Пределы, производные, графики функции. Учебное пособие

Функция y f (x) , график которой изображен на рисунке, обратима, а функция У = g(x), необратима. Если функция y f (x) обратима, то, выразив х из формулы y f (x) и поменяв затем х и у местами, получим обратную функцию, ее обозначают y f 1 (x) .

Теорема . Если функция y f (x) определена и возрастает (убывает) на

промежутке X и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (убывает) на Y.

Показательная функция у = ах, где а > 0, a 1, обладает всеми свойствами, которые гарантируют существование обратной функции.

1)область определения — ( ; ) ; 2)область значений — (0; ) ;

3)функция у = ах монотонна (возрастает при а > 1 и убывает при 0 < а < 1).

Эти свойства обеспечивают существование функции, обратной к показательной, определенной на (0; ) и

имеющей областью своих значений множество ( ; ) ;

21

Эта обратная функция обозначается так:

у =logax

(читается: «логарифм числа х по основанию а»). Итак, логарифмическая функция у = loga х, где a > О и a 1, — это функция, обратная к показательной функции у = ах.

Логарифмическая функция

y loga x

обладает след у ю щ и м и свойствами: 1)область определения — ( (0; ) ;

2)область значений — ( ; ) ; 3)функция возрастает на промежутке (0; ) при а > 1, убывает на (0; ) при 0 < а < 1.

Отметим, что логарифмическая функция ни четная, ни нечетная.

22

осью х угол 45°. Основание а такой показательной функции принято обозначать буквой е. Подсчитано, что е = 2,7182818284590..., и установлено, что е иррациональное число.

Логарифмическую функцию, обратную показательной функции у = ех, т. е. функцию у = loge х, принято обозначать у = lnх (In читается «натуральный логарифм»). Графики функций у = ех и у = In асимметричны относительно прямой у = х .

24

Предел функции в точке

Число b называется пределом функции y f (x) при

требуется, чтобы функция была определена в точке x0 . Например, функция

f(x) x2 9 x 3

Определена во всех точках, кроме x 3 , но предел существует при x 3 и равен 6.

25

Основные теоремы о пределах:

1) Предел постоянной величины равен самой этой величине:

lim c c

x x0

2)Предел алгебраической суммы конечного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:

3) Предел произведения конечного числа переменных равен произведению пределов этих переменных:

Следствие: Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

4) Предел частного двух переменных равен частному этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:

7) Если соответствующими значениями трёх функций

стремится к тому же пределу.

Бесконечно малые и их свойства

Функция f (x) называется бесконечно малой при

Последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел y f (x) , где n=1,2,3,…

Последовательность (x) называется бесконечно

малой, если

lim n 0

n

Свойства бесконечно малых:

1)Функция, равная постоянной, является бесконечно малой только в том случае, если эта постоянная есть нуль.

2)Если (x) стремится к нулю при x a и не

1

(x) 28