Пределы функции одной переменной. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример 19. lim

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Здесь числитель и знаменатель дроби при х 5 стремятся к 0

(неопределенность вида ), разложим числитель и знаменатель на

(x 5)(x 5)

множители (см. п.1б), получим

если

х 5,

то имеем

xlim5 (x 2)(x 5)

x2 25

(x 5)(x 5)

x 5

lim

= lim

2 7x 10

x 2 x

x 5

(x 2)(x 5)

x 5 x 2

При х 5 дробь

x 5

стремится к числу

x 2

x2 25

Итак,

lim

x 5 x2 7x 10

Аналогично, используя п.1б) можно решить следующие

примеры 7-12.

Пример 7.

x2 4

lim

x 2 x2 x 6

lim

x 2 x 2

lim

x 2

x 3 x 2

x 2

x 2 x 3 5 .

lim

x2 4

Пример 8.

x 2 x2 5x 6

lim

x 2 x 2

lim

x 2

4 .

x 3 x 2

x 2

x 2 x 3

Пример 9.

x 5 x 5

2 25

x 5 10

lim

x 5

lim

x 5

	Пример 10.																									x 1 x 2
x2 x 2											0															x 1 x 2
lim																		lim
lim			3 1									0						lim				x 1
x 1		x	3 1									0					x 1					x 1										2	x 1
		x																												x
lim		x 2									3				1.
lim															1.
x 1 x2 x 1								3							4x2
															4x2				7x 3										0					4 7 3							0
	Пример 11. lim
	Пример 11. lim																																	1 3 4
											x 1 x2						3x 4												0					1 3 4							0
													3
				4 x 1 x
				4 x 1 x
	lim												4						4 3						1		.
	lim				x 1 x 4														5								.
		x 1			x 1 x 4														5			5
																																							3
																																					x		2	1
																																			x		x		2	1
															x2
															x2						x		0
	Пример 12. lim																												lim
	Пример 12. lim																												lim									1
											x 1					x 1							0								x 1							1
											x 1					x 1							0								x 1					x2 1
																																				x2 1
										1 3																			1						1				2			1

							x2																												x2
						x	x2							1												x		x2 1							x2						x2 1



	lim																	lim																									3
	lim								1									lim																		1							3
		x 1							1											x 1																1
							x2 1																											x2 1
																				x2 5				2								0
		Пример 13.										lim
		Пример 13.										lim									x 3
												x 3									x 3											0

Согласно п.1в), умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к числителю. Получим

lim	x2 5 2	x2	5 2
	x 3
		x2 5 2
x 3

Раскрывая скобки в числителе, получим

lim

( x2 5)2 2

lim

x2 5 4

x 3

5 2

(x 3)

5 2

(x 3)

x2 9

lim

(x 3)(x 3)

= lim

x 3 (x 3)

x2 5 2

x 3 (x 3)

x2 5 2

lim

x 3

3 3

x 3

x2 5 2

32 5 2 4 2

Аналогично, используя п.1в) можно решить примеры 14-15.

Пример 14.

lim

x 6

lim

x 6

2 x 6

x2 x 6

x 3 x

x 3

x 6

lim

x 3

lim

x 3

x 3 x 2

x 6 3

x 3 x 2

x 6 3

5 6

lim

1 x

Пример 15.

x 0

lim

1 x

x 0

x 1 x 1 x

lim

x 0 x 1 x 1 x

x 0

1 x 1 x

Пример 16.

x2 x 2 (х 2)

lim

2x2

x 2

lim

3 x2

x 1

3 x2 x x3

1 x3

x 1 3x

x 1 x

lim	x2	1 x 2		.
lim	2 x 1 x x2	1 x 1 x2 x 1		.
x 1 x	2 x 1 x x2	1 x 1 x2 x 1
lim	x	2 1 x 2
lim	2 x 1 x x 1 (х 1) x 1 x2		x 1
x 1 x	2 x 1 x x 1 (х 1) x 1 x2		x 1
	(х 1) x 1 x 2
lim
lim
x 1 (х 1)(x2 x x 1 x2 x 1)

lim (х 1) x 2 1. x 1 3x2 2х 1

2. Неопределенность вида .

Пример 17.

n 1

1 2 3 ... n 1

lim

		n						n 1								1	1	1
		n		n 1				n 1								1	n	1
lim						lim								lim			n		.
lim						lim								lim					.
n 2n2						n 2n				n 2								2
	Пример 18.											1
												1
											1			1	n
											1			1
										2
				1	1		1			2				2
	lim								lim
	lim						2n		lim					1
	n			2 4			2n		n				1	1
				n									1	2
														2
		1
		1
lim	1				1.
lim	1		2		1.
			2
n
									34

Используя п.2а), разделим и числитель, и знаменатель на наивысшую степень х, т.е. на х2:

				x2	1
	x2
		1		x2		x	2	1 0
		1		x2		x	2	1 0
lim			lim						1
lim			lim						1
x x2 x			x x2			x		1 0
				x2		x	2
				x2		x	2

Этот же пример можно решить с помощью правила (3):

	x2		1
lim
		2	x
x x

{так как высшая степень числителя равна 2 и высшая степень знаменателя тоже равна 2, то получаем третий случай этого правила,

когда m=n}=1

2x2 7x

Пример

20. lim

lim

x x2 x3 2

x x

lim

x x2

Решим этот же пример, используя правило (3 ).

