Предел и непрерывность функции одного аргумента. Учебное пособие

Вариант № 25

1.

Найти пределы:

а)

lim

4n4 5n3 7

;

3n2

6n 1

n

б)

lim

x4 3

2x2 1

.

4

2.

x x2 5 3x3

Найти пределы функций:

а)

lim

3

3x 8 x

2 2

;

x2

x

x 0

б)

lim (

x4 2x2

1

x4 2x2 1).

3.

x

Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно

малых:

ex 4 e6 x3

а)

lim

;

x

x 2 ln(2x

3) sin

4

2 )

б)

lim

sin ( 3 x x

.

(

x 16 4 )(

x

x 0

9 1)

4. Сравнить две функции (x)

и (x) , бесконечно малые в точке

x0 :

x );

1 tg 3 x tgx;

.

( x ) cos(

( x )

x 0

5. Дана функция

6

3

3

x 3 ,

x 1

1, 1

x 3

y ( x )

x 3 , x 3.

Вариант № 26

1.

Найти пределы:

а)

lim

4n6 8n4

3

;

6n4 3n3

1

n

б)

lim

x4 4 3 x5 3

.

x5

5

2.

x

Найти пределы функций:

а)

3

x 27

3 27 x

;

lim

23 x4

x

x 0

б)

lim (

4x4 13x2 7 3x2 ) .

x

а)

lim

2

cos x 1

;

(1 2 cos x) sin2 x

x 0

б)

lim

e x sin x 1

.

ln ( x 1)

x 0

x0 :

( x ) 2 x 2

2;

( x ) ctg x ctg1;

x0 1.

5. Дана функция

x, x 0

2,

0 x 1

y(x) x

x 1.

x,

Вариант № 27

1.

Найти пределы:

а)

lim

7n4 4n2 4

;

8(2n 1)3 (3n 1)

n

б)

lim

3 5x4 3x 2

.

x 1 4 x3 4x

x

1

2.

Найти пределы функций:

а)

lim

x 1 1 x

;

x 0 3 x 1 3 1 x

б)

lim (3 x3 3x2 4x 3

x3 3x2 4) .

x

а)

lim

( 2 x ) cos ( x 1)

;

x ) sin ( x

1)

x 2 sin ( 3

б)

lim

4 x 2

x 1 4 x 1

.

ln ( x

1) ln (1 x )

x 0

x0 :

(x) ex2 3 e3;

(x) ( 3 x x 3)3;

x 0.

5. Дана функция

0

2

, x 0

x

y ( x )

x 2 ,

0 x 2

7 ,

x 2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их ха-

рактер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x)

x

3 .

2

x

Вариант № 28

1.

Найти пределы:

а)

lim

(3n

4)4 (5n 1)

;

(5n 3)3 (2n 1)2

n

б)

lim

x4

4x

x5 6x3 1

.

3 x6

4x

x

2.

Найти пределы функций:

а)

lim

x2

;

1 (x 1)

x 0 3 3x

б)

lim ( 2x4 8x2

3

x4 x2 ) .

x

3

x 2 1

1

1 x

а) lim

;

x 0 ln (1 x 2

) tg x

б) lim

1 cos ( 3 x 3 )

.

x 1

( x 3 )( x 1) 2

(x)

x2 2x x;

(x) 5x 1 5;

x 0.

0

( x 1) 2

, x 1

4 x 2 ,

1 x 2

y ( x )

0 ,

x 2.

Вариант № 29

1.

Найти пределы:

а)

lim

8n9

9n8 n

;

3n5 1

n 6n10

б)

lim

3 2x2 4x 5x5 3x

3 4

.

3 x4

x

2.

x

Найти пределы функций:

а) lim

3

x 5 ;

x 4

1

5 x

б)

lim ( x2 2x 2 x2

x).

x

6. Дана функция y(x) 2x

1

.

(x 1)2

Вариант № 30

1.

Найти пределы:

а)

lim

10n8 1

;

(n4

1)(2n4 1)

n

б)

lim

3 3x 2

.

3 x

5x

2.

x

Найти пределы функций:

а)

lim

x2

x 1 1

;

x

x 0

б)

lim x3 / 2 (

x 2 2

x 1) .

x

7

4x

1

x2 x 6

а)

lim

;

ln(5 x2 )

x 2

б)

lim

ex x sin x

.

x5

3x2

x 0

(x) 1 cos3 x;

(x) x(3x2 1 3);

x 0.

5. Дана функция

0

x ,

x 0

y ( x )

0 x / 2

ctg x ,

0 ,

x / 2.

а)

lim

n4

5n 1

;

10n3

2n2

3

n

б)

lim

x2

2x 3

.

4x

3 x2

x

а)

lim

2x 3 3

;

x 2 1

x 3

б)

lim (3 x3 4x2

x) .

x

а)

lim

ctg x

;

x / 2 arcsin x ( 2 x )

б)

lim

( 6

1

x 6 4 x 1 ) tg 2 x

.

ln cos5 x

x 0

( x ) sin x sin1;

( x ) tg x ( e x 3

e );

x 0 1.

5. Дана функция

1,

x 1

x 3 , 1 x 1

y ( x )

x 1.

x 1,

6. Дана функция y(x)

x

.

1

x2

1.

Найти пределы:

а)

lim

1 n n4

;

5n4

4n3 n 1

n

б)

lim

3

x3 1

.

x

x2 3x x

2.

Найти пределы функций:

а)

lim

x

2 2x

;

x2

6x

4

x 2

б)

lim (3 x3 x x) .

3.

x

Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно

малых:

ex2

а)

lim

1

;

x 0 ln cos 2x

б)

lim

sin x ( 4 cos x

4 cos 5

)

.

x 5 ln ( x 2 24 ) (

x 4 1)

4. Сравнить две функции (x)

и (x) , бесконечно малые в точке

x0 :

(x) sin x(2x 4);

(x) 4

x2 1

4 7 x;

x 2.

5. Дана функция

0

x 2 ,

x 0

y ( x )

sin x ,

0 x

2

2 ,

x .

2

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их ха-

рактер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x)

x2

.

x(4 x)

а)

lim

(n 2)2 (n 1)2

;

6n 1

n

б)

lim

x3

x x

.

3 x

4

x x

x

а)

lim

x 24 5

;

x3

1

x 1

б)

lim (3 x3

2x2

3

x3 x2 1) .

x

x0 :

( x) ( e x 1)ln( x 2

( x) cosx cos3;

3 x 1);

x0 3.

5. Дана функция

2 , x 2

1

, x 0.

x

6. Дана функция

y(x)

x3

.

x2

3

а)

lim

(n 1)3 (n 1)3

;

n2 2

n

б) xlim

4 x8 4x

.

3

8x6 5x 2x

а)

lim

2x2 x 1

;

3

8x 12

2

1

x 2

б)

lim (

x 1 1

2x2 ) .

x

а)

lim

ex2 3x ex 3

;

(2x 1) ln(2x

5)

x 3

б)

lim

cos 2x 1

.

(5x2

5x )(3 1 x 1)

x 0

x0 :

( x ) tg x ( 3 x

81);

( x ) ln( x 1) sin x;

x0 4.

5. Дана функция

x 2 ,

x 0

x , 0

x 4

y ( x )

5 x ,

x 4.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их ха-

рактер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x)

x2

.

x 3