Пределы числовых последовательностей и функций одного переменного. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пример 1. Найти lim

Пример 1. Найти lim

Решение. При x 16

числитель и знаменатель дроби обращают-

ся в нуль, т. е. имеем неопределенность

. Разложим на множители

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

предела функции в точке, аргумент x стремится к своему предельному значению x0 , никогда с ним не совпадая, т. е. x x0 .

В данном примере, используя определения предела функции в точке, покажем, что предел равен 8. Для этого необходимо 0 указать

такое ( ) , что неравенство

15x2 2x 1

выполняется лишь в

x 1 3

случае

x 1 / 3

. При x 1 / 3 имеем

15x2 2x 1

15(x 1 / 3)(x 1 5)

x 1 3

1 / 3

15(x 1 / 5) 8

x 1 / 3

x , удов-

Отсюда

видно,

что

если

взять / 15 ,

то

для

всех

летворяющих

неравенству

x 1 3

выполнятся

неравенство

15x2 2x 1

15 .

x 1 3

Пример 2. Найти

lim

(x3

2x 1)(x 1)

x4 4x2 5

x 1

Решение.

При

x 1

числитель

знаменатель

функции

(x3 2x 1)(x 1)

обращаются в нуль, т. е. получается неопределен-

x4 4x2 5

ность вида

. Преобразуем эту функцию,

разлагая на множители

знаменатель.

Для

этого

положим

z x2 ,

тогда

x4 4x2 5 z2

4z 5 .

Корни полученного квадратного

трехчлена

равны z 1,

. Следовательно,

4z 5 (z 1)(z 5) , или,

x4 4x2

5 (x2

1)(x2 5)

переходя к

переменной

x ,

получим

(x 1)(x 1)(x2 5) . Сокращая числитель и знаменатель на x 1 0 и переходя к пределу, получим

lim	(x3 2x 1)(x 1)	lim	(x3	2x 1)		0 .
	(x 1)(x 1)(x2 5)		(x	1)(x2	5)
x 1		x 1

Пример 3. Найти	lim	x3 4x2	3x 18	.
		x3 5x2 3x 9
	x 3
Решение. При	x 3 числитель и знаменатель рассматриваемой
дроби обращаются	в нуль. Разлагая их на множители, находим
x3 4x2 3x 18 (x 3)2 (x 2) ,			x3 5x2 3x 9 (x 3)2 (x 1) . Дан-

ные равенства получены в результате непосредственного деления указанных многочленов на (x 3) , а затем разложения квадратных трех-

членов на простые множители. Сокращая числитель и знаменатель на (x 3)2 0 и переходя к пределу, получим

lim

x3 4x2

3x 18

lim

(x 3)2 (x 2)

lim

(x 2)

x3 5x2

3x 9

3)2 (x 1)

(x 1)

x 3

Предел 4. Вычислить lim

8x3

x 1 6x2

5x 1

Решение. При непосредственной подстановке предельного значения x 12 в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что она представляет собой отношение двух бесконечно малых величин, т. е.

неопределенность вида 00 . Раскладываем многочлены числителя и знаменателя на множители:

			1		1				1		x	1
6x2	5x 1 6	x		x		, 8x3	1 8	x		x2
			3		2				2		2	4

						52

исокращаем дробь на x 1 :

											1				2	x		1				x2		x		1
		8x			3	1	8		x			x							4
											2					2		4
																								2		4
lim								lim												lim				2		4	6 .
lim			2				6	lim					1				1		3	lim					1		6 .
x	1	6x	2	5x 1			6	x	1				1				1		3	x	1		x		1
x	2	6x		5x 1				x	2	x			3	x			2			x	2		x		3
	2								2				3				2				2				3

Пример 5. Вычислить предел	lim	x3 1000	.
Пример 5. Вычислить предел	lim	20x2 100x	.
	x 10 0 x3	20x2 100x
Решение. При x 10 0 получим неопределенность вида				0	.
				0

Раскладываем многочлены числителя и знаменателя дроби на множители:

x3 1000 (x 10)(x2 10x 100) ,

x3 20x2

100x x(x2 20x 100) x(x 10)2 ,

lim

x3 1000

lim

(x 10)(x2 10x 100)

100x

x(x 10)2

x 10 0 x3 20x2

x 10 0

lim

x2 10x 100

x x 10

x 10 0

Так как числитель дроби стремится к 300, а знаменатель стремит-

ся к

нулю:

lim

x(x 10) 0 , то

величина,

обратная беско-

x 10 0

нечно

малой,

является бесконечно

большой

величиной, т. е.

lim

x3 1000

100x

x 10 0 x3 20x2

2x4 x2 3x 10

Пример 6. Вычислить предел lim

2x3 3x2

5x 2

x 2 x4

Решение. Числитель и знаменатель дроби при x 2 стремятся

. Разложим на

к нулю, тогда имеет место неопределенность вида

множители числитель и знаменатель дроби:

x5 2x4 x2 3x 10 (x 2)(x4

x 5) ,

x4 2x3 3x2

5x 2 (x 2)(x3

3x 1) .

