Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пределы числовых последовательностей и функций одного переменного. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Теорема. Если для двух последовательностей {an} и {bn} выпол-

няется неравенство

an bn n N

и каждая из последовательностей

имеет конечный предел:

lim a A ,

lim b B , то A B .

n n

Теорема. Если две последовательности {an} и {bn} равны (an bn ,

n 1, 2, 3,...) , причем каждая из них имеет конечный предел: lim

a A ,

nlim bn B , то равны и эти пределы:

A B .

Теорема. Если последовательности {an} и {bn} имеют конечные

пределы: nlim an A , nlim bn B , то:

lim (a b )

lim

A B ;

lim (a b

) lim

lim

b AB ;

n n

lim (Cb

) C lim

CB ;

lim a

lim

, если

lim b 0 .

lim b

n n

Следует отметить, что теорема позволяет определить каковы пределы суммы, произведения и частного двух последовательностей {an} и {bn}

в предположении, что указанные последовательности стремятся к конечным пределам. Если эти условия относительно последовательно-

стей {an} и {bn} не выполнены, то последовательности {an bn} , {anbn} , an bn могут как сходиться, так и расходиться в зависимости от свойств последовательностей {an} и {bn} и, вообще говоря, в этих

случаях сходимость последовательностей нужно исследовать непосредственно. Нужно отметить, что теорема об арифметических свойствах пределов неприменима в случае, если пределы последовательно-

стей {an} , {bn} (один или оба) бесконечны или – в случае частного – когда предел знаменателя равен нулю.

Рассмотримряд случаев на примерах.

Сумма {an bn} .

Пусть

a ( 1)n 1 и b ( 1)n , обе последовательности ограни-

ченны и расходятся,

но последовательность an bn 0

n N , т. е.

сходится и

lim (a b ) 0 .

Пусть

и b n , тогда

lim

lim b

n n

b 2n n n , следовательно,

lim

b ) .

Пусть

n и b

2n , тогда

lim

lim b

n n

b n 2n n ,

следовательно, lim (a

b ) .

Пусть

n c ,

c const

n ,

тогда

lim a

lim b , а a b n c n c , следовательно,

lim (a b

) c .

Пусть a n ( 1)n 1 и b n , тогда

n ( 1)n 1 n

( 1)n 1 , т. е. предел последовательности не существует.

В примерах 2–5

lim

a ,

lim b

. В подобных случаях

задача нахождения предела последовательности является задачей раскрытия неопределенности вида .

Произведение {an bn}.

Пусть

b n

тогда

lim a

0 ,

lim b

n n

, следовательно,

lim (a b ) 0 .

Пусть

b n2

тогда

lim a

0 ,

lim b

n n

n , следовательно,

lim (a b ) .

3. Пусть

и b n (с – постоянная,

c 0 ),

тогда lim a 0 ,

lim b ,

n c , следовательно,

lim (a

b ) c .

4. Пусть

( 1)n 1 ,

b n , тогда

lim a

0 ,

lim b

( 1)n 1

n n

a b

( 1)n 1 ,

т. е. последовательность

{a b } не

имеет

n n

предела.

В рассмотренных примерах lim a

lim b

. Задача ис-

следования сходимости последовательности {anbn} называется задачей раскрытия неопределенности вида (0 ) .

Частное abn .

Покажем, что предел отношения зависит от закона изменения обеих переменных.

1. Пусть a

, тогда

lim a

0 , lim b

0 , отношение

1 n2

n n

1 n

, следовательно,

lim

n 0 . Заметим, что

lim

n bn

n an

2. Пусть

(с – постоянная, c 0 ), тогда

lim a

0 ,

lim b

0 , а

c n

c ,

следовательно,

lim an

c .

1 n

n b

3. Пусть

( 1)n 1

тогда

lim a

0 ,

lim b

0 ,

n 1

n n

( 1)

n ( 1)n 1 , следовательно, последовательность

не

1 n

имеет предела.

В примерах 1–3

lim a

0 , lim

0 . Задача нахождения преде-

ла последовательности

является

задачей раскрытия неопреде-

ленности вида 0

4. Пусть a

и b

n2 , тогда

lim

a , lim b , отно-

n n

шение

следовательно,

lim

an 0 .

Заметим,

что

n bn

lim

n an

5. Пусть

an c n

bn n

(с

–

постоянная,

c 0 ),

тогда

lim a

(в

зависимости

от

знака

с),

lim b , отношение

n n

an c n

c , следовательно,

lim

c .

n bn

6. Пусть

2 ( 1)n 1 n ,

n ,

тогда

lim a

2 ( 1)n 1 n

lim b

2 ( 1)n 1 , следовательно, после-

n n

довательность

расходится.

