Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Предел и непрерывность функции одного аргумента. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

537 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

( x ) sin ( 2 x 1) sin ( x 2 );

( x ) 2 2 x 2 1

8 ;

x 0

Решение.

lim

( x )

lim

sin ( 2 x 1) sin ( x 2 )

( x )

x x 0

x 1

2 x 2

Под знаком предела преобразуем числитель

sin ( 2 x 1) sin ( x 2 ) 2sin 2 x 1 x 2 cos 2 x 1 x 2

x 1

3x 3

x 1

3x 3

при x 1, так как беско-

2sin

cos

~ 2

cos

нечно малая функция sin

x 1

эквивалентна

x 1

(при x 1).

(x) 22x2 1 8 23 (22x2 1 3

1) ~ 23 (2x2 2) ln 2

при x 1.

x 1

3x 3

cos

(x 1) cos

cos 3

Получим lim

lim

2) ln 2

16(x 1)(x 1) ln 2

x 1

23 (2x2

x 1

32 ln 2

Значит, (x) и (x) – бесконечно малые одного порядка.

Пример 4.3. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно

малые в точке x0 :

( x ) ( 5

x 2 1)( e tg x

e tg 3

);

( x ) ln (1 x 2

3 x );

x 0

Решение.

lim

( x )

lim

( 5

x 2 1)( e tg x e tg 3 )

( x )

ln (1 x 2 3 x )

x x 0

x 3

Преобразуем бесконечно малую функцию

( x ) ( 5 x 2 1)( e tg x e tg 3 ) .

Множитель 5

x 2 1 5

1 (x 3) 1 ~

x 3

при x 3, а

e tg x e tg

3 e tg 3 ( e tg x tg 3

1) ~ e tg 3

( tg x tg 3 ) при x 3. Да-

лее получим

tg x tg 3

sin ( x 3 )

x 3

при x 3. Преобразуем беско-

cos x cos 3

нечно малую функцию ( x ) ln (1 x 2 3 x ) ~ ( x 2 3 x ) при

x 3.

Подставляем полученные эквивалентные функции в исходный предел

x 3

e tg 3 ( x 3 )

e tg 3

( x

3 ) 2

lim

x ( x 3 )

x 3 cos x cos 3 ( x 2 3 x )

x 3 5cos x cos 3

lim

e tg 3

( x 3 )

15cos 2

x 3

Тогда (x)

бесконечно малая более высокого порядка, чем (x) .

§ 8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Пример 5.1. Дана функция

	2	,	x 0
y(x)	x		0 x 2
y(x)	4,
	4,

6 x, x 2

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции (рис. 7).

Рис. 7

Решение. На интервалах(0;2),( 2; ) функция непрерывна.

Проверке подлежат только точки x 0 и x 2 . Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке. Рассмотрим точку x 0.

lim	y(x)	lim 2	,	lim y(x)	lim 4 4 .
x 0		x 0 x		x 0	x 0

Значит, x 0 − точка разрыва функции второго рода. Рассмотрим точку x 2 .

lim	y(x) lim 4 4 ,	lim y(x)		lim		(6 x) 4, y(2) 4 , значит,
x 2 0	x 2 0	x 2	0	x 2	0
в точке x 2 функция непрерывна.
	Ответ. Функция		непрерывна			на интервалах ( ; 0 ) ,

( 0 ; ) ,

x 0 − точка разрыва функции второго рода.

Пример 5.2. Дана функция

x, x 0

y(x) sin x, 0 x2, x .

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции (рис. 8).

Решение. На интервалах( ; 0 ) , ( 0 ; ) , ( ; ) функция не-

прерывна. Проверке подлежат точки x 0 и x . Рассмотрим односторонние пределы функции в точке x 0.

	lim y ( x ) lim		x 0,
	x 0	x 0
lim	y ( x ) lim sin x 0, y ( 0 ) sin 0 0.
x 0	x 0		x 0 равны между собой и
Односторонние пределы в точке			x 0 равны между собой и

совпадают со значением функции, значит, в точке x 0 функция непрерывна.

Рассмотрим точку x .

lim	y(x) lim	sin x 0 , lim	y(x)	lim 2 2, значит,	x −
x 0	x 0	x 0		x 0

точка разрыва функции первого рода.

Рис. 8

Ответ. Функция непрерывна на интервалах ( ; ) , ( ; ) , x − точка разрыва функции первого рода.

Пример 5.3. Дана функция

x 2,			x 1
	2	,	1 x 2
y(x) x
			x 2.
4,

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции (рис. 9).

Решение. На интервалах( ; 1) , ( 1;2),( 2 ; ) функция не-

прерывна.

Рассмотрим односторонние пределы функции в точке x 1.

lim	y(x)	lim (x 2) 1,	lim	y(x)	lim ( x2 ) 1.
x 1 0		x 1 0	x 1 0		x 1 0

Односторонние пределы в точке x 0 конечны и не совпадают, значит, x 1 − точка разрыва функции первого рода.

Рассмотрим точку x 2 .

lim	y(x)	lim ( x2 ) 4 ,	lim	y(x)	lim ( 4) 4,
x 2 0		x 2 0	x 2 0		x 2 0

y(2) 22 4 , значит, в точке x 2 функция непрерывна. y

	0	2	x
	1
	4
	4
	Рис. 9
Ответ.	Функция	непрерывна	на	интервалах

( ; 1 ) , ( 1; ),

x 1 − точка разрыва функции первого рода.

