Пределы последовательностей и функций. Учебно-методическое пособие

Задача 6.5

Ответ: e6.

При решении использовано:

[1]— тождество u(x)v(x) ev(x) lnu(x) ,

[2]— непрерывность функции ex в любой точке,

[3]— если x , то 1 2 x 0 и, следовательно,

61

Произведем замену: x a = y. Тогда x = y + a и при x a имеем y 0 и

aa (lna 1).

Использовано:

[1] — если x a, то z = x lna a lnx 0 и ez 1 z при z 0,

[3] — ln(1 + y/a) y/a при y 0; отметим, что в данном случае мы вычисляем предел произведения. Если бы использовали это соотношение после равенства [2], то вместо эквивалентности надо было бы писать равенство

62

7.СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ

ИБЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ

7.1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Вп. 6.1 даны определения эквивалентных бесконечно больших и бесконечно малых функций и определение о-малой. Аналогичные определения имеют место для беско-

нечно больших и бесконечно малых последовательностей. Все определения и свойства, данные ниже, также переносятся на последовательности.

Всюду в дальнейшем, так же как в п. 6.1, предполагается, что все рассматриваемые функции удовлетворяют условию

5.1.1 (или 5.1.2).

Определение 7.1

Пусть функции f (x) и g(x) — обе бесконечно малые (или

обе бесконечно большие) при x а (а может быть число, или , или + , или ). Тогда говорят, что они имеют при x а один порядок малости (один порядок роста), если су-

Определение 7.2

Пусть g(x) — бесконечно малая (или бесконечно боль-

шая) при x а. Тогда бесконечно малая (или бесконечно большая) при x а функция f (x) имеет при x а относи-

тельно g(x) порядок малости (или порядок роста), равный( > 0), если функции f (x) и h(x) = ( g(x) ) имеют один по-

рядок малости (или один порядок роста). Другими словами, существует число с 0, такое, что

63

В этом случае функция (x) = с( g(x) ) называется глав-

ным членом при x а бесконечно малой (или бесконечно большой) функции f (x) относительно функции g(x) .

Свойство

Если выполнено условие (17), то

f (x) = с( g(x) ) + о(( g(x) ) ) при x а.

Пример 7.1

Определить порядок малости функции f (x) = 3 1 x 1 относительно g1(x) x при x 0.

Решение

f (x) = 3 1 x 1 — бесконечно малая при x 0. Известно (см. формулу (15)), что f (x) 31 x 31 (g1(x))1.

Таким образом, порядок малости f (x) относительно бес-

конечно малой x равен единице. Главный член — функция

31 x.

Пример 7.2

Определить порядок малости функции f (x) = 3 1 x 1 от-

носительно g2 (x) x2 при x 0.

Решение

f (x) 31 x 31 (g2 (x))1/2. Порядок малости f (x) относитель-

но функции x2 равен 21. Главный член — функция 31 x.

Правило

Если в произведении двух или более функций один из сомножителей заменить на эквивалентную функцию, то получим произведение, эквивалентное данному. Пусть один из сомножителей имеет конечный предел, отличный от нуля:

64

если этот множитель заменить на число, равное этому пределу, то получим произведение, эквивалентное данному.

То же верно для отношения функций.

(Сравните со следствием 5.2 из свойства 5.5 на с. 42 и с правилом на с. 55.)

7.2. ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ

Задача 7.1

Выделить главный член функции f (x) при x 0 + 0 отно-

сительно бесконечно малой g(x) = x, где

Решение

Рассмотрим f (x) при x 0 + 0. Самое “большое” слагае-

1

мое последнее. Вынесем x 3 :

Итак, f (x) 4x 3 .

Ответ

1

Главный член — это функция 4x 3 .

Задача 7.2

Определить порядок малости:

f (x) 3x 2 x sinx x2 ex 1 при x 0 + 0.

65

Решение

Если x 0 + 0, то

заменить на x нельзя, так как x sinx — одно из слагаемых, поэтому используется равенство sinx = x + o(x); в равенстве

тель, написанный в скобках, заменили на предельное значение, равное 3.

Ответ

Порядок малости равен 2.

Задача 7.3

при x 0; указать порядок малости.

Решение

Если x 0, то

Получили произведение двух бесконечно малых: 2x и не-

известной бесконечно малой o(2x22 ) . Указанные преобразо- 2x

вания ответа на поставленный вопрос не дают, хотя из них следует, что f (x) — бесконечно малая при x 0. Освобо-

димся от радикала в числителе:

66

равен 3.

Замечание

Отметим, что при решении этой задачи возникли те же сложности, что и в задаче 6.2 при > 1. Здесь также естественно использовать формулу Тейлора: если x 0, то

Задача 7.4

Определить порядок роста функции f(x) при x 1 относи-

67

Постановка задачи

где sin y ~ y, так как y 0. Отметим, что x . Итак, при

Ответ

Порядок роста равен 2.

Задача 7.5

Выяснить характер (бесконечно малая или бесконечно большая) последовательности

Определить порядок малости xn относительно бесконечно малой последовательности n1 или порядок роста относи-

тельно бесконечно большой последовательности n.

Решение

68

нас не интересует).

Ответ

xn — бесконечно большая последовательность, порядок роста равен 113 .

Задача 7.6

Показать, что f(x) — бесконечно малая при x + , определить порядок малости и выделить главный член относи-

69