Пределы числовых последовательностей и функций одного переменного. Учебное пособие

x , т. е. 1x , 0 , то получим другую форму второго замеча-

при x x0 , равный A 0 ( A 0) , то существует окрестность точки x0 такая, что в этой окрестности f (x) 0 ( f (x) 0) , т. е. в некоторой окрестности точки x0 функция сохраняет знак своего предела.

Теорема (предельный переход в неравенстве). Если в некоторой окрестности точки x0 , кроме, может быть, самой точки x0 , справедли-

4.КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

ИБЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ВЕЛИЧИН

Как и в случае последовательностей из главы 1, особо рассмотрим класс функций, стремящихся к нулю при x x0 .

Определение. Функция f (x) называется бесконечно малой функцией (или бесконечно малой величиной, или бесконечно малой) при

функцией (бесконечно большой величиной, бесконечно большой) при

x x0 , если lim f (x) . x x0

В обоих определениях x0 может быть и числом, и одним из символов , , . Аналогично определяются бесконечно большие и бесконечно малые функции при x x0 0 и x x0 0 .

Для произвольной функции f (x) , которая имеет конечный предел при x x0 , учитывая определение бесконечно малой функции (x) ,

сформулируем следующую теорему.

Теорема (о связи функции с ее пределом). Для того чтобы функция f (x) при x x0 имела конечный предел A, необходимо и достаточно,

чтобы разность f (x) A была бесконечно малой величиной при

x x0 .

Учитывая аналогию в определении предела функции и последовательности, приведем свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, вытекающие из соответствующих свойств бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

Свойство 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых функций при x x0 есть бесконечно малая функция при x x0 .

Свойство 2. Если (x) – бесконечно малая при x x0 , а функция

Свойство 4. Произведение двух бесконечно малых (бесконечно больших) величин при x x0 есть величина бесконечно малая (беско-

нечно большая) при x x0 .

Во многих случаях представляет интерес сравнение бесконечно малых функций между собой по характеру их стремления к нулю. Для сравнения двух бесконечно малых функций (x) и (x) находят пре-

дел их отношения.

Определение. Бесконечно малые (x) и (x) называются сравнимыми при x x0 , если существует хотя бы один из пределов

отношение ((xx)) sin( x) при x 0 предела не имеет. Следователь-

но, рассматриваемые бесконечно малые функции несравнимы между

нимыми.

Определение. Пусть (x) и (x) – сравнимые бесконечно малые

значение: (x) o( (x)) .

Эквивалентные бесконечно малые величины обладают следующими свойствами:

а) разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с каждой из них;

б) при нахождении предела отношения двух бесконечно малых можно каждую из них (или только одну) заменить другой бесконечно

в) две бесконечно малые, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой.

Таким образом, при вычислении пределов эквивалентные функции взаимозаменяемы.

Нельзя использовать эквивалентные функции при вычислении пре-

(x) (x) , не заменяют функции на эквивалентные.

Полезно иметь в виду эквивалентность следующих бесконечно малых величин f (x) и g(x) при x 0 :

x sin x tg x arcsin x arctg x ln(1 x) ex 1, ax 1 x ln a ,

(1 x)m 1 mx, m R .

В частности, при m 1 / 2, 1 / 3, , 1 / m имеем следующие эквивалентности при x 0 :

1 x 1 x2 , 3 1 x 1 x3 , …, m 1 x 1 xm .

Докажем, что arcsin x x при x 0 , используя при вычислении предела замену y arcsin x и непрерывность функции arcsin x ( y 0

при x 0 ):

При выводе эквивалентности ln(1 x) x при x 0 используем

непрерывность логарифмической функции и второй замечательный предел:

(1 x) 1 y , найдем ln(1 x) ln(1 y) и применим это соотношение для вычисления предела от дроби:

(x) sin (x) tg (x) arcsin (x) arctg (x)ln(1 (x)) e (x) 1;

a (x) 1 (x)ln a , (1 (x))m 1 (x)m, m R .

46

C1 k1 (x) о( k1 ) .

Этот процесс выделения бесконечно малых все возрастающих порядков можно продолжать и дальше. Более подробно данный вопрос исследуется в [2–4] при разложении произвольной функции в ряд Тейлора в окрестности точки x x0 .

Пример. Выделить главную часть выражения 1 cos x при x 0 . Для этого найдем

таким образом 1 cos x x22 o(x2 ) , т. е. главная часть выражения 1 cos x при x 0 равна x22 .

Пусть для двух бесконечно малых величин (x) и (x) при x x0 известны их главные члены: C k (x) и C1 k1 (x) , тогда для суммы

47

бесконечно малых (x) + (x) вопрос о главном члене решается в зависимости от значений степеней k и k1 и коэффициентов С и С1 :

1) при k k1 главным членом суммы (x) + (x) будет тот из чле-

нечно малой, тождественно не равной нулю. Определим главную часть

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Дайте определение функции одной переменной, понятия области определения и множества значений функции.

2.Перечислите основные способы задания функции. Что называется графиком функции?

3.Как образом задается сложная функция?

48

4.Дайте определение предела функции в точке по Гейне и по Коши. Приведите геометрическую интерпретацию этих определений, запишите их с помощью логических символов.

5.Сформулируйте основные теоремы о пределах функции.

6.Перечислите свойства и приведите примеры бесконечно малых и бесконечно больших величин, укажите пример величины неограниченной, но не бесконечно большой.

7.Сформулируйте первый замечательный предел, второй замечательный предел.

8.Дайте определение бесконечно малой и бесконечно большой функции. Приведите свойства бесконечно малых величин и сделайте их сравнение.

9.Определение эквивалентных бесконечно малых функций, их основные свойства.

49

ГЛАВА 4

ПРАКТИКУМ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. ПРЕДЕЛ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ (ОТНОШЕНИЕ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ)

ем двух многочленов, надо в числителе и в знаменателе выделить множитель, равный нулю при предельном значении переменной, и сократить на него.

Решение. При x 13 числитель и знаменатель рассматриваемой функции обращаются в нуль, т. е. получается неопределенность

вида 00 . Преобразуем эту функцию, разлагая квадратный трехчлен в

числителе на множители 15x2 2x 1 15(x 13)(x 15) . Подставляя полученное выражение и сокращая на общий множитель x 13 0 , будем иметь

Следует отметить, что, сокращая на общий множитель, мы предполагали, что x 13 0 . Это действительно так. Согласно определению

50