	2x2		7x
lim					{высшая степень числителя равна 2, а
		2 x3
x x				2

высшая степень знаменателя равна 3, получаем второй случай правила

(3)}=0.

С помощью п.3., решим примеры 21-28.

Пример 21.						2			5
						2			5
	3x2 2x 5				3
	3x2 2x 5				3			x					x2			3
lim			lim														3.
lim			lim			4 3										1	3.
x x2 4x 3				x		4 3										1
					1
					1		x					x2
Пример 22.										3				4
						1				3				4
		x2 3x 4				1											1
		x2 3x 4									x x2						1
lim				lim														.
lim				lim					1 2								2	.
x 2x2 x 2				x					1 2								2
						2
						2					x				x2

Пример 23.

	x3 5				1		5
					1		x3		1
							x3		1
lim				lim								.
lim				lim		3						.
x x2 3				x 1		3			0

					x			x3			2			3
			2x 3								2			3
														x2
											x			x2
Пример 24. lim							lim
Пример 24. lim				2 2			lim					2
		x x		2 2					x			2
										1
										1			x2

0 0.

	Пример 25.
												х2				1
												х2		1		1
			x2 1													x2
			x2 1													x2
lim									lim
lim			x 1						lim						1
x			x 1						x						1
												х 1
												х 1
															x
				х	1		1				1			1
	lim			х	1			x2	lim		1			x2			1	1.
								x2						x2			1
						1
													1				1
		x							x				1				1
				х 1						1
				х 1			x			1
							x							x
									36

2 x3 9

Пример 26.

lim

x2 x 2

3х2

х4

lim

. lim

х2

Пример 27.

lim

x 1

Предел при неограниченном возрастании х справа не равен

пределу слева, а значит и предела при х не существует.

8x3 1

Пример 28.

lim

5 x5 3

5				1	3
	1 x2		3	8 x3	3
lim						3.

			3
x			3		1
5		1 x5
5

Пример 29.

	lim	2n 1 3n 1
	lim	2n 3n
	n	2n 3n

limn

3
2		n
			2 3
			2 3
					3.
	3				3.
		2	n	1
				1

			sin 7x			0
Пример 30. lim
Пример 30. lim				x		0
	x 0			x		0
Согласно п.2г) для вычисления используем первый
замечательный предел (1):
lim	sin(7x)(7x)	0

	x(7x)
x 0	x(7x)	0
					37

Так как аргумент функции равен 7х, то для использования формулы (1) домножили числитель и знаменатель на 7х:

lim 7sin(7x) =7 1 7.

x 0 7x

Применили формулу предела произведения функций. По

формуле (1) предел

lim

sin(7x)

x 0

Используя первый замечательный предел (1), вычислим

пределы 31-33.

Пример 31.

sin3x 3x

3x 5x

sin3x

lim

tg5x

x 0

x 0 tg5x 3x

x 0 tg5x 5x

= lim

x 0

5x 5

Пример 32.

sin7x

lim

x 0 tg2x

x 0 sin2x

x 0

7cos2x

cos2x

lim

3,5.

x 0

Пример 33.

sin 2x

sin2 2x

lim

lim 4x

x 0

x 0 x2

Пример 34.

sin3x

lim

1 x 1

x 0

1 x 1

lim

1 x

lim

1 x

1 x 1 1 x 1

x 0

lim 3

1 6 .

1 x

x 0

В данном примере применили п.2в) и п.2г).

Аналогично решаются примеры 35-36.

x 4

Пример 35.

lim

sin5x

x 0

lim

2 lim

2 4

x 4

x 0

5х

x 4 2

x 0 5х

x 4 2

lim

x 4 4

x 0 5х x 4 2

Пример 36.

sin 3x

x 2

lim

x 2 2

x 0

x 2 2

x 0

lim

3sin3x

lim(3

x 2

2) 6 2 .

x 0

Пример 37.

t x

1 2sin x

1 2sin(t

)

x t

lim

t 0

1 2 sint

cost

3sint cost

lim

t 0

2sin2

sin

cos

lim

t 0

sin

2sin

2 3cos

2sin

3cos

lim

t 0

Пример 38.

t x

sin 6x

sin 6(t )

x t

lim

sin 7x

t 0

sin 7(t )

sin 6t

lim

sin 7t

t 0 sin 7t

t 0

Пример 39.

5x 9x

cos5x cos9x

2sin

sin

lim

1 cos4x

x 0

2sin22x

sin7x

lim

3,5.

lim

sin2x

x 0 sin2x

x 0

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]