Предел и непрерывность функции одного аргумента. Учебное пособие

а)

lim

1000n2 100n 10

;

(n 1)2 n

n

б)

lim

3

x2 1

x3 1

.

x 1

x

2. Найти пределы функций:

а)

lim

2x 1 3

;

x 2 2

x 4

б)

lim (

4x2 7x 4 x).

x

а) lim

e x cos 2

x e x

;

tg ( x 1)

x 0 tg (1 x )

б) lim ln x 1.

x e

x e

и (x) , бесконечно малые в точке x0 :

4. Сравнить две функции (x)

( x ) ( x 1)ln( 2 x 2 );

( x ) 3 x 2 3 2 x 2 1;

x 0 1.

5. Дана функция

x, x 0

y(x)

x 2

1/ x, 0

2.

1/ 2, x

а)

lim

n5 2n3 1

;

n n(n 1)3 (2n 1)2

б)

lim

14x 1

.

x 2x 3 x2 x x

2. Найти пределы функций:

а) lim

3

x 6 ;

x 3

1

4 x

б)

lim x3 / 2

( x3 2

x3 2).

x

а) lim ( ctg x

1

);

sin x

x 0

ln ( x 2

б)

lim

1) ln ( 3 x 1)

.

4

16 x 2

x 0

(x) 3 3 x 3

5 x2 ;

(x) tg2 (x 2);

x 2.

5. Дана функция

0

x ,

x 1

( x 2 ) 2 , 1 x 4

y ( x )

4 ,

x 4.

Вариант № 18

1. Найти пределы:

4

а)

lim

(2n 3)

;

3n4 2n3

2n 1

n

б)

lim

9x2 1 3

x2 1

.

x4 1 5

x4

1

x

а)

lim

2

3 x 1

;

x2

49

x 7

б)

lim (

(x a)(x b) x) .

x

а)

lim

ln tg x

;

1 ctg x

x / 4

23x 2x

б)

lim

.

x 1

x 0

x2 1

4. Сравнить две функции (x)

и (x) , бесконечно малые в точке

x0 :

(x) 5 x 1 5 x2

1;

(x) (3x 1) arcsin x;

x 0.

5. Дана функция

0

1/ x,

x 0

0 x

y(x) sin x,

x .

x ,

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их ха-

рактер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x) x

x

.

Вариант № 19

1.

Найти пределы:

а)

lim

(2n 3)3 (3n 1)2

(n

4)4 (5n 6)2

;

n

б)

lim

5x

2 4

4 x

5 1

.

3 x3

2 6

x7

4

x

2.

Найти пределы функций:

а)

lim (

x 1 3)( x 6 2)

;

x 10

x

10

б) lim (3

x3

x2

1 3

x3 x2 1) .

x

а)

lim

( 2 cos x 2 ) sin x

;

tg x 1

x / 4

б)

lim

ln(5x3 1)

.

x sin 5x

x 0

(x) 4 x 1 4 5 x ;

(x) 2x2 2x 2 ;

x 2.

0

2 ,

x 1

1,

1 x 3

y ( x )

( x 4 ) 2 , x 3.

6. Дана функция

y(x)

x2

3x 8

.

(x 1)(x 5)

Вариант № 20

1.

Найти пределы:

а)

lim

(4n)4 (5n 3)

2

;

7n3 5n 4

n

б)

lim

4

2x2 3x x

.

3 x3 1

x

2.

Найти пределы функций:

а)

lim

x2 4 2

;

x2 9 3

x 0

б)

lim (

x3 3x2

x2 2x).

x

3.

Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно

малых:

cos x cos 3 x

а)

lim

;

x 1ln ( x 2

x 0

x 1)

б)

lim

5x2 2x 125

.

sin x

x 1

x0 :

( x) (

6 x 1 5)sin2

( x 2 4);

( x) ln(3x 2) ln8;

x0 2.

5. Дана функция

x,

x 0

y(x) x 1, 0 x 4

x 3, x 4.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их ха-

рактер. Построить график функции.

6. Дана функция

y(x)

x2

.

x2

9

Вариант № 21

1.

Найти пределы:

а)

lim

n3 (3n 4)3

;

(2n2 1)(4n 7)5

n

б)

5 x4 4x 2

3 x2

lim

.

3 x4 4

x

2.

Найти пределы функций:

а)

lim

x 2

2 x

;

x 0 3 x 2 3 2 x

б)

lim x1/ 3 ((x 1)2 / 3 (x 1)2 / 3 ) .

x

б) lim

x 2 1 ( e x 2 2 e 2

)

.

ln ( 3 x ) ln ( x 1)

x 2

4. Сравнить две функции (x)

и (x) , бесконечно малые в точке

x0 :

(x) 4 2x 5 1;

(x) cos x cos 3;

x 3.

5. Дана функция

0

2 x ,

x 1

y ( x )

2 ,

1 x 0

1 ,

x 0.

x

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их ха-

рактер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x)

x2

.

(x

1)2

Вариант № 22

1.

Найти пределы:

а)

lim

2n3 1

;

4n4 2n3 7n2

n 1

n

б)

lim

4 x5 4x x

.

3 x4 1

x

2.

Найти пределы функций:

а)

lim

x 13 2 x 1

;

x 3

(x2 9)(x2 1)

б)

lim ( x2 x 1

x2 x 1).

x

а)

lim

ex2 2x 5 e3

;

3 x 4

3 8 x

x 2

б)

lim

tg ( x

2 3 x )

.

x 0 x sin ( x / 2 )

( x )

x 2 16 4;

( x ) ln( x 3) ln3;

x 0 0.

x 2 2 ,

x 1

x 3

y ( x ) x 2 , 1

4 , x

3.

6. Дана функция y(x)

1

.

x(x 1)

1.

Найти пределы:

а)

lim

5n4 4n2 4

;

(n4 1)2

n

б)

lim

3

x4 3x3 3 x2 2

.

4

x3 3x

x

2.

Найти пределы функций:

а)

lim

4

x 2

;

x 4

x 16

б)

lim (

x(x a) x) .

x

а)

lim

e x 2 2 x 1

e 1

;

x 0 ( x 1) ln ( x 2

3 x 1)

б) lim

3 x 2 6 x 9

.

2 x )

x 1 cos x cos ( 3

( x ) sin x ;

( x ) ln ( x 2

2 x 7 );

x 0 2.

5. Дана функция

x 1, x 0

4

y ( x ) x 1, 1 x

x 2 8 x 21, x 4.

Вариант № 24

1.

Найти пределы:

а)

lim

5(n 4)4 (3n 1)3

;

3(4n 1)3 (n 3)4

n

б)

lim

3x2

x4

4x

.

x2 3x 3 x4

2.

x

Найти пределы функций:

а)

lim

2x 9 5

;

3 x 2

x 8

б)

lim ( 3x2 5x 6 x) .

3.

x

Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно

малых:

1

1

а)

lim

sin x

sin 2

;

x 2 ( x 2 ) arcsin ( x 2 )

б)

lim

ln ( x a ) ln a

.

x 0

x

4. Сравнить две функции (x)

и (x) , бесконечно малые в точке

x0 :

( x ) 2 x 2 8;

( x ) tg2 x ( 4 x 2

2 x 2 1);

x 0 1.

5. Дана функция

1 , x 0

x

y ( x )

1 x , 0 x 1

x 1, x 1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их ха-

рактер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x)

x

.

(x2 4)(x 3)