Получим

2x4 x2 3x 10

lim

2x3 3x2 5x

x 2 x4

lim

(x 2)(x4

x 5)

lim

x 5

(x 2)(x3 3x 1)

3x 1

x 2

x 2 x3

Расчетное задание 1

Доказать (найти ( ) ), что предел равен указанному значению.

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

1.1

lim

2x2

5x 3

1.2

lim

2 4x 1

x 3

x 1

x 3

x 1

1.3

lim

3x2

5x 2

1.4

lim

4x2

14x 6

x 2

x 3

x 2

x 3

1.5

lim

6x2 x 1

1.6

lim

6x2 x 1

x 1 2

x 1/ 2

x 1 2

x 1/2

1.7

lim

9x2 1

1.8

lim

3x2 5x 2

x 2

x 1/3 x 1/ 3

x 2

1.9

lim

3x2 2x 1

1.10

lim

7x2 8x 1

x 1/ 3

x 1

x 1/3

x 1

1.11

lim

4x 3

1.12

lim

2x2 3x 2

x 3

x 1 2

x 3

x 1 2

Окончание задания 1

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

1.13

lim

6x2 5x 1

1.14

lim

10x2 9x 7

x 1/ 3

x 7 / 5

x 1/3

x 7/5

1.15

lim

2x2

13x 21

1/ 2

1.16

lim

2x2 9x 10

1 2

x 7/2

x 5 2

1.17.

lim

6x2 x 1

1.18

lim

6x2 75x 39

x 1 / 3

x 1/ 2

x 1/3

x 1/2

1.19

lim

2x2

21x 11

1.20

lim

5x2

24x 5

x 11

x 5

x 11

x 5

1.21

lim

2x2

15x 7

1.22

lim

2x2 6x 8

x 7

x 4

x 7

x 4

1.23

lim

6x2 x 1

5 / 3

1.24

lim

2x 15

x 5

x 1/3

x 5

1.25

lim

3x2

40x 128

1.26

lim

5x2

51x 10

x 8

x 10

x 8

x 10

Ответы к расчетному заданию 1

Номер задания

Ответ

Номер задания

Ответ

1.1

/ 2

1.2

/ 5

1.3

/ 3

1.4

1.5

/ 6

1.6

/ 6

1.7

/ 9

1.8

/ 3

1.9

/ 3

1.10

/ 7

1.11

1.12

/ 2

1.13

/ 6

1.14

/ 10

1.15

1.16

1.17

/ 6

1.18

/ 6

1.19

/ 2

1.20

/ 5

1.21

/ 2

1.22

/ 2

1.23

/ 2

1.24

1.25

/ 3

1.26

/ 5

Расчетное задание 2

Вычислить пределы функций.

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

2.1

lim

3x 2

2.2

lim

(x3 3x 2)2

x x2

x 1

x 1 x3 2x2 x 2

2.3

lim

(2x2 x 1)2

2.4

lim

(x2 2x 3)2

x 1 x3 2x2 x 2

x 3 x3 4x2 3x

2.5

lim

(x3

2x 1)2

2.6

lim

(1 x)3 (1 3x)

