Пределы последовательностей и функций. Учебно-методическое пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Найти предел:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

731 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

		1 x				1
			e или, что то же	lim	1 x x		e,	(2)
lim	1

x		x		x 0

а также следствия из равенства (2):

lim ln (1+x)			1;	(3)
x 0	x
lim	ex 1	1.		(4)
lim	x	1.		(4)
x 0	x

Свойство 5.3

Все элементарные функции непрерывны во всех точках,

где они определены, т.е.	lim f (x) f (x0 ).
	x x0

Свойство 5.4

Пусть f(x) непрерывна в точке x0, и g(t) непрерывна в точке A = f(x0), тогда функция F(x) = g(f(x)) непрерывна в точке x0.

Следствие 5.1

Пусть f(x) непрерывна в точке x0. Сделаем замену переменной: x = (y), где (y) непрерывна в точке y0, причем(y0) = x0. Тогда

lim f (x)	lim f ( (y)).
x x0	y y0

Свойство 5.5

Пусть f(x) = u(x)v(x) определена в некоторой выколотой

окрестности точки x0	и существует конечный lim u(x) u0
	x x0

0.	Тогда lim f (x) (конечный или бесконечный) существу-
	x x0		lim v(x) (конеч-
ет тогда и только тогда, когда существует			lim v(x) (конеч-
ный или бесконечный), при этом			x x0
ный или бесконечный), при этом
	lim f (x) u0	lim v(x).
	x x	x x
	0	0

Доказательство

lim v(x) v0, то-

случай. Пусть существует конечный

гда

lim

f(x) u0v0 (см. свойство 5.1).

x x0

2 случай. Пусть v(x) — бесконечно большая при x x0.

Рассмотрим функции

1 1

;

имеет при x x0

f(x)

u(x) v(x)

u(x)

конечный предел, равный

, и, следовательно, локально

ограничена (см. свойство 5.1.Б и замечание к свойству

5.1.В).

— бесконечно малая (см. свойство 5.1.Г) и, сле-

v(x)

довательно,

— тоже бесконечно малая (свойство 5.1.Г),

f(x)

а f(x) — бесконечно большая. Итак, в рассматриваемом слу-

чае,

lim

f(x) , что и требовалось доказать.

x x0

3 случай. Пусть

lim

v(x)

не существует, тогда не суще-

x x0

ствует

lim

f(x). Предположим

противное.

Так

как

lim

x x0

то

u(x) 0

некоторой выколотой

u(x) u0 0,

x x0

окрестности x0. В этой окрестности

определена

функция

имеющая

предел

lim

. Если

функция

u(x)

x x0

f(x) = u(x)v(x) имеет предел, то функция

v(x) f(x)

тоже

u(x)

имеет предел, что противоречит сделанному предположению.

Следствие 5.2

При вычислении предела произведения функций множитель, имеющий конечный предел, отличный от нуля, может быть заменен числом, равным этому пределу. При этом произведение имеет предел тогда и только тогда, когда предел имеет другой сомножитель, и предел произведения является произведением пределов.

5.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ

Правило Лопиталя (исторически более правильно назвать правило Бернулли–Лопиталя) применяется при вычислении предела отношения двух функций, если это отношение

представляет собой неопределенности типа 00 , , 0 ,

, 00, 0 , 1 . Отметим, что правило Лопиталя «действует» не всегда.

Теорема 5.1 ( раскрытие неопределенностей типа 00 )

Если: 1) функции f (x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности U (x0 ) точки x0 ( x0 — число

или символ ∞); 2) lim f (x) lim g(x) 0 ;

3) f 2 (x) g 2 (x) 0

x x0

в U

) ; 4) существует

lim

f (x)

конечный или бесконеч-

g (x)

ный. Тогда существует lim

f (x)

, причем

x x0

g(x)

f (x)

lim

f (x)

g(x)

x x0

g (x)

Теорема 5.2 (раскрытие неопределенностей типа

)

Если выполнены условия 1), 3), 4) теоремы 5.1, а вместо

условия 2)	выполнено			условие	lim f (x) lim			g(x) , то
					x x0		x x0
		f (x)			f (x)
существует	lim		, причем lim			lim	f (x)		.
		g(x)			g(x)
	x x0			x x0		x x0	g (x)

Замечание 5.1

Если f (x) и g (x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f (x) и g(x) , то правило Лопиталя можно

применить повторно.