В примерах 4–6

lim a

lim b

. В этих случаях задача

исследования на сходимость последовательности

является зада-

чей раскрытия неопределенности вида

Теорема. Пусть дана монотонно возрастающая последовательность {an} . Если она ограничена сверху: an M (M const) , то существует

конечный предел, в противном случае – она стремится к .

Всякая монотонно убывающая последовательность {an} имеет конечный предел, если она ограничена снизу: an m (m const) , в про-

тивном же случае ее пределом является .			n
Рассмотрим последовательность a	1	1	n	. Докажем, что она
n		n
		n

является монотонно возрастающей. Воспользуемся формулой бинома Ньютона

n 1 1

n(n 1)

n 2

n(n 1)(n 2) 1

(a b)

...

Тогда для последовательности {an} :

1 1 n

1 n 1

n(n 1)

n(n 1)(n 2)

...

n(n 1)(n

2) (n n 1)

...

k 1

n 1

(1)

Запишем выражение для an 1:

	a	1 1			1		1				1				1	1			1				1				2
	a	1 1					1									1							1
	n 1				2!						n 1																n 1
					2!						n 1				3!			n 1									n 1
1		1							2					k 1						1						1						2
	1			1							1											1						1
	1			1		n			1		1											1						1			n	1
k!		n 1				n			1					n 1						n!					n 1						n	1
			n 1						1						1						2									n
	1											1					1							1								.	(2)
	1		n 1					(n		1)!		1					1				n 1			1					n 1			.	(2)
			n 1					(n		1)!			n 1								n 1								n 1
														15

Из сравнения соотношений (1) и (2) видно, что каждое из (n 1) первых слагаемых в сумме (2) не меньше соответствующих слагаемых

в сумме (1),	так как любой множитель в скобках вида 1 s / n
(s 1, 2, 3, )	в (1) заменяется большим множителем 1 s (n 1) в (2).

Кроме того, сумма (2) содержит дополнительное последнее положи-

тельное слагаемое. Следовательно,		an an 1 n 1, 2, ... , т. е.				{an} –
строго возрастающая последовательность.
Покажем, что она ограничена сверху. Если опустить в выражении
(1) все множители в скобках, то тем самым увеличим его так, что
a 2	1	1	...	1	.	(3)

n	2!	3!		n!

Заменив каждый множитель в знаменателях дробей (начиная со второго) из (3) числом 2, мы еще увеличим полученное выражение, так что

										1			1	n 1
										1	1		1
										2	1		2
		2 1			1		1			2			2
a	n				1	...	1	2							2 1		3 .
a						...		2					1		2 1		3 .
			2	22			2n 1
			2	22			2n 1
											1	2
Последнее неравенство выполняется в силу того, что геометриче-
ская прогрессия									1	и первым членом						1	имеет сум-
ская прогрессия			со знаменателем						2	и первым членом						2	имеет сум-
									2							2

му, меньшую единицы. По теореме о пределе монотонной последовательности {an} имеет конечный предел, который обозначают буквой e:

	1 n	e .
lim 1		e .
n	n

Найденный предел называется вторым замечательным пределом. Число e (введено Л. Эйлером) является иррациональным:

e 2,71828182...

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Понятие числовой последовательности и способы ее задания.

2.Монотонные и ограниченные последовательности.

3.Понятие предела числовой последовательности (запись этого определения с помощью логических знаков) и его геометрическая интерпретация.

4.Определение бесконечно малых и бесконечно больших величин. Свойства бесконечно малых величин.

5.Теорема о единственности предела сходящейся последовательности, об ограниченности последовательности, имеющий предел, о необходимом и достаточном признаке существования предела последовательности.

6.Теоремы о предельных переходах в равенствах и неравенствах для последовательностей, арифметические свойства пределов последовательностей.

7.Что понимается под понятием «раскрытие неопределенности»?

8.Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательно-

сти. Определение числа e как предела при n последовательности с общим членом an 1 1/ n n .

ГЛАВА 2

ПРАКТИКУМ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

1. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, СОДЕРЖАЩИХ ОТНОШЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ

Пример 1. Найти предел последовательности a

n 1

и указать

3n 1

такой номер N( ) , что n N( )

выполняется

Решение. Определим вид неопределенности

lim

n 1

n 3n 1

Преобразуем формулу для общего члена к виду a

1 1 / n . Учиты-

3 1 / n

стремится к нулю при n , и ис-

вая, что последовательность

пользуя теоремы об арифметических свойствах пределов, получаем

lim n 1

n 3n 1

lim 1 1 / n 3 1 /

n	lim (1 1 / n)	lim 1 lim 1 / n		1 0	1 .
	n	n	n
n	lim (3 1/ n)	lim 3 lim 1/ n		3 0
					3
	n	n	n

Укажем N( ) исходя из определения предела последовательности.

