Пределы, производные, графики функции. Учебное пособие

где k и b — действительные числа. Если, в частности, k = 0, то получаем постоянную функцию у = b ; если b = 0, то получаем прямую пропорциональность у = kx.

Перечислим свойства линейной функции у = kx + b при k 0,b 0

1)Область определения функции — множество всех действительных чисел.

2)Функция у = kx + b ни четна, ни нечетна.

При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.

Графиком линейной функции y = kx + b является прямая. Это прямая, параллельная прямой, служащей графиком функции у = kx, и проходящая через точку (0; b ) на оси ординат. Число k называют угловым коэффициентом пря-

мой, оно равно тангенсу угла а между прямой и положительным лучом оси х, т.е. k = tg а.

Решение. Графиком линейной функции является прямая, а для построения прямой достаточно знать две точки графика. Заполним таблицу:

У4 2

(аргументу х дали значения 0 и 4 и по формуле у = = + 4 нашли соответствующие значения у). Отметим на

координатной плоскости точки (0; 4) и (4; 2) и проведем через эти точки прямую.

Обратная пропорциональность

Обратной пропорциональностью называют функцию,

12

Перечислим свойства функции у = х2.

1)Область определения функции — вся числовая прямая.

функции .

Графиком функции у = х2 является парабола.

Функция у = х3

Перечислим свойства функции у = х3.

Область определения функции — вся числовая прямая.

Y=х — нечетная функция. В самом деле, f ( x) ( x)3 x3 f (x)

Функция у = х3 возрастает на всей числовой прямой. График функции –кубическая парабола.

15

Степенная функция с натуральным показателем.

Функцию y xn где n – натуральное число, называют

степенной функцией с натуральным показателем. При n=1 получаем функцию y=x. График этой функции прямая. При п = 2 получаем функцию у = х2, а график – парабола. При п = 3 получаем функцию у = х3, а график -кубическая парабола.

Пусть n — произвольное четное натуральное число, большее двух: n= 4, 6, 8, ... . В этом случае функция

у = x n обладает теми же свойствами, что и функция у = х2. График такой функции напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |х|> 1 тем круче идут вверх, чем больше п, а при |х|< 1 тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше п Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: п = 5, 7, 9, .... В этом случае функция у = хп обладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции напоминает кубическую параболу, только ветви графика тем круче идут вверх (при х > 0), вниз (при х < 0), чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной

16

функции у = хп тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше п.

Показательная функция.

Показательная функция задается формулой у = ах, где а

>0 и a 1.

Перечислим свойства функции у = ах при а > 1. 1)Область определения функции — вся числовая прямая. 2)Область значений функции — промежуток (0; +оо).

3)Функция не является ни четной. Ни нечетной. Это следует из того. что

4) Функция возрастает на всей числовой прямой.

Пример 1. Построить график функции у = 2х.

Решение. Составим таблицу:

С помощью найденных точек строим график функции у = 2х Свойства функции у = ах при 0 < а < 1:

1)Область определения функции — вся числовая прямая.

2)Область значений — 0;

3)Функция не является ни четной, ни нечетной. 4)Функция убывает на всей числовой прямой.

17

График функции у = ах при 0 < а < 1 выглядит так, как показано на рисунке

определены на отрезке [a; b] и имеют областью своих значений отрезок [с; d]. Первая функция обладает следующим свойством: для любого у0 из отрезка [с; d] есть только одно значение x0 из отрезка [а; b] такое, что

f (x0 ) y0 .

Геометрически указанное выше свойство означает следующее: любая горизонтальная прямая, пересекающая ось у между точками с и d , пересекает график функции y f (x) только в одной точке. Вторая функция этим

свойством не обладает: например, для значения y1 прямая y y1 пересекает график функции y g(x) в трех точках. Значит, в первом случае при каждом фиксированном у0 из отрезка [с; d] уравнение f (x) y0 имеет только один корень

18

x0 , а во втором случае при некоторых у, например при y y1 уравнение g(x) y1 имеет более одного корня.

Пример. Доказать, что у функции у = 2х - 1 есть обратная, и найти ее.

Решение. Функция у = 2х - 1 возрастает на всей числовой прямой; значит, у нее есть обратная функция. Чтобы найти обратную функцию, надо из формулы у = 2х - 1 выразить х.

то точка (у; х) принадлежит графику обратной функции. Поэтому график обратной функции получается из графика функции y f (x) с помощью преобразования плоскости

ху, переводящего точки (у; х) в точки (х; у). Этим преобразованием является преобразование осевой симметрии относительно прямой у = х (ось симметрии).

Таким образом, чтобы построить график функции,

относительно прямой у = х

Например, если у = хл, где x 0 , п — натуральное, п > 1, то

единственный корень, то говорят, что функция y f (x) обратима.

20