Пределы числовых последовательностей и функций одного переменного. Учебное пособие

Пример 5. Вычислить предел

x2

5x 4

x

lim

.

2

3x 7

x x

Решение. При x имеем

lim

x2

5x 4

lim

x2

1. Ис-

3x 7

x x2

x x2

следуемая функция представляет собой бесконечно большую степень

x2 5x 4

x2

3x 7 8x 3

1

8x 3

,

x2 3x 7

x2 3x 7

x2

3x 7

x2 5x 4

x

8x 3

x

lim

lim 1

2

2

3x 7

x

x

3x 7

x x

x2 3x 7

x(8x 3)

x2

3x 7

8x 3

8x 3

lim

1

x2 3x 7

x

x(8x 3)

lim

x(8x 3)

= lim e x2 3x 7

ex x2 3x 7 e8 ,

x

так как

lim

x 8x 3

lim

8x2

8 .

x x2 3x 7

x

x2

1

Пример 6. Вычислить предел lim 1 tg2

x

2x

.

x 0

x 0

Решение. При

исследуемая функция представляет собой

т. е. неопределенность вида (1 ) . Так как tg x ~

x при x 0 , то

81

lim 1 tg2

x

1

lim 1

x 2

1

2x

2x

x 0

x 0

= lim

1 x 1/ x 1/2 e .

x 0

Пример 7. Вычислить

lim

(tg x)tg 2x .

x

4

Решение. Имеем неопределенность вида (1 ) .

lim

(tg x)tg 2x (1 )

x / 4 t, x t / 4

=

x 4

x / 4, t 0

lim

tg(t / 4) tg(2t /2)

t 0

lim

ctg2t

lim

1

tg t

1 tg2t

tg t ~ t, t 0

=

tg ( / 4) tg t

tg 2t ~ 2t, t 0

t 0

1 tg t tg 4

t 0

1 tg t

lim

1 t

1/(2t)

lim

(1 t) 1/(2t)

e 1/2

(1 t) 1/(2t)

e1/2

e 1 .

t 0

1 t

t 0

Пример 8. Определить lim

2x 1 ln(3 2x) ln(2 x)

.

x

x 1

Решение. Имеем неопределенность вида (1 ) , тогда

2x 1 ln(3 2x) ln(2 x)

ec .

lim

x

x 1

Найдем величину

ln(3 2x)

2x 1

c lim

ln(2 x)

ln

x

x 1

lim ln(3 2x) lim ln((2x 1)

x) ln 5 lim ln((2x 1) x) .

x 1

x 1

ln(2 x)

x 1

ln(2 x)

82

Вычислим

полученный

предел,

сделав

замену

переменной

x 1 t ,

тогда при x 1 будем иметь t 0

и следующие эквива-

лентности:

2x

1

2(1 t) 1

1 2t

1 t t

t

t

,

ln

x

ln

ln

ln

ln 1

~

1 t

1 t

1 t

1 t

1 t

Следовательно,

lim

ln (2x 1) / x

lim

t / (1 t)

lim

1

1,

t

1 t

x 1

ln (2 x)

t 0

t 0

c ln 5 lim

ln (2x 1) / x

ln 5 .

ln (2 x)

x 1

Тогда окончательно имеем

2x 1

ln(3 2x) ln(2 x)

1

lim

x

e ln 5

5

.

x 1

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

задания

9.1

lim

sin 2x 1 x

9.2

lim

2 x x

x

3 x

x 0

x 0

sin 4x 2/(x 2)

3x

cos2 ( /4 x)

9.3

lim

9.4

lim

e

1

x 0

x

x 0

x

3 x

2

4

x2

3

9.5

lim (cos x)

9.6

lim

x

2

x 0

x 0

2

x

83

Окончание

задания 9

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

задания

9.7

lim

ln (1 x) x/(x 2)

9.8

lim

tg 4x 2 x

6x

x

x 0

x 0

e

x3

1

(8x 3) (x 1)

2 x

cos x

9.9

lim

9.10

lim

2

x 0

x

x 0 4 x

sin 6x

2 x

e

x2

1

6/(x 1)

9.11

lim

9.12

lim

2

x 0 2x

x 0

x

9.13

lim

sin 2x x2

9.14

lim

2 x

tg

x

x 0

sin 3x

x 0

3

x

3

8

x 2

3/(3 x)

9.15

lim

9.16

lim sin (x

2)

2

x 0

3x

10

x 0

2x2 1

x 1

x4 5

4/(x 2)

9.17

lim

x

9.18

lim

x 10

x 0

x 0

9.19

11x 8 cos2 x

9.20

lim

x3 1

2/(x 1)

lim

3

12x

1

8

x 0

x 0 x

9.21

lim

ln (1 x2 )

3/(x 8)

9.22

lim

cos

x 1 x

2

x 0

x

x 0

9.23

lim

arcsin x 2(x 5)

9.24

lim

arctg 3x x 2

x

x

x 0

x 0

9.25

lim (e

x

x)

cos x4

9.26

lim

sin 5x2

1/(x 6)

x 0

x 0

sin x

84

Окончание

задания 10

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

задания

10.11

x2 2 16

10.12

x 3 / 4

x 1

lim

(sin 2x)

x /4

lim

arctg

2

(x 1)

x /4

x 1

10.13

x sin(x )

10.14

sin x sin a x2 a2

lim

ctg

lim

4

x

a

x

x a

x

2

2 1 x

1/tg x

10.15

lim

10.16

lim (sin x cos x)

x 2

x

2

4

x

4

10.17

lim

(tg 2x)sin(x /8)

10.18

lim(arcsin x)tg x

x /8

x 1

10.19

lim (x sin x)sin x x

10.20

lim ln2 (ex) 1 (x2 1)

x

x 1

3

1 x2

/arctg x

lim

x 1

1

10.21

10.22

lim

x

x 1

x 1 x 1

sin

x

1

x2 1

lim (cos x)

tg (x 2)

10.23

10.24

lim e

x

x 1

1

x 2

10.25

lim (arcsin x arccos x)1/ x

10.26

lim

(1 cos x)sin x

x 1/2

x /2

Ответы к расчетному заданию 10

Номер задания

Ответ

Номер задания

Ответ

10.1

1/ e

10.2

1

10.3

1

10.4

sin 2

10.5

1

10.6

1/ 2

10.7

1

10.8

4 / 9

10.9

3 / 2

10.10

1/ (3 )

10.11

1

10.12

2

4

86