Пример 6.1. Дана функция y(x) 2x 5 .
						x 10
Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы
функции на концах каждого промежутка.
Решение.			Функция			непрерывна			при
x ( ; 10 ) ( 10 ; ) .
		5						5
lim 2x 5	lim		2 x	2,	lim	2x 5	lim	2 x	2.
lim 2x 5	lim	10		2,	lim	2x 5	lim	10	2.
x x 10	x	10			x x 10		x	10
		1 x						1 x

Точка разрыва x 10 − второго рода. Найдем односторонние пределы

lim	2x 5	;	lim		2x 5	. Знак предела зависит от
x 10	0 x 10		x 10	0	x 10

знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель стремится к –15, но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, а в пределе справа – положительным (рис. 10).

–10

Рис. 10

Пример 6.2. Дана функция	y(x)	1	.
		(x 1)(x 2)

Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы функции на концах каждого промежутка (рис. 11).

Решение. Функция непрерывна при

x ( ; 2 ) ( 2 ;1) (1; ).

lim	1	0,	lim	1	0.

x (x 1)(x 2)			x (x 1)(x 2)

Рассмотрим точку x 2 − это разрыв второго рода. Найдем односторонние пределы

lim	1	;	lim	1	. Знак предела
	(x 1)(x 2)			(x 1)(x 2)
x 2 0			x 2 0

зависит от знаменателя дроби.

–2

Рис. 11

Пример 6.3. Дана функция y(x) 3

x 1

Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы

функции на концах каждого промежутка.

Решение. Функция непрерывна при x ( ,1) (1, ).

30 1.

lim 3

x 1

lim

x 1

Точка разрыва

x 1.

Рассмотрим предел

lim

показа-

x 1 0 x 1

тель

степени стремится

в минус бесконечность,

когда x 1 0

[3 ] 0. Аналогично

(слева), тогда

lim 3

x 1

предел

справа

x 1 0

2		[3 ] .
lim 3	x 1
x 1 0

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

							Вариант № 1
1.	Найти пределы:
	а)	lim	3n2 5n 4				;
			2n3 6n2		3
		n
	б)	lim	3x4 2			.
			x8 3x		4
2.		x
	Найти пределы функций:
	а)	lim	1 2 x 3		;
			x 2
		x 4
	б)	lim (	x	x			x x ) .
		x

3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно малых:

а) lim	cos x		;
	( 2x)(1 4x)
x / 2
б) lim	x tg ( 3 x )	.

x 0	2 1 x 2

4.	Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке
x0 :
	( x ) ln ( x 2 3 x 1);	( x ) ( x 3 )(		x 1 2 );	x 0 3.
5.	Дана функция	x ,	x 0
		x ,	x 0
			0 x 1
	y ( x ) x 2 ,		0 x 1
			x 1.
		2 ,	x 1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.

6. Дана функция	y(x)	x3		.
		x	2

Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы функции на концах каждого промежутка.

Вариант № 2

Найти пределы:

а)

lim

5n4 7n3

;

3n2 2n 1

б)

lim

3x2

x2 x

Найти пределы функций:

а)

lim

x 13 2

x 1

;

x2 9

x 3

б)

lim

1 ( 5x2

8x 3

3x2 4x 3).

x x

3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно малых:

а) lim (1 cos 5xx2)(2 x2 ) ;

x 0

б) lim ln(1 x)(sin x sin1) .
x 1	sin x ln x

4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке

x0 :
(x) ex2 2x e3;	(x) 3 5x 4 1;				x 1.
5. Дана функция					0
5. Дана функция	x2	,	x	0
	x2	,	x	0
y(x)				x 2
y(x)	2 x, 0			x 2
			x	2.
	0,		x	2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x) 5 x 3.

Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы функции на концах каждого промежутка.

Вариант № 3

1. Найти пределы:

а)	lim	6n5 7n4 3			;
		7n6 5n2		4
	n
б)	lim	x	x	x		.
			x 1
	x

2. Найти пределы функции:

а)	3	x 6	2
	lim			;
		x3	8
	x 2
б) lim x(		x2 1			x2 1).
	x

3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно малых:

а)	lim		tg x tg x 0			;
			x x 0
	x x 0
б)	lim	5	(1 x ) 3	1			.
		x ln (1 x 2			)
	x 0

4. Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :

(x) 3x 3x2 2 ;	(x) x2 3x 2;			x 1.
5. Дана функция				0
5. Дана функция	2	x,		x 0
	2	x,		x 0
		2	1, 0 x 1
	y(x) x		1, 0 x 1
		x,		x 1.
	3	x,		x 1.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x) 1x x 1 2 .

Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы функции на концах каждого промежутка.

Вариант № 4

1. Найти пределы:

а)	lim	4n3 2n2 n			;
		3n3	2n 1
	n
б)	lim	3 x2 x		.
		x 2
	x

2. Найти пределы функций:

а)	lim	x	a	x a	;
			x2 a2
	x a
б)	lim (x 3		1 x3 ).
	x

3. Найти пределы с помощью замены эквивалентных бесконечно малых:

а)	lim			sin x cos x ;
	x	/ 4		4x
б)			esin 2x esin 4x
	lim				.
		3
	x 0			1 x2 3 1 x

4.	Сравнить две функции (x) и (x) , бесконечно малые в точке x0 :
(x)		5 x	5 x;	(x) ln(x2		4x 1); x	0.
5.	Дана функция					0
5.	Дана функция			x 1,		x 0
				x 1,		x 0
					( x 1) 2 , 0 x 2
			y ( x )		( x 1) 2 , 0 x 2
					3 ,	x 2.
					3 ,	x 2.

Указать промежутки непрерывности, точки разрыва и их характер. Построить график функции.

6. Дана функция y(x) e2 x .

Указать промежутки непрерывности и исследовать пределы функции на концах каждого промежутка.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]