Замечание 5.2 (раскрытие неопределенностей типа

0 и	)

Для	вычисления lim (f (x)g(x)) , где f (x)	— бесконечно
	x x0
малая,	а g(x) — бесконечно большая при	x x0 (неопре-

деленность типа 0 ), следует преобразовать произведе-

ние к виду			f (x)	(неопределенность типа		0 ) или к виду
ние к виду			1/ g(x)	(неопределенность типа		0 ) или к виду
			1/ g(x)			0
	g(x)	(неопределенность типа			) и далее применить тео-
1/ f (x)		(неопределенность типа			) и далее применить тео-
1/ f (x)

ремы 5.1 или 5.2. Для вычисления lim (f (x) g(x)) , где f (x)

x x0

и g(x) — бесконечно большие при x x0 (неопределенность вида ), следует преобразовать разность к виду

	1	g(x)	Затем раскрыть неопределенность	g(x)	типа
f (x)		.		f (x)
		f (x)

.	Если		lim	g(x)	1,	то	lim (f (x) g(x)) ,	если же
			x x0	f (x)			x x0
lim	g(x)	1, то получаем неопределенность типа						0 .
x x0	f (x)

Замечание 5.3 (раскрытие неопределенностей типа

0 0, ∞ 0, 1 ∞)

Для вычисления lim (f (x))g ( x ) необходимо прологарифми-

x x0

ровать функцию y (f (x))g ( x ),	тогда ln y g(x)ln f (x) . Затем
нужно найти lim ln y , после чего найти		lim (f (x))g ( x ).
x x0		x x0

5.4. ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ

Задача 5.1

Доказать, что lim (x 2 1) 5.

x 2

Решение

Для доказательства воспользуемся определением 5.1. 5.1.1. f(x) = x2 + 1, область определения — вся ось, —

любое число.
5.1.2. Покажем,	что для 0 можно подобрать	0,
( ) (хотя бы	одно), такое, что если 0 x 2 , то
f(x) 5 .
Для всех x:
f(x) 5 = x2 4 = x 2 x + 2 =
= x 2 (x 2) + 4 x 2 ( x 2 + 4).		(5)

Выберем произвольное, но фиксированное > 0. Подбе-

рем			так, что ( + 4) (например,					при этом
				min	1;		,
				min	1;	6	,
						6
		,	+ 4 6, ( + 4) ).
	6	,	+ 4 6, ( + 4) ).
	6

Покажем, что такое нам подходит. В самом деле, если x 2 < , то используя неравенство (5), верное для всех x, получим: f(x) 5 x 2 ( x 2 + 4 ) < ( + 4) < .

												= 6, то
Итак,			( ) min		1;		.	Например, если
Итак,			( ) min		1;		.	Например, если
						6
		6		1. Если		= 0,001, то					1		1
min	1;	6							min	1;				.
min	1;								min	1;	600		600	.
											600		600

Отметим, что в определении предела — любое, в том числе и “большое”.

Задача 5.2

	x	7	2sin			1
					x
Найти предел: lim				2			.

x 1			5x 2 1

Решение

				x7						1
							2sin	x				1 2sin		1	0
							2sin	x
							2						2
	lim															0.
	lim						5x2 1					5 12		1	6	0.
	x 1						5x2 1					5 12		1	6
Здесь использовано:
1) lim							;
1) lim		x				2	;
x 1	2					2
2) lim sin					x				1		(свойства 5.3 и 5.4);
2) lim sin			2		x	sin			1		(свойства 5.3 и 5.4);
x 1			2				2

3)свойство 5.1.А для вычисления пределов числителя и знаменателя;

4)свойство 5.1.Б для вычисления предела их отношения.

Задача 5.3

Найти предел: lim	3x2	2 x		.
	x		x
x 0

Решение ( 1-й способ, а 2-й способ разбирается в задаче 5.7 )

Данная задача — пример неопределенности типа 00 .

