

x 0

б) limsin( x 2 1)lnx.

x 1

4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке

x0 :
( x) tg x( 2 x 16);	( x) 1 cos( x 4);			x0 4.
5. Дана функция	1 ,
	1 ,	x 0
	x
y ( x )	1 x ,	0 x 1
	x 2	1 ,	x 1

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x) 2 x 1 .

Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы функции на концах каждого промежутка.

Вариант № 40

Найти пределы:

а)

lim

(3n 3)(2n2 1)

;

n5 5n

б)

lim

3 (x 1)(x 2)x 11

Найти пределы функций:

а)

lim

2x2 32

;

5 x

x 4

б)

lim (x x2

2x 5) .

Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно

малых:

sin(x2 25)

а)

lim

x2 2x 36

x 5

x 6

б) lim

ctg x ctg 1

x 1 arcsin( x 1)

4. Сравнить две функции (x)

и (x) , бесконечно малые в точке

x0 :

( x ) sin x (

2 x 3

1);

( x ) sin x sin 1;

x0 1.

5. Дана функция

0, x 0

y(x) x , 0 x 3

2, x 3.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x) 51 x .

Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы функции на концах каждого промежутка.

Рекомендуемая литература

1.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1 / Н. С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2008. – 416 с.

2.Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1 /

Л. Д. Кудрявцев. – М.: ФМЛ, 2005. – 400 с.

3.Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 1 / Д. Письменный. – М.: Айрис-Пресс, 2006. – 288 с.

4.Ильин В. А. Основы математического анализа. Ч. 1 / В. А. Ильин,

Э. Г. Позняк. – М.: ФМЛ, 2005. – 648 с.

Оглавление

§ 1. Функция, бесконечно малая в точке …………………………………

§ 2. Предел функции ………..……………………………………………....

§ 3. Непрерывность функции в точке и области …………………………

§ 4. Раскрытие неопределенностей вида , 00 и [ ]...……....

§5. Замечательные пределы.……………………………………………….

§6.Эквивалентные бесконечно малые функции………………………….

§7. Сравнение бесконечно малых……………………………….…………

§8. Примеры решения задач на непрерывность функции………………..

Варианты индивидуальных заданий ………………………………..……

Рекомендуемая литература….…………………………………………………

Учебное издание

Караказьян Светлана Ардаваздовна Соловьёва Ольга Валентиновна

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

Учебное пособие

Редактор В. А. Преснова Корректор М. А. Молчанова Компьютерная верстка И. А. Яблоковой

Подписано к печати 26.08.2013. Формат 60 84 1/8. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,7. Тираж 1000 экз. Заказ 71. «С» 32.

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.

Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.

ДЛЯ ЗАПИСЕЙ

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]