Рассмотрим модуль разности

a 1

n 1

. Возьмем

3n 1

3(3n 1)

произвольное число 0 . Неравенство an 13 будет выполнено,

если			2	. Решая данное неравенство относительно n , получим
		3(3n 1)

n	1	2		. Поэтому в качестве N( ) возьмем любое натуральное
	3		1

		3

число, удовлетворяющее условию N ( ) Entier				1	2
				3		1		,	где
						1		,	где
Entier [ ]					3
Entier [ ]		– наибольшее целое число, не превосходящее					. Тогда
				1				2
n N( ) будет выполняться неравенство:			a					2
n N( ) будет выполняться неравенство:			a
			n		3		3(3n 1)
2
		.
	3 3N ( ) 1	.

Замечание. Таким образом, при нахождении предела отношения многочленов относительно n возможны следующие случаи:

а) если многочлены относительно n в числителе и знаменателе имеют равные степени, то предел отношения равен постоянному числу – отношению коэффициентов при наибольших степенях;

б) если многочлен в знаменателе имеет степень большую, чем в числителе, то предел отношения многочленов равен нулю;

в) если многочлен в знаменателе имеет степень меньшую, чем в числителе, то предел отношения многочленов равен бесконечности (знак которой совпадает со знаком отношения коэффициентов при наибольших степенях n ).

Расчетное задание 1

Найти предел последовательности an и указать N( ) .

Номер	Условие	Номер	Условие
задания		задания

1.1	a	n	3n 2	1.2	a	4n 1
		n	2n 1		n	2n 1
			2n 1			2n 1
1.3	a	n	7n 4	1.4	a	2n 5
		n	2n 1		n	3n 1
			2n 1			3n 1
				19

Окончание

задания 1

Номер

Условие

Номер

Условие

задания

1.5

7n 1

1.6

4n2 1

n 1

3n2 2

1.7

9 n3

1.8

4n 3

2n 1

1 2n3

1.9

1 2n2

1.10

2 4n2

n 1

1.11

n 1

1.12

2n 1

1 2n

3n 5

1.13

1 2n2

1.14

3n2

n2 3

2 n2

1.15

1.16

3n3

3n 1

n3 1

1.17

4 2n

1.18

5n 15

1 3n

6 n

1.19

3 n2

1.20

2n 1

2 3n

1 2n2

1.21

3n 1

1.22

4n 3

5n 1

2n 1

1.23

1 2n2

1.24

5n 1

2 4n2

10n 1

1.25

2 2n

1.26

23 4n

3 4n

2 n

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

	a	1 1			1		1				1				1	1			1				1				2
	a	1 1					1									1							1
	n 1				2!						n 1																n 1
					2!						n 1				3!			n 1									n 1
1		1							2					k 1						1						1						2
	1			1							1											1						1
	1			1		n			1		1											1						1			n	1
k!		n 1				n			1					n 1						n!					n 1						n	1
			n 1						1						1						2									n
	1											1					1							1								.	(2)
	1		n 1					(n		1)!		1					1				n 1			1					n 1			.	(2)
			n 1					(n		1)!			n 1								n 1								n 1
														15

	a	1 1			1		1				1				1	1			1				1				2
	a	1 1					1									1							1
	n 1				2!						n 1																n 1
					2!						n 1				3!			n 1									n 1
1		1							2					k 1						1						1						2
	1			1							1											1						1
	1			1		n			1		1											1						1			n	1
k!		n 1				n			1					n 1						n!					n 1						n	1
			n 1						1						1						2									n
	1											1					1							1								.	(2)
	1		n 1					(n		1)!		1					1				n 1			1					n 1			.	(2)
			n 1					(n		1)!			n 1								n 1								n 1
														15

	a	1 1			1		1				1				1	1			1				1				2
	a	1 1					1									1							1
	n 1				2!						n 1																n 1
					2!						n 1				3!			n 1									n 1
1		1							2					k 1						1						1						2
	1			1							1											1						1
	1			1		n			1		1											1						1			n	1
k!		n 1				n			1					n 1						n!					n 1						n	1
			n 1						1						1						2									n
	1											1					1							1								.	(2)
	1		n 1					(n		1)!		1					1				n 1			1					n 1			.	(2)
			n 1					(n		1)!			n 1								n 1								n 1
														15