Числитель — сумма бесконечно малых, “большее” слагаемое 2 x, вынесем x. Аналогично для знаменателя. По-

лучим lim	x 3x	x 2		lim 3x x 2		3 0 2	2.
лучим lim	x			lim 3x x 2			2.
x 0	x	x 1		x 0	x 1	0 1
Здесь использованы свойства 5.1.А и 5.1.Б, так как
		x 0			0 1 0.
		lim		x 1	0 1 0.
Задача 5.4
Найти предел:
		lim	6 x5 x2sin x 7			.
		lim		7x3	8	.
		x		7x3	8

Решение

Имеем неопределенность типа

. Решается аналогично

задаче 5.3. Выносим “большие” слагаемые — в числителе x5,

в знаменателе x3:

sin x

sin

lim

(свой-

Здесь использовано то, что

(1/ x3 ) sin x

ство 5.1.В: sin x

— ограничена,

— бесконечно мала при

x + ) ;

свойство

5.1.А ,

5.1.Б

( так

как

свойство

lim

0 ) ;

свойство

5.1.Г

для

предела

вида

lim

x2h(x) , где x2 — бесконечно большая,

lim h(x)

Задача 5.5 ( 1-й способ, а 2-й способ разбирается в
задаче 5.8 )
Найти предел:	x3	3x2 4
lim			.
		4x 4
x 2 x2

Решение

Числитель и знаменатель — многочлены, обращающиеся

в 0 при x = x0	= 2. Они имеют общий множитель (x 2). Раз-
делим числитель и знаменатель на (x 2):
	x	3	3x	2	4	x 2


	x3 2x2					x2 x 2

–x2 4x2 2x

2x 4

2x 4 0

Поэтому

lim		(x 2) x2 x 2			lim	x2 x 2
		(x 2)(x 2)				x 2
x 2					x 2
	lim		(x 2)(x 1)	lim(x 1) 3.
		x 2	x 2		x 2

Замечание 5.2

Если x x0, x0 0, то часто бывает удобно перейти к новой переменной y = x x0, тогда y 0.

Решим этим методом задачу 5.5. Замена y = x 2, x = y + 2,

lim	( y 2)3 3(y 2)2	4	lim	y 3	3y 2	lim ( y 3) 3.
	( y 2)2 4(y 2)	4			y 2
y 0			y 0			y 0

Задача 5.6

Вывести равенства (3) и (4) из равенства (2) (см. свойство

5.2).

Решение

Запишем lim ln (1+x)

lim ln (1+x)1/ x ln e 1.

При этом ис-

x 0

пользовано то,

что lim (1 x)1/ x e,

и то, что функция ln z

x 0

непрерывна при z = e (свойства 5.3 и 5.4).

Сделаем

замену

e x 1 y.

Если

x 0, то

y 0,

x = ln(1 + y).

lim

ex 1

lim

ln (1+y )

x 0

y 0 ln (1 y )

y 0

Задача 5.7 ( 2-й способ, а 1-й способ разобран в зада-

че 5.3 )

Решение

Имеем неопределенность типа 00 , применим правило Ло-

питаля (теорему 5.1). Запишем

3x2

3x2 2

lim

x 0

2 x

2 lim

x 1

2 ( 1) 2 .

x 0

x 1

Задача 5.8 ( 2-й способ, а 1-й способ разобран в зада-

че 5.5 )

Найти lim	x3	3x2 4	.
	x2	4x 4
x 2

Решение

Имеем неопределенность типа 00 , применим правило Ло-

питаля (теорему 5.1). Запишем

lim

x3 3x2 4

lim

(x3 3x2

lim

3x2 6x

4x 4

2x 4

x 2

4x 4)

lim

(3x2 6x)

lim

6x 6

3 .

x 2

(2x 4)

x 2

Отметим, что здесь правило Лопиталя применялось два раза.

Задача 5.9

Найти предел: lim (arcsin x ctg x) .

x 0

Решение

Имеем неопределенность типа 0 . Запишем

lim (arcsin x ctg x) lim arcsin x					lim
lim (arcsin x ctg x) lim arcsin x					lim		(arcsin x)
			1/ ctg x
x 0	x 0		1/ ctg x			x 0	(tg x)
x 0	x 0					x 0
	1
lim	1 x2	lim		cos2 x 1.
lim	1	lim		cos2 x 1.
x 0	1		x 0	1 x		2

cos2 x

Здесь исходная неопределенность типа 0 была преобразована в неопределенность типа 00 и затем применена теорема 5.1.

Задача 5.10

Найти предел:

lim

Решение

x 0

Имеем неопределенность .

Запишем

x 1)

lim

(x(e

x 0

lim

1 .

1 xe

x 0

)

Здесь исходная неопределенность типа была преобразована в неопределенность 00 и затем два раза применена теорема 5.1.

Задача 5.11

Найти предел: lim (sin x)x .

x 0

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]