x4 2x 1

x x5

x 1

x 0

2.7

lim

2x 1

2.8

lim

x3 3x 2

2x2 x 1

x 1

x 1 x3 x2 x 1

2.9

lim

5x2 7x 3

2.10

lim

x3 3x 2

x 1 x3 4x2 5x 2

x 1 x3 x2 x 1

2.11

lim

x2 5x 3

2.12

lim

x3 4x2 5x 2

x3 3x 2

x 1 x3 x2 x 1

x 1

2.13

lim

x4 1

2.14

lim

x3 5x2 8x 4

2x4 x2 1

x3 3x 4

x 1

x 2

2.15

lim

5x2 8x 4

2.16

lim

6x2 12x 8

x3 3x2 4

x3 3x 4

x 1

x 2

2.17

lim

5x2 8x 4

2.18

lim

x3 3x 2

x 2 x3 7x2 16x 12

x 1

(x2 x 2)2

2.19

lim

3x 2

2.20

lim

x3 3x 2

x 2

x 1 x2 2x 1

2.21

lim

2x 1

2.22

lim

x4 1

2x4 x2 1

x 1 x3 x2 x 1

x 1

2.23

lim

3x 2

2.24

lim

2x2 x 1

x 1 x3 2x2 x 2

2.25

lim

2x 3

2.26

lim

x3 2x 1

x 3 x3 4x2 3x

x 1 x4 2x 1

Ответы к расчетному заданию 2


Номер задания	Ответ	Номер задания	Ответ
2.1	0	2.2	0
2.3	0	2.4	0
2.5	0	2.6	0
2.7	0	2.8	0
2.9	2	2.10	3/2
2.11	2	2.12	1/ 3
2.13	2/3	2.14	1/3
2.15	1/3	2.16	0
2.17	–1	2.18	–1/3
2.19	9	2.20	–3
2.21	1/2	2.22	2/3
2.23	–1/2	2.24	1/2
2.25	–2/3	2.26	–1/2

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ, СОДЕРЖАЩИХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, используются следующие приемы:

а) в числителе и в знаменателе выделяют множитель, равный нулю при предельном значении, и сокращают на него;

б) вводят новую переменную для получения рационального выражения;

в) переводят иррациональность из знаменателя в числитель или наоборот;

г) последний из указанных выше приемов нахождения пределов может быть использован и при раскрытии неопределенности вида

, которая содержит иррациональные выражения.

знаменатель:

x 4

2 3

x 2

2 3

Подставляя

это

выражение

сокращая

на

общий

множитель

4 x 2 2 3 0 , получим

lim

4 x 2

lim

4 x 2

lim

4 x 2 1 3

0 .

x 4 2

4 x 2 2 3

x 16 3

x 16 4 x 2 2 3 4 x 2 2 3

x 16

Пример 2. Найти lim

x 1

x 1 x2 1

Решение. При

x 1

имеем неопределенность

. Введем но-

вую переменную, чтобы получить рациональное выражение,

x t ,

тогда x t2

и при

x 1 и

t 1 .

В этом случае рассматриваемая

функция примет вид

t 1

. Разлагая знаменатель на множители, нахо-

t4 1

дим t4 1 (t2 1)(t2 1) (t 1)(t 1)(t2

1) .

Сокращая числитель и

знаменатель на t 1 0 и переходя к пределу, получим

lim

x 1

lim

t 1

lim

t 1

lim

1 .

(t 1)(t 1)(t2 1)

x 1 x2 1

t 1 t4

t 1 (t

1)(t2 1)

Пример 3. Найти lim

1 2x 3

x 4

x 2

Решение. При x 4 числитель и знаменатель дроби обращаются

в нуль,

т. е. имеем неопределенность 0

. Числитель содержит ирра-

циональное выражение 1 2x . Избавимся от иррациональности в

числителе, умножая числитель и знаменатель на 1 2x 3 . Получим

lim

1 2x 3

lim

1 2x 3

x 2

1 2x 3

x 4

lim

(1 2x) 9

lim

2x 8

x 2

1 2x

x 2

1 2x 3

x 4

2 lim

x 4

2 lim

x 2

1 2x

x 2

1 2x 3

x 4

2 lim

x 2

1 2x 3

x 4

Пример 4. Вычислить

lim

3 x 1

1 x

x 1

. Избавимся от иррацио-

Решение. Имеем неопределенность

нальности

знаменателе,

умножая

и знаменатель на

числитель

1 x

2x . Получим

1 x

lim

x 1

x 2x

1 x 2x

x 1

1 x

lim

x 1

1 x 2x

x 1

1 x

lim

2 .

x 1

3 x2 3 x 1

Пример 5. Вычислить

lim

x2 8x 3

x2 4x 3 .

Решение. Здесь

имеет место

неопределенность

вида

( ) .

Умножим и разделим данное выражение на

x2 8x 3

x2 4x 3 ,

т. е. переведем иррациональность в знаменатель:

lim

8x 3

x2 4x 3

lim

x2 8x 3 x2 4x 3 x2

8x 3 x2 4x 3

x2 8x 3 x2

4x 3

lim

x x2 8x 3 x2

4x 3

lim 1

lim

2 .

x 1 8 / x 3 / x2 1 4 / x 3 / x2

x x

x x2

Расчетное задание 3

Вычислить пределы функций.

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

3.1

lim

1 x 3

3.2

lim

x 1

x 8

2 x

3.3

lim

x 13 2 x 1

3.4

lim

3 x 6 2

x2 9

x3 8

x 3

x 2

3.5

lim

4 x 2

3.6

lim

9 2x 5

x 4

3 x 2

x 16

x 8

3.7

lim

1 2x x2 (1 x)

3.8

lim

3 8 3x x2

x x2

x 0

3.9

lim

3 27 x 3 27 x

3.10

lim

x 1 1 x

x 23 x4

1 3 1 x

x 0

x 